Champ magnétique, magnétostatique/Exercices/Mouvement d'une particule chargée

L'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique fait partie de la culture exigible des élèves qui étudient l'électromagnétisme. Il faut connaître les résultats principaux et savoir refaire les preuves.

On se place dans un référentiel galiléen muni d'un repère fixe ${\mathcal {R}}=(O;{\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})$

Soit une particule de charge q, de masse m en mouvement dans un espace où règne un champ magnétique uniforme stationnaire ${\vec {B}}=B~{\vec {u}}_{z}$. On suppose :

• travailler dans le vide
• le poids ${\vec {P}}$ de la particule négligeable par rapport aux autres forces
• qu’à l'instant t=0, la particule est en O, de vitesse égale à ${\vec {v}}_{0}$
• être en absence de tout champ électrostatique

1. Premier cas : ${\vec {v}}_{0}=v_{0}{\vec {u}}_{z}$. Calculer la trajectoire de la particule.
2. Deuxième cas : ${\vec {v}}_{0}=v_{0x}{\vec {u}}_{x}+v_{0y}{\vec {u}}_{y}$.
   1. Montrer que le mouvement de la particule est plan.
   2. Calculer les équations de la trajectoire de la particule. Commenter.
3. Cas général : ${\vec {v}}_{0}=v_{0}\cos(\alpha ){\vec {u}}_{z}+v_{0}\sin(\alpha ){\vec {u}}_{x}$. Calculer la trajectoire de la particule.

• 
  Premier cas
• 
  Deuxième cas
• 
  Cas général

Solution

Question 1 : On considère le système {particule} en mouvement dans ${\mathcal {R}}$ galiléen, soumis à:

• ${\vec {P}}=m{\vec {g}}$, poids de la particule, négligeable
• ${\vec {F}}=q{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$

Le principe fondamental de la dynamique assure $m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=qB~{\vec {v}}\wedge {\vec {u}}_{z}$, donc ${\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}.{\vec {u}}_{z}=0$

Donc ${\frac {\mathrm {d} v_{z}}{\mathrm {d} t}}=0$ donc $v_{z}(t)=~v_{0}$, constante

De plus, en l'absence de champ électrostatique, $v_{0}^{2}=||{\vec {v}}(t)||^{2}=v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}+v_{z}(t)^{2}$ donc $v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}=~0$ donc $v_{x}(t)=v_{y}(t)=0~$

En résumé, ${\begin{cases}v_{x}(t)=0\\v_{y}(t)=0\\v_{z}(t)=v_{0}\end{cases}}$, d'où l'équation de la trajectoire

${\begin{cases}x(t)=0\\y(t)=0\\z(t)=v_{0}t\end{cases}}$

Question 2.1 : On considère le système {particule} en mouvement dans ${\mathcal {R}}$ galiléen, soumis à:

• ${\vec {P}}=m{\vec {g}}$, poids de la particule, négligeable
• ${\vec {F}}=q{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$

Le principe fondamental de la dynamique assure ${\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {qB}{m}}~{\vec {v}}\wedge {\vec {u}}_{z}$. On pose $\omega =-{\frac {qB}{m}}$.

En projetant sur les axes de coordonnées : ${\begin{cases}{\dot {v}}_{x}(t)=-\omega v_{y}(t)\\{\dot {v}}_{y}(t)=\omega v_{x}(t)\\{\dot {v}}_{z}(t)=0\end{cases}}$

Donc $v_{z}~$ est constante. Or $v_{0z}=~0$.

Le mouvement de la particule est plan. La particule reste dans (xOy)

Question 2.2 : On va utiliser ici une astuce de calcul en utilisant les complexes pour venir à bout de ce système différentiel « croisé ».

On pose ${\underline {Z}}(t)=v_{x}(t)+j~v_{y}(t)$.

On a ${\dot {v}}_{x}(t)+j~{\dot {v}}_{y}(t)=-\omega v_{y}(t)+j\omega v_{x}(t)$

Donc ${\underline {\dot {Z}}}$ vérifie l'équation différentielle ${\underline {\dot {Z}}}(t)=j\omega {\underline {Z}}$

Donc ${\underline {Z}}(t)={\underline {Z}}_{0}e^{j\omega t}$. Comme ${\underline {Z}}(0)=v_{0}$ : ${\underline {Z}}(t)=v_{0}e^{j\omega t}$

En reprenant partie réelle et partie imaginaire, on trouve

${\begin{cases}v_{x}(t)=v_{0}\cos(\omega t)\\v_{y}(t)=v_{0}\sin(\omega t)\\v_{z}(t)=0\end{cases}}$

Comme x(0)=0 et y(0)=0, la trajectoire est

${\begin{cases}x(t)=\displaystyle {{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin(\omega t)}\\y(t)=\displaystyle {{\frac {v_{0}}{\omega }}(1-\cos(\omega t))}\\z(t)=0\end{cases}}$

La trajectoire est alors un cercle de rayon $R=\left|{\frac {v_{0}}{\omega }}\right|={\frac {mv_{0}}{|q|B}}$. On remarquera que selon le signe de q, les cercles ne sont pas parcourus dans le même sens.

Question 3 : Grâce au théorème de superposition, on obtient une trajectoire hélicoïdale :

${\begin{cases}x(t)=\displaystyle {{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin(\alpha )\sin(\omega t)}\\y(t)=\displaystyle {{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin(\alpha )(1-\cos(\omega t))}\\z(t)=v_{0}\cos(\alpha )t\end{cases}}$