Champ magnétique, magnétostatique/Exercices/Mouvement d'une particule chargée

Mouvement d'une particule chargée

Exercice no1
Leçon : Champ magnétique, magnétostatique
Chapitre du cours :	Force de Lorentz, Force de Laplace
Cet exercice est de niveau 13.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Mouvement d'une particule chargée
Champ magnétique, magnétostatique/Exercices/Mouvement d'une particule chargée  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

L'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique fait partie de la culture exigible des élèves qui étudient l'électromagnétisme. Il faut connaître les résultats principaux et savoir refaire les preuves.

On se place dans un référentiel galiléen muni d'un repère fixe $\mathcal R=(O;\vec x, \vec y, \vec z)$

Soit une particule de charge q, de masse m en mouvement dans un espace où règne un champ magnétique uniforme stationnaire $\vec B = B~\vec u_z$. On suppose :

• travailler dans le vide
• le poids $\vec P$ de la particule négligeable par rapport aux autres forces
• qu'à l'instant t=0, la particule est en O, de vitesse égale à $\vec v_0$
• être en absence de tout champ électrostatique

1. Premier cas : $\vec v_0 = v_0 \vec u_z$. Calculer la trajectoire de la particule.
2. Deuxième cas : $\vec v_0 = v_{0x} \vec u_x + v_{0y} \vec u_y$.
   1. Montrer que le mouvement de la particule est plan.
   2. Calculer les équations de la trajectoire de la particule. Commenter.
3. Cas général : $\vec v_0 = v_0 \cos(\alpha) \vec u_z +v_0 \sin(\alpha) \vec u_x$. Calculer la trajectoire de la particule.

• 

  Premier cas

• 

  Deuxième cas

• 

  Cas général

Solution

Question 1 : On considère le système {particule} en mouvement dans $\mathcal R$ galiléen, soumis à:

• $\vec P=m\vec g$, poids de la particule, négligeable
• $\vec F = q\vec v \wedge \vec B$

Le principe fondamental de la dynamique assure $m \frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt} = qB~\vec v \wedge \vec u_z$, donc $\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}.\vec u_z =0$

Donc $\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dt}=0$ donc $v_z(t)=~v_0$, constante

De plus, en l'absence de champ électrostatique, $v_0^2=||\vec v(t)||^2 = v_x(t)^2+v_y(t)^2+v_z(t)^2$ donc $v_x(t)^2+v_y(t)^2=~0$ donc $v_x(t)=v_y(t)=0~$

En résumé, $\begin{cases} v_x(t)=0\\v_y(t)=0\\v_z(t)=v_0 \end{cases}$, d'où l'équation de la trajectoire

$\begin{cases} x(t)=0\\y(t)=0\\z(t)=v_0t \end{cases}$

Question 2.1 : On considère le système {particule} en mouvement dans $\mathcal R$ galiléen, soumis à:

• $\vec P=m\vec g$, poids de la particule, négligeable
• $\vec F = q\vec v \wedge \vec B$

Le principe fondamental de la dynamique assure $\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt} = \frac{qB}m~\vec v \wedge \vec u_z$. On pose $\omega=-\frac{qB}m$.

En projetant sur les axes de coordonnées : $\begin{cases} \dot v_x(t)=-\omega v_y(t)\\ \dot v_y(t)=\omega v_x(t)\\\dot v_z(t)=0 \end{cases}$

Donc $v_z~$ est constante. Or $v_{0z}=~0$.

Le mouvement de la particule est plan. La particule reste dans (xOy)

Question 2.2 : On va utiliser ici une astuce de calcul en utilisant les complexes pour vennir à bout de ce système différentiel « croisé ».

On pose $\underline{Z}(t)=v_x(t)+j~v_y(t)$.

On a $\dot v_x(t)+j~\dot v_y(t)=-\omega v_y(t)+j\omega v_x(t)$

Donc $\underline{\dot Z}$ vérifie l'équation différentielle $\underline{\dot Z}(t)=j\omega \underline{Z}$

Donc $\underline Z(t) = \underline Z_0 e^{j\omega t}$. Comme $\underline Z(0)=v_0$ : $\underline Z(t) = v_0 e^{j\omega t}$

En reprenant partie réelle et partie imaginaire, on trouve

$\begin{cases} v_x(t)=v_0 \cos(\omega t)\\v_y(t)=v_0 \sin(\omega t)\\v_z(t)=0 \end{cases}$

Comme x(0)=0 et y(0)=0, la trajectoire est

$\begin{cases} x(t)=\displaystyle{\frac{v_0}\omega \sin(\omega t)}\\y(t)=\displaystyle{\frac{v_0}\omega (1-\cos(\omega t))}\\z(t)=0 \end{cases}$

La trajectoire est alors un cercle de rayon $R=\left | \frac{v_0}\omega \right |=\frac{mv_0}{|q|B}$. On remarquera que selon le signe de q, les cercles ne sont pas parcourus dans le même sens.

Question 3 : Grâce au théorème de superposition, on obtient une trajectoire hélicoïdale :

$\begin{cases} x(t)=\displaystyle{\frac{v_0}\omega \sin(\alpha) \sin(\omega t)}\\y(t)=\displaystyle{\frac{v_0}\omega \sin(\alpha) (1-\cos(\omega t))}\\z(t)=v_0\cos(\alpha)t \end{cases}$