Diagramme de Bode/Gain et phase

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Gain et phase

Chapitre no2
Leçon : Diagramme de Bode
Chap. préc. :	Fonction de transfert
Chap. suiv. :	Diagramme de Bode

   

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Gain

Gain « absolu »

Début d'une définition

Définition

Le module $H(\omega)\,$ de la fonction de transfert $\underline H(j\omega)$ s'appelle le gain du système.

Fin de la définition

Gain en dB

Début d'une définition

Définition

Le gain en puissance G, exprimé en Bels (B) est défini par $G=\log \left ( \frac{\mathcal P_2}{\mathcal P_1}\right )$, où

• $\mathcal P_1$ est la puissance d'entrée du quadripôle
• $\mathcal P_2$ est la puissance de sortie du quadripôle

Fin de la définition

Début d'une définition

Gain en dB

On utilise plus couramment le décibel (dB) pour exprimer le gain en puissance G_dB: $G_{\mathrm{dB}}=10\log \left ( \frac{\mathcal P_2}{\mathcal P_1}\right )$

Fin de la définition

Début d'une propriété Gain en tension

On peut exprimer le gain en termes de tension : $G_{\mathrm{dB}}=10\log \left ( \frac{u_{2,\mathrm{max}}^2}{u_{1,\mathrm{max}}^2}\right )=20\log \left ( \frac{u_{2,\mathrm{max}}}{u_{1,\mathrm{max}}}\right )$

Début de la propriété

Début d'une propriété Relation avec la fonction de transfert

$G_{\mathrm{dB}}=20~\log(H)$

Début de la propriété

Début de l'exemple

Filtre passe-bas passif

• La fonction de transfert de ce filtre est $\underline H(x)=\frac1{1+jx}$.
• Le gain vaut $H(x)=|\underline H(x)|=\frac1{|1+jx|}$, d'où $H(x)=\frac1{\sqrt{1+x^2}}$.
• Le gain en décibels vaut alors $G_{\mathrm{dB}}=20\log \left (\frac1{\sqrt{1+x^2}} \right )=-10\log(1+x^2)$

Fin de l'exemple

Représentation graphique

Exemple de tracé de G_dB sur papier semi-log

En raison de l'expression logarithmique du gain en dB, on utilise pour représenter l'évolution du gain une échelle logarithmique en abscisse et linéaire en ordonnée.

On trace alors en réalité G_dB en fonction de log(x).

Il existe du papier adapté au tracé de ces graphes : il s'agit du papier semi-logarithmique.

Bande passante

Début d'une définition

Définition

On appelle :

• fréquence de coupure une fréquence pour laquelle G_dB=-3 dB
• bande passante est alors l'ensemble des fréquences pour lesquelles G_dB≥-3 dB.

Fin de la définition

Début d'une définition

Filtres

• Un filtre passe-bas est un circuit admettant seulement une fréquence de coupure haute. Il atténue les signaux de haute fréquence.
• Un filtre passe-haut est un circuit admettant seulement une fréquence de coupure basse. Il atténue les signaux de basse fréquence.
• Un filtre passe-bande est un circuit admettant une bande passante. Il atténue les signaux de haute et basse fréquence.

Fin de la définition

Début de l'exemple

Filtre passe-bas passif

• Le gain en décibels vaut $G_{\mathrm{dB}}=-10\log(1+x^2)\,$
• La fréquence de coupure est atteinte en x=1, car -10 log(2) = -3 : elle vaut donc $f_c=\frac1{2\pi RC}$
• Si f > f_c, x > 1 donc G_dB < -3 dB. Ce filtre atténue donc les hautes fréquences. C'est donc bien un filtre passe-bas.

Fin de l'exemple

Phase

Pour un quadripôle linéaire, $\underline V_2 = \underline H(j\omega)\cdot \underline V_1$. En termes d'arguments, cela donne $\varphi_2 = \arg(\underline H(j\omega))+\varphi_1$.

Début d'une définition

Définition

Le déphasage entre l'entrée et la sortie est $\varphi=\arg(\underline H(j\omega))$

Fin de la définition

Début de l'exemple

Filtre passe-bas passif

• La fonction de transfert de ce filtre est $\underline H(x)=\frac1{1+jx}$.
• Le déphasage vaut $\varphi=\arg \left( \frac1{1+jx} \right )=\arg(1)-\arg(1+jx)=-\arctan(x)$

Fin de l'exemple

Diagramme de Bode

Fonction de transfert

Diagramme de Bode