Champ électrostatique, potentiel/Champ électrostatique

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**Champ électrostatique**
Leçon : Champ électrostatique, potentiel

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Symétries, lignes de champ

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Champ électrostatique, potentiel/Champ électrostatique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Notion de champ
2 Champ électrostatique généré par une distribution discrète de charges fixes dans le vide
3 Champ électrostatique généré par une distribution continue de charges fixes dans le vide
4 Champ électrostatique dans un isolant autre que le vide

[modifier] Notion de champ

Pour bien saisir l'idée de ce qu'est un champ de vecteurs, on peut faire l'analogie avec une notion bien connue : l'interaction gravitationnelle.

Soit un corps A, de masse m_A, immobile dans l'espace. Si l'on place en un point B un corps de masse m_B, A va exercer sur B une force $\overrightarrow{F}_{A\rightarrow B} = -G\frac{m_A m_B}{{\rm AB}^2} \overrightarrow{u}_{\rm AB}$ .

Si on pose pour tout point M $\vec \mathcal G_A(M) = -G\frac{m_A}{r^2} \vec u_r$ , $r = A M$ et $\vec u_r = \vec u_{\rm AM}$ , le simple fait de placer un corps de masse m_B en B va soumettre ce corps à une force $\vec F = m_B \vec \mathcal G_A(B)$ .

On dit que $\vec \mathcal G_A$ est le champ gravitationnel généré par A. Ce champ relie directement une propriété du corps B (ici sa masse) à la force à laquelle B est soumis dans un environnement donné (ici la présence de A).

De même, au niveau de la surface de la Terre, un corps de masse m est soumis à son poids $\vec P=m \vec g$ : $\vec g$ est le champ de pesanteur terrestre.

Un champ de vecteurs est ainsi une application qui associe un vecteur donné à chaque point de l'espace. Ce vecteur décrit la possibilité d'une action sur la particule.

[modifier] Champ électrostatique généré par une distribution discrète de charges fixes dans le vide

[modifier] Force de Coulomb

Force de Coulomb

Soient deux particules immobiles chargées A et B, de charges respectives q_A et q_B. La force électrostatique exercée par A sur B vaut $\vec F_{A\rightarrow B}=\frac{q_A q_B}{4\pi\varepsilon_0{\rm AB}^2}\vec u_{\rm AB}$ .

$\varepsilon_0=8,854\ 187\ 817\dots \times10^{-12}\textrm{F.m}^{-1}$ s'appelle la permittivité du vide. C'est une constante fondamentale de la physique.

[modifier] Champ électrostatique généré par une particule chargée dans le vide

Définition

Soit une particule A immobile dans l'espace, de charge q_A. Le champ électrostatique généré par A en M, noté $\vec E_A(M)$ , est défini par $\vec E_A(M)=\frac{q_A}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec u_r$ où r=AM.

Propriété

Soit une particule B de charge q_B placée dans le champ généré par A. Alors B est soumise à la force $\vec F_{A\rightarrow B}=\frac{q_Aq_B}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec u_r=q_B\vec E_A(B)$ où r=AB.

[modifier] Champ électrostatique généré par deux charges dans le vide

Force exercée par deux charges

Soient

deux particules A et B, immobiles dans l'espace, de charges respectives q_A et q_B ;
une particule M de charge q.

La force électrostatique exercée par A et B sur M est $\vec F=\frac{q_Aq}{4\pi\varepsilon_0{\rm AM}^2}\vec u_{\rm AM}+\frac{q_Bq}{4\pi\varepsilon_0{\rm BM}^2}\vec u_{\rm BM}$ .

Interprétation en termes de champ

Soient deux particules A et B, immobiles dans l'espace, de charges respectives q_A et q_B. Le champ engendré en M par :

A est $\vec E_A(M) = \frac{q_A}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec u_{r_A}$ où r = AM.
B est $\vec E_B(M) = \frac{q_B}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec u_{r_B}$ où r = BM.

Le champ électrostatique en M vaut $\vec E(M)=\vec E_A(M)+\vec E_B(M)$ . On a alors bien une force de Coulomb s'exerçant sur une particule de charge q placée en M qui vaut $\vec F=q\vec E(M)$ .

[modifier] Champ électrostatique généré par n charges dans le vide

Théorème de superposition

Soient n particules A₁, A₂, ..., A_n, immobiles dans l'espace, de charges respectives q₁, q₂, ... q_n.

Le champ électrostatique généré par cette distribution est la somme des champs engendrés par chacune des particules : $\vec E(M)=\vec E_{A_1}(M)+\vec E_{A_2}(M)+\cdots+\vec E_{A_n}(M)$ .

Une particule de charge q placée en M est alors soumise à une force $\vec F = q \vec E(M)$ .

[modifier] Champ électrostatique généré par une distribution continue de charges fixes dans le vide

Le théorème de superposition applicable à permet également de calculer le champ électrostatique généré par une distribution continue.

[modifier] Distribution linéique de charges

Propriété

Soit une distribution de charges réparties sur un arc $Γ$ telle qu'en un point courant M de $Γ$ , la densité de charge linéique vale $λ(M)$ . Le champ électrostatique en un point P vaut alors $\vec E(P)= \int_\Gamma\frac{\lambda(M)\vec u_r}{4\pi\varepsilon_0{\rm MP}^2}\,\mathrm dl$ avec $\vec u_r$ vecteur unitaire de même sens et même direction que $\overrightarrow{\rm MP}$ .

[modifier] Distribution surfacique de charges

Propriété

Soit une distribution de charges réparties sur une surface $Σ$ telle qu'en un point courant M de $Σ$ , la densité de charge surfacique vale $σ(M)$ . Le champ électrostatique en un point P vaut alors $\vec E(P)= \iint_\Sigma\frac{\sigma(M)\vec u_r}{4\pi\varepsilon_0{\rm MP}^2}\,\mathrm d^2S$ avec $\vec u_r$ vecteur unitaire de même sens et même direction que $\overrightarrow{\rm MP}$ .

[modifier] Distribution volumique de charges

Propriété

Soit une distribution de charges réparties dans un volume V telle qu'en un point courant M de V, la densité de charge volumique vale $ρ(M)$ . Le champ électrostatique en un point P vaut alors $\vec E(P)= \iiint_V\frac{\rho(M)\vec u_r}{4\pi \varepsilon_0{\rm MP}^2}\,\mathrm d^3\tau$ avec $\vec u_r$ vecteur unitaire de même sens et même direction que $\overrightarrow{\rm MP}$ .

[modifier] Champ électrostatique dans un isolant autre que le vide

Wikipédia possède un article à propos de « Permittivité ».

Permittivité d'un isolant

Tous les isolants ne réagissent pas de la même façon lorsqu'ils sont soumis à un champ électrostatique dans le sens où ils le « laissent plus ou moins passer ». En effet, un isolant est composé de molécules parfois polarisées (par exemple H₂0). Lorsqu'on soumet ces particules à un champ électrostatique, elles « utilisent le champ » pour se déformer, ce qui atténue le champ plus vite que dans le vide.

C'est ainsi qu'on définit la permittivité d'un isolant : c'est une grandeur qui caractérise cette « absorption ». Elle est notée $\varepsilon$ .

On rencontre plus souvent la permittivité relative $\varepsilon_r$ qui est définie par $\varepsilon_r=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$ .

Adaptation des équations de l'électrostatique du vide au cas d'un diélectrique quelconque

Toutes les équations de l'électrostatique du vide sont valables au sein d'un isolant linéaire homogène isotrope de permittivité $\varepsilon$ , à condition de remplacer dans toutes les équations $\varepsilon_0$ par $\varepsilon$ .

Dans toute la suite du cours, on ne traitera que l'électrostatique du vide.

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Symétries, lignes de champ

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[modifier] Champ électrostatique généré par une distribution discrète de charges fixes dans le vide

[modifier] Force de Coulomb

[modifier] Champ électrostatique généré par une particule chargée dans le vide

[modifier] Champ électrostatique généré par deux charges dans le vide

[modifier] Champ électrostatique généré par n charges dans le vide

[modifier] Champ électrostatique généré par une distribution continue de charges fixes dans le vide

[modifier] Distribution linéique de charges

[modifier] Distribution surfacique de charges

[modifier] Distribution volumique de charges

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