Champ électrostatique, potentiel/Dipôle électrostatique

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Dipôle électrostatique
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Chapitre 5
Leçon : Champ électrostatique, potentiel
Chap. préc. : Théorème de Gauss
Chap. suiv. : Calculs classiques


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Sommaire

[modifier] Moment dipolaire

[modifier] Dipôle électrostatique

Définition

On considère un ensemble de charges globalement neutre constitué de:

  • q₁, q₂, ..., qn n charges positives
  • qa, qb, ..., p charges négatives

On remplace chaque ensemble de charges par leur barycentre : on note P le barycentre des charges positives et N le barycentre des charges négatives.

On modélise le système de charges par un doublet de deux charges ponctuelles (-q,q) séparées par une distance d=NP.

Ce doublet est appelé dipôle électrostatique.

[modifier] Moment dipolaire

Définition

On définit le moment dipolaire, noté \vec p, par \vec p = q. \overrightarrow{\rm NP}.

Le moment dipolaire s'exprime en chimie en Debye (noté D), ou en coulomb-mètre en physique (C.m)

[modifier] Potentiel et champ créés par un dipôle

[modifier] Approximation dipolaire

Calculchampdipole.png


Approximation dipolaire

On cherche à étudier le champ et le potentiel créés par un dipôle à grande distance, c'est-à-dire pour une distance r vérifiant r>>d. On va ainsi effectuer des développements limités à l'ordre 1 en \frac{r}{d} : c'est ce qu'on appelle l'approximation dipolaire.

[modifier] Potentiel dipolaire

On se place dans le cadre de l'approximation dipolaire.

V(M)=-\frac q{4\pi\varepsilon_0 {\rm NM}} + \frac q{4\pi\varepsilon_0 {\rm PM}}

Or, {\rm NM}^2={\rm NO}^2+{\rm OM}^2+2\overrightarrow{\rm NO}.\overrightarrow{\rm OM}=\frac{d^2}4+r^2+ 2 \frac{d}2 r \cos\theta

Donc {\rm NM} = r \sqrt{1+\frac{d}{r} \cos(\theta)+\frac{d^2}{4r^2}}

Donc, à l'ordre 1, \frac1{\rm NM} \approx \frac1{r \sqrt{1+\frac dr\cos\theta}} \approx \frac1r \left(1-\frac d{2r}\cos\theta \right )

De même, \frac1{\rm PM} \approx \frac1r \left(1+\frac d{2r}\cos\theta\right)

Dipole.jpg


Potentiel dipolaire

V(M)=\frac{qd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}

Dans un repère polaire (\vec u_r, \vec u_\theta), on peut écrire V(M)=\frac{\vec p.\vec u_r}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}

On remarque que, contrairement au potentiel créé par une charge qui est en \frac1r, le potentiel dipolaire est en \frac1{r^2}, ce qui traduit la quasi-compensation des charges.

[modifier] Champ dipolaire

Champ dipolaire

On se place dans le cadre de l'approximation dipolaire. On utilise la relation \vec E = - \vec \nabla V pour en déduire l'expression du champ dipolaire dans un repère polaire :

\vec E(M) = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} (2 \cos \theta \vec u_r + \sin \theta \vec u_\theta)

On remarque là encore que, contrairement au champ créé par une charge qui est en \frac1{r^2}, le champ dipolaire est en \frac1{r^3}, ce qui traduit la quasi-compensation des charges.

[modifier] Efforts exercés sur un dipôle

On considère un dipôle électrostatique disposé dans un champ électrique extérieur \vec E.


Efforts exercés sur un dipôle dans un champ électrique extérieur

Le dipôle :

  • possède une énergie potentielle électrique W_e=-\vec p\cdot\vec E
  • est soumis à une force \vec F=-\vec\nabla W_e=\vec\nabla(\vec p\cdot\vec E)
  • est soumis à un moment \vec\Gamma=\vec p\wedge\vec E


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