Diagramme de Bode/Gain et phase

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Gain et phase
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Chapitre no2
Leçon : Diagramme de Bode
Chap. préc. : Fonction de transfert
Chap. suiv. : Diagramme de Bode
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Diagramme de Bode/Gain et phase
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Sommaire

[modifier] Gain

[modifier] Gain « absolu »

Début d'une définition

Définition

Le module H(\omega)\, de la fonction de transfert \underline H(j\omega) s'appelle le gain du système.

Fin de la définition

[modifier] Gain en dB

Début d'une définition

Définition

Le gain en puissance G, exprimé en Bels (B) est défini par G=\log \left ( \frac{\mathcal P_2}{\mathcal P_1}\right ), où

  • \mathcal P_1 est la puissance d'entrée du quadripôle
  • \mathcal P_2 est la puissance de sortie du quadripôle
Fin de la définition



Début d'une définition

Gain en dB

On utilise plus couramment le décibel (dB) pour exprimer le gain en puissance GdB: G_{\mathrm{dB}}=10\log \left ( \frac{\mathcal P_2}{\mathcal P_1}\right )

Fin de la définition



Début d'une propriété

Gain en tension

On peut exprimer le gain en termes de tension : G_{\mathrm{dB}}=10\log \left ( \frac{u_{2,\mathrm{max}}^2}{u_{1,\mathrm{max}}^2}\right )=20\log \left ( \frac{u_{2,\mathrm{max}}}{u_{1,\mathrm{max}}}\right )

Début de la propriété



Début d'une propriété

Relation avec la fonction de transfert

G_{\mathrm{dB}}=20~\log(H)

Début de la propriété



Début de l'exemple

Filtre passe-bas passif

Low pass filter.svg
  • La fonction de transfert de ce filtre est \underline H(x)=\frac1{1+jx}.
  • Le gain vaut H(x)=|\underline H(x)|=\frac1{|1+jx|}, d'où H(x)=\frac1{\sqrt{1+x^2}}.
  • Le gain en décibels vaut alors G_{\mathrm{dB}}=20\log \left (\frac1{\sqrt{1+x^2}} \right )=-10\log(1+x^2)
Fin de l'exemple


[modifier] Représentation graphique

Exemple de tracé de GdB sur papier semi-log

En raison de l'expression logarithmique du gain en dB, on utilise pour représenter l'évolution du gain une échelle logarithmique en abscisse et linéaire en ordonnée.

On trace alors en réalité GdB en fonction de log(x).

Il existe du papier adapté au tracé de ces graphes : il s'agit du papier semi-logarithmique.

[modifier] Bande passante

Début d'une définition

Définition

On appelle :

  • fréquence de coupure une fréquence pour laquelle GdB=-dB
  • bande passante est alors l'ensemble des fréquences pour lesquelles GdB≥-dB.
Fin de la définition



Début d'une définition

Filtres

  • Un filtre passe-bas est un circuit admettant seulement une fréquence de coupure haute. Il atténue les signaux de haute fréquence.
  • Un filtre passe-haut est un circuit admettant seulement une fréquence de coupure basse. Il atténue les signaux de basse fréquence.
  • Un filtre passe-bande est un circuit admettant une bande passante. Il atténue les signaux de haute et basse fréquence.
Fin de la définition



Début de l'exemple

Filtre passe-bas passif

Low pass filter.svg
  • Le gain en décibels vaut G_{\mathrm{dB}}=-10\log(1+x^2)\,
  • La fréquence de coupure est atteinte en x=1, car -10 log(2) = -3 : elle vaut donc f_c=\frac1{2\pi RC}
  • Si f > fc, x > 1 donc GdB < -dB. Ce filtre atténue donc les hautes fréquences. C'est donc bien un filtre passe-bas.
Fin de l'exemple


[modifier] Phase

Pour un quadripôle linéaire, \underline V_2 = \underline H(j\omega)\cdot \underline V_1. En termes d'arguments, cela donne \varphi_2 = \arg(\underline H(j\omega))+\varphi_1.


Début d'une définition

Définition

Le déphasage entre l'entrée et la sortie est \varphi=\arg(\underline H(j\omega))

Fin de la définition



Début de l'exemple

Filtre passe-bas passif

Low pass filter.svg

  • La fonction de transfert de ce filtre est \underline H(x)=\frac1{1+jx}.
  • Le déphasage vaut \varphi=\arg \left( \frac1{1+jx} \right )=\arg(1)-\arg(1+jx)=-\arctan(x)
Fin de l'exemple



Diagramme de Bode
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