Étude de fonctions/Dérivation

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**Dérivation**
Leçon : Étude de fonctions

Chapitre 5
Chap. préc. :	Nombre dérivé de fonctions
Chap. suiv. :	Fonction dérivée

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Étude de fonctions/Dérivation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Définition
2 Interprétation
3 Continuité et Dérivabilité
4 Calcul des dérivées
5 Dérivées des fonctions composées
6 Dérivées des fonctions réciproques
7 Différentielle
8 Utilisations
- 8.1 Dérivée première et variations
- 8.2 Dérivée seconde et convexité
9 Les théoremes fondamentaux

[modifier] Définition

Dérivée: Soit une fonction $f$ , à valeurs dans $\mathbb{K}$ , définie sur un voisinage de $x 0$ . On note $Δ x = x - x o$ la variation autour du point $x o$ et $Δ f = f (x) - f (x o)$ la variation correspondante de la fonction $f$ .

Définition n°1

On dit qu'une fonction $f$ est dérivable en $x 0$ si la limite

$\lim_{x \to x_0}\frac{\Delta f}{\Delta x}\, = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\, = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\,$

existe. Dans ce cas, on appelle cette limite dérivée de $f$ en $x 0$ et on la note $f^\prime(x_0)$ .

Définition n°2

On dit que $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$ et on note $f^\prime$ la fonction dérivée $x \mapsto f^\prime (x)$ .

La dérivée de $f^\prime$ , si elle existe, est notée $f^{\prime \prime}$ ,

et par récurrence, on définit la dérivée nième de $f$ , notée $f (n)$ .

Attention à ne pas confondre avec la puissance nième de $f$ , notée $f n$ , avec la dérivée $n$ ième notée $f (n)$ .

La définition suivante est souvent utile:

Définition n°3

On dit que

f

est

n

fois dérivable sur un intervalle

I

si elle est

n

fois dérivable en tout point de

I

; on dit que
$f \in C^n(I)$ si $f, f^\prime, ...$ sont continues sur

I

.

Donc $f \in C^0(I)$ signifie simplement que $f$ est continue sur $I$ . On peut aussi parler de la classe $C^\infty (\mathbb{R})$ , avec les polynômes, l'exponentielle, le sinus, le cosinus et la gaussienne $x \mapsto e^{-ax^2}$ avec $a \in \mathbb{R_{+}^{*}}$ .

[modifier] Interprétation

[modifier] Interprétation géométrique

Si

f

est à valeurs réelles et si le nombre $f^\prime (x_0)$ existe, il est est égal à la pente de la tangente à

f (x)

au point

x 0

. L'équation cartésienne de la droite tangente à

f (x)

en

x 0

s'écrit $y = f(x_0) + (x - x_0)*f^\prime (x_0)$ . À noter que si $f^\prime (x_0) = \pm \infty$ la tangente à la courbe existe encore, mais elle est verticale, et d'équation

x = x 0

.

[modifier] Interprétation mécanique

Soit

x (t)

l'équation horaire d'un point matériel selon l'axe

O x

en fonction du temps

t

. La limite $\lim_{t \to t_0}\frac{x(t) - x(t_0)}{t-t_0}\,$ est notée $\dot x (t_o)$ et la fonction dérivée $t \mapsto \dot x (t)$ est la vitesse du point, à l'instant

t

, selon l'axe

O x

. L'accélération à l'instant

t

, selon ce même axe, est la dérivée seconde $\ddot x (t)$ . La loi fondamentale de la dynamique newtonienne s'exprime selon

$m \ddot x (t) = F_x$ ,

où

m

est la masse de la particule considérée et

F x

la composante, selon l'axe

O x

, de la force qui s'exerce sur la particule, qui peut dépendre de $x, \dot x , ...$ . On obtient des équations différentielles que l'on ne sait résoudre analytiquement que pour des forces

F x

assez simples.

[modifier] Interprétation chimique

On considère un échantillon de matériau radio-actif qui contient

N (t)

atomes à l'instant

N (t)

. La loi fondamentale qui régit l'évolution temporelle du phénomène de désintégration est la suivante: le taux de variation instantanée du nombre d'atomes est une constante négative, dont la valeur absolue est notée

λ

(elle varie selon la nature de l'atome). La variation instantanée du nombre d'atomes est la dérivée $\dot N (t)$ et le taux de variation est $\frac{\dot N}{N}\,$ . On a donc pour loi de variation temporelle:

$\frac{\dot N}{N}\, = - \lambda \Rightarrow \dot N (t) = \lambda N(t)$ .

On obtient encore une équation différentielle; le lecteur peut vérifier que si

N 0

est le nombre d'atomes initial à

t = 0

, au temps

t

il n'en restera plus que

N (t) = N 0 e - λ t

.

[modifier] Continuité et Dérivabilité

Théorème

Toute fonction $f$ dérivable en $x 0$ est continue en ce point.

Attention! La réciproque est fausse. Par exemple la fonction $x \mapsto \left| x \right|$ est continue en $x = 0$ , mais elle n'est pas dérivable en $x = 0$ . Ici encore, prudence: il existe des fonctions continues sur $\mathbb{R}$ qui ne sont dérivables en aucun point! On ne peut pas toujours "faire un dessin".

[modifier] Calcul des dérivées

[modifier] Dérivées des fonctions composées

Théorème

Si $f$ est dérivable en $g (x)$ et $g$ est dérivable en $x$ , alors $f o g$ est dérivable en $x$ et $(f \circ g)'(x)=(f' \circ g)(x)\times g'(x)$

Démonstration

$g$ dérivable en $x \Leftrightarrow\ g(x+h)=g(x)+g'(x)h+h\epsilon(h)$ avec $\lim_{h\rightarrow 0}\epsilon(h)=0$ (1)
$f$ dérivable en $g(x) \Leftrightarrow\ f[g(x)+h]=(f \circ g)(x)+(f' \circ g)(x)h+h\epsilon_1(h)$ avec $\lim_{h\rightarrow 0}\epsilon_1(h)=0$ (2)

Nous devons montrer que $(f \circ g)(x+h)=(f \circ g)(x)+h(f' \circ g)(x)\times g'(x)+h\epsilon_2(h)$

Posons $h' = g'(x) h + h ε(h)$ . Nous noterons (3) cette égalité. On a bien $\lim_{h\rightarrow 0}h'(h)=0$ .

$(f \circ g)(x+h)=f[g(x+h)]=f[g(x)+g'(x)h+h\epsilon(h)]$ d'après (1)

$=f[g(x)+h']=(f \circ g)(x)+(f' \circ g)(x)h'+h'\epsilon_1(h)$ d'après (2)

$=(f \circ g)(x)+h[(f' \circ g)(x)g'(x)]+h[(f' \circ g)(x)\epsilon(h)+\epsilon_1(h)g'(x)+\epsilon(h)\epsilon_1(h)]$ d'après (3)

$=(f \circ g)(x)+h(f' \circ g)(x)\times g'(x)+h\epsilon_2(h)$

Ainsi $(f \circ g)'(x)=(f' \circ g)(x)\times g'(x)$

car $\epsilon_2(h)=(f' \circ g)(x)\epsilon(h)+\epsilon_1(h)g'(x)+\epsilon(h)\epsilon_1(h)$ et on a bien $\lim_{h\rightarrow 0}\epsilon_2(h)=0$ .

Remarque

Il existe une démonstration de ce théorème, apparemment plus simple, qui utilise l'"astuce" $\dfrac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}=\dfrac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}\times \dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}$ , mais cette démonstration est moins bonne que la précédente car elle suppose que $g(x)\neq g(a)$ pour tout $x$ au voisinage de $a$ , ce qui n'a aucune raison d'être !!!

[modifier] Dérivées des fonctions réciproques

$\left(f^{-1}\right)'=\dfrac{1}{f' \circ f^{-1}}$

[modifier] Différentielle

[modifier] Utilisations

[modifier] Dérivée première et variations

[modifier] Dérivée seconde et convexité

[modifier] Les théoremes fondamentaux

Étude de fonctions

Nombre dérivé de fonctions

Fonction dérivée