Analyse vectorielle/Notion de champ

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Sommaire 1 Notations 2 Introduction 3 Champs dépendants du temps 4 Propriétés supplémentaires 5 Exemples 6 Remarques

[modifier] Notations

Par convention, on notera :

• les quantités réelles ou complexes par des lettres italiques : t ;
• les quantités vectorielles par des lettres grasses  : E ;
• le produit vectoriel, si on y est amené, par une croix : a × b ;
• le produit scalaire, si on y est amené, par un point : a · b

[modifier] Introduction

La physique est souvent amenée à traiter des propriétés différentes en tout point, qui apparaissent aussi bien en physique classique — nous en verrons quelques exemples — qu'en certains domaines de la physique quantique. Les champs proposent un formalisme intuitif pour modéliser ces phénomènes.

Définition

Un champ est une application continue[1], où n et p sont deux entiers naturels non-nuls et où désigne le corps des réels ou des complexes.

Il faut remarquer qu'un tel objet est défini en tout point de l'espace. Dans certains cas, on peut restreindre les champs à une zone seulement de l'espace, mais cela est bien souvent inutile, voire faux physiquement. Nous traiterons donc uniquement le cas général.

On distingue généralement deux cas particuliers :

Définition

On appelle champ scalaire un champ qui, à tout point de l'espace, associe un réel ou un complexe. On appelle champ vectoriel un champ qui, à tout point de l'espace, associe un vecteur réel ou complexe.

De même, il existe des champs tensoriels, des champs spinoriels...

La leçon sera étayée d'exemples, parfois un peu complexes, visant avant tout à illustrer l'intérêt pratique de l'analyse vectorielle. En aucun cas ils ne seront nécessaires à la compréhension du cours.

[modifier] Champs dépendants du temps

Dans le cas le plus général, un champ n'a aucune raison d'être constant (ou alors, il est peu intéressant). Cela est inclus dans la définition : en effet,

En physique, cependant, on distingue clairement le vecteur position du scalaire temps : un champ est généralement noté :

Avec M le champ, r le vecteur position et t le temps.

[modifier] Propriétés supplémentaires

En physique, on demande très souvent des propriétés plus restrictives que la continuité aux champs : en électromagnétisme, il faut que le champ magnétique (et électrique) soit dérivable (et même deux fois dérivable). En mécanique des fluides, il faut la dérivabilité par rapport au temps... On ne se soucie généralement pas de ces considérations.

Principe

En physique, les champs ont souvent les propriétés de continuité et de dérivabilité que l'on souhaite.

En théorie, les champs ne subissent aucune restriction sur la dimension de leur espace de départ ou d'arrivée. En pratique, de nombreux résultats ne peuvent être énoncés facilement qu'en dimension trois. Sauf précision contraire, nous travaillerons donc dans l'espace euclidien usuel

[modifier] Exemples

• Intuitivement, un exemple de champ scalaire de dimension trois est la température d'une pièce : en chaque point de l'espace, on peut attribuer un nombre.

• Dans une rivière qui s'écoule, on peut attribuer à chaque point une vitesse : c'est un champ vectoriel.

[modifier] Remarques

1. ↑ On rappelle que où note le produit cartésien. En particulier, est le plan euclidien usuel.