Étude de fonctions/Continuité

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Sommaire 1 Définition 1.1 Interprétation graphique 1.2 Fonctions classiques 2 Opérations sur les fonctions continues 2.1 Opérations classiques 2.1.1 Théorème 2.1.2 Corollaire 2.2 Continuité et composition 2.2.1 Théorème 2.2.2 Corollaire 2.2.3 Conclusion (théorème) 3 Résolution de l'équation f(x) = k 3.1 Théorème des valeurs intermédiaires 3.2 Corollaire 3.3 Cas général

[modifier] Définition

Si une fonction f est continue en a alors f est définie en a et admet une limite finie en a qui est f(a).  

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un nombre de I. On dit que f est continue en a si et seulement si :

      ou      .

Sinon, f est discontinue en a.  

f est continue sur l'intervalle I si et seulement si, f est continue en tout nombre de I.

[modifier] Interprétation graphique

f est continue sur l'intervalle I signifie que l'on peut tracer la courbe de la fonction f sur I sans avoir à lever le crayon de la feuille.

[modifier] Fonctions classiques

Toutes les fonctions sont définies et continues sur . Par conséquent, toutes les fonctions polynômes sont définies et continues sur . Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. La fonction sinus et la fonction cosinus sont continues sur . La fonction racine carrée est continue sur .

[modifier] Opérations sur les fonctions continues

[modifier] Opérations classiques

[modifier] Théorème

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I, soit a un élément de I où f et g sont continues. Alors leur somme f + g , leur produit et leur quotient (si g(a) ≠ 0) et toutes fonctions du type kf , () sont des fonctions continues en a. Ceci est démontrable par les propriétés sur les limites.

[modifier] Corollaire

Soit f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I. Alors leur somme f + g , leur produit et leur quotient (si g(x) ≠ 0 ) et toutes fonctions du type kf , () sont des fonctions continues sur l'intervalle I.

[modifier] Continuité et composition

[modifier] Théorème

Soit f une fonction définie dans un intervalle I contenant le nombre a et g une fonction définie sur un intervalle J contenant f(a). Si f est continue en a et si g est continue en f(a) alors, est continue en a.

[modifier] Corollaire

Si f est définie et continue sur un intervalle I et si g est définie et continue sur un intervalle J contenant f(I). Alors, est définie et continue sur I.

[modifier] Conclusion (théorème)

Si et si g est continue en l alors, .

[modifier] Résolution de l'équation f(x) = k

[modifier] Théorème des valeurs intermédiaires

Si f est une fonction définie et continue sur un intervalle I et si a et b sont deux nombres de I alors, pour tout nombre k compris entre f(a) et f(b) il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

[modifier] Corollaire

Si f est une fonction définie, continue et monotone sur l'intervalle [a;b], a < b. Alors, pour tout nombre k compris entre f(a) et f(b) il n'existe qu'un seul nombre c compris entre a et b tel que f(c) = k.
L'équation f(x) = k a une et une seule solution dans [a;b].

[modifier] Cas général

Si f est une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I et si α et β sont les limites de f aux bornes de cet intervalle (α et β sont des nombres, ou ). Alors, pour tout réel k strictement compris entre α et β, il existe une et une seule solution à l'équation f(x) = k.