Approfondissement sur les suites numériques/Approximation de réels

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Un des intérêts des suites est qu’elles permettent, par leur limite, de calculer relativement simplement certaines quantités. Cela est notamment utile pour approcher des quantités réelles qui n'ont pas d'expression explicite.

Dans ce chapitre, on travaille principalement sur des exemples.

Calcul d'une racine carrée

Soit A un nombre réel positif.

On définit la suite $\left(r_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ par la relation de récurrence : $r_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(r_{k}+{\frac {A}{r_{k}}}\right)$ et la donnée d'un premier terme.

Étude de la suite

Les points fixes de cette suite sont les x solutions de :

$x={\frac {1}{2}}(x+{\frac {A}{x}})$ $\Leftrightarrow 2x=x+{\frac {A}{x}}$ $\Leftrightarrow x={\frac {A}{x}}$ $\Leftrightarrow x^{2}=A$

Les deux points fixes sont les racines carrées de A. Par conséquent, si la suite converge, c’est vers une racine de A. D'autre part,

${\frac {1}{2}}(x+{\frac {A}{x}})-x=-{\frac {1}{2}}x+{\frac {A}{x}}={\frac {1}{2x}}\left(2A-x^{2}\right)$

Supposons x positif. Alors, si x est au-dessus d'un point fixe, la suite décroît. S'il est au-dessous, elle croît.

Supposons x négatif. Alors, si x est au-dessous d'un point fixe, la suite croît. S'il est au-dessus, elle décroît.

Par conséquent, la suite converge. Donc, elle converge vers une racine de A.

Remarque : on peut savoir, a priori, vers laquelle des deux racines la suite va converger. Si le premier terme est positif, la suite est positive — s'il est négatif, elle est négative.

Exemple

On prend A = 4, et r₀ = 1.

$r_{0}=1$ $r_{1}={\frac {1}{2}}\left(1+4\right)={\frac {5}{2}}=2,5$ $r_{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {5}{2}}+{\frac {8}{5}}\right)={\frac {41}{20}}=2,05$ $r_{3}={\frac {1}{2}}\left({\frac {41}{20}}+{\frac {80}{41}}\right)={\frac {3281}{1640}}\approx 2,0006$

En effectuant les calculs à la main, on a une (très bonne) approximation. On montre en fait que la convergence de cette suite est quadratique : à chaque itération, on double grosso modo la précision. Cela correspond à ce que l’on observe sur cet exemple : 1 chiffre, 2 chiffres, 4 chiffres justes.

Approximation de racines

Fractale de Newton pour la racine cinquième de 1.

On peut généraliser cela au calcul des racines n-ièmes d'un nombre. Il suffit pour cela de poser la suite :

$z_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)z_{k}+{\frac {A}{z_{k}^{n-1}}}}\right)$

Ce résultat est tiré d'un cas particulier de la méthode de Newton. Elle fournit également les racines complexes, si le premier terme de la suite convient. En revanche, on ne peut plus déterminer, connaissant uniquement le premier terme, vers laquelle des racines la suite convergera.

Si, pour chaque point du plan complexe, on associe une couleur correspondant à la racine vers laquelle la suite converge (ou aucune couleur si la suite diverge), on obtient une figure appelée « fractale de Newton ».

Les zones colorées sur cette figure sont appelées bassins d'attraction. Leur étude est à relier aux outils du chapitre suivant sur les cycles.