Champ électrostatique, potentiel/Théorème de Gauss

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Théorème de Gauss
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Chapitre 4
Leçon : Champ électrostatique, potentiel
Chap. préc. : Potentiel
Chap. suiv. : Dipôle électrostatique


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Champ électrostatique, potentiel/Théorème de Gauss », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Flux du champ électrostatique

[modifier] Flux élémentaire

Définition

Soient un champ électrostatique \vec E quelconque régnant dans l'espace et un élément infinitésimal de surface dS placé en M, orienté par un vecteur normal \vec n. On définit le flux élémentaire dФ de \vec E à travers dS par : \mathrm d\Phi=\vec E(M)\,\vec n\,{\rm d}S

[modifier] Flux à travers une surface

Définition

Soit une surface Σ. Le flux Φ de \vec E à travers Σ vaut :

  • si Σ est ouverte : \Phi=\int_\Sigma\vec E(M).\overrightarrow{{\rm d}S}
  • si Σ est fermée : \Phi=\oint_\Sigma\vec E(M).\overrightarrow{{\rm d}S}

[modifier] Théorème de Gauss

[modifier] Énoncé

Théorème de Gauss

Pour une surface Σ fermée enfermant une charge Qint dans le vide, on a l'égalité suivante :

\oint_\Sigma \vec E(M).\overrightarrow{{\rm d}S}=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}



Démonstration (niveau 14)
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Cette section nécessite des connaissances sur les équations de Maxwell, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.


Soit V le volume intérieur à la surface fermée Σ. La formule d'Ostrogradsky donne :

\begin{align} \oint_\Sigma \vec E(M).\overrightarrow{{\rm d}S} &=\int_V \mathrm{div}(\vec E)~{\rm d}\tau\\ &=\int_V \frac{\rho}{\varepsilon_0}~{\rm d}\tau\\ &=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_0} \end{align}

[modifier] Théorème de l'extremum

Théorème de l'extremum

Le potentiel électrostatique n'admet pas d'extremum en-dehors des points où sont placés les charges.



Démonstration

Supposons avoir un maximum de potentiel en un point M en lequel il n'y a pas de charge. Comme \vec E=-\vec\nabla V, \vec E est dans le sens des potentiels décroissants donc il existe des lignes de champ qui partent de M.

Si l'on prend une surface Σ entourant M infiniment proche de M, Σ est traversée par des lignes de champ sortantes, donc \oint_\Sigma \vec E(M).\overrightarrow{{\rm d}S} \not = 0.

Donc, d'après le théorème de Gauss il existe une charge à l'intérieur de Σ, ce qui est absurde.


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