Diagramme de Bode/Gain et phase

Une page de Wikiversité.


Gain et phase
Nuvola apps konqueror.png
Chapitre 2
Leçon : Diagramme de Bode
Chap. préc. : Fonction de transfert
Chap. suiv. : Diagramme de Bode


Icon falscher Titel.svg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Diagramme de Bode : Gain et phase
Diagramme de Bode/Gain et phase », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Gain

[modifier] Gain « absolu »

Définition

Le module H(\omega)\, de la fonction de transfert \underline H(j\omega) s'appelle le gain du système.

[modifier] Gain en dB

Définition

Le gain en puissance G, exprimé en Bels (B) est défini par G=\log \left ( \frac{\mathcal P_2}{\mathcal P_1}\right ), où

  • \mathcal P_1 est la puissance d'entrée du quadripôle
  • \mathcal P_2 est la puissance de sortie du quadripôle



Gain en dB

On utilise plus couramment le décibel (dB) pour exprimer le gain en puissance GdB: G_{\mathrm{dB}}=10\log \left ( \frac{\mathcal P_2}{\mathcal P_1}\right )



Gain en tension

On peut exprimer le gain en termes de tension : G_{\mathrm{dB}}=10\log \left ( \frac{u_{2,\mathrm{max}}^2}{u_{1,\mathrm{max}}^2}\right )=20\log \left ( \frac{u_{2,\mathrm{max}}}{u_{1,\mathrm{max}}}\right )



Relation avec la fonction de transfert

G_{\mathrm{dB}}=20~\log(H)



Filtre passe-bas passif
Low pass filter.svg
  • La fonction de transfert de ce filtre est \underline H(x)=\frac1{1+jx}.
  • Le gain vaut H(x)=|\underline H(x)|=\frac1{|1+jx|}, d'où H(x)=\frac1{\sqrt{1+x^2}}.
  • Le gain en décibels vaut alors G_{\mathrm{dB}}=20\log \left (\frac1{\sqrt{1+x^2}} \right )=-10\log(1+x^2)

[modifier] Représentation graphique

Exemple de tracé de GdB sur papier semi-log

En raison de l'expression logarithmique du gain en dB, on utilise pour représenter l'évolution du gain une échelle logarithmique en abscisse et linéaire en ordonnée.

On trace alors en réalité GdB en fonction de log(x).

Il existe du papier adapté au tracé de ces graphes : il s'agit du papier semi-logarithmique.

[modifier] Bande passante

Définition

On appelle :

  • fréquence de coupure une fréquence pour laquelle GdB=-3 dB
  • bande passante est alors l'ensemble des fréquences pour lesquelles GdB≥-3 dB.



Filtres
  • Un filtre passe-bas est un circuit admettant seulement une fréquence de coupure haute. Il atténue les signaux de haute fréquence.
  • Un filtre passe-haut est un circuit admettant seulement une fréquence de coupure basse. Il atténue les signaux de basse fréquence.
  • Un filtre passe-bande est un circuit admettant une bande passante. Il atténue les signaux de haute et basse fréquence.



Filtre passe-bas passif
Low pass filter.svg
  • Le gain en décibels vaut G_{\mathrm{dB}}=-10\log(1+x^2)\,
  • La fréquence de coupure est atteinte en x=1, car -10 log(2) = -3 : elle vaut donc f_c=\frac1{2\pi RC}
  • Si f > fc, x > 1 donc GdB < -3 dB. Ce filtre atténue donc les hautes fréquences. C'est donc bien un filtre passe-bas.

[modifier] Phase

Pour un quadripôle linéaire, \underline V_2 = \underline H(j\omega)\cdot \underline V_1. En termes d'arguments, cela donne \varphi_2 = \arg(\underline H(j\omega))+\varphi_1.


Définition

Le déphasage entre l'entrée et la sortie est \varphi=\arg(\underline H(j\omega))



Filtre passe-bas passif

Low pass filter.svg

  • La fonction de transfert de ce filtre est \underline H(x)=\frac1{1+jx}.
  • Le déphasage vaut \varphi=\arg \left( \frac1{1+jx} \right )=\arg(1)-\arg(1+jx)=-\arctan(x)


Crystal Clear action back.png Fonction de transfert
Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/Diagramme_de_Bode/Gain_et_phase »