Étude de fonctions/Nombre dérivé de fonctions

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**Nombre dérivé de fonctions**
Leçon : Étude de fonctions

Chapitre 4
Chap. préc. :	Continuité
Chap. suiv. :	Dérivation

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Étude de fonctions/Nombre dérivé de fonctions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Soit $t$ le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$

Sommaire

1 Condition de dérivabilité d'une fonction en un point
- 1.1 Les deux propositions sont équivalentes (démonstration)
2 Nombre dérivé
- 2.1 À retenir
3 Tangente à la courbe d'une fonction en un point (équation cartésienne)
- 3.1 Démonstration

[modifier] Condition de dérivabilité d'une fonction en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ un nombre de $I$ . On dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si Il existe un nombre réel $m$ tel que l'une des deux propositions suivantes soit vérifiée :

: $\lim_{h \to 0}t(h) = m$

Pour tout réel $h$ tel que $a+h \in I$ on a :

$f(a+h) = f(a)+h \times m+h\times\phi(h)\,$

où $φ$ est une fonction telle que $\lim_{h \to 0}\phi(h) = 0$

[modifier] Les deux propositions sont équivalentes (démonstration)

On suppose que $\lim_{h \to 0}t(h) = m$

$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = m$

$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-m = 0$

On pose $\phi(h) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h} - m$ . $\lim_{h \to 0}\phi(h) = 0$

$\frac{h\phi(h)}{h} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h} - \frac{h \times m}{h}$

$h\times\phi(h) = f(a+h) - f(a) - h \times m\,$

$f(a+h) = f(a)+h \times m+h\times\phi(h)\,$ avec $\lim_{h \to 0}\phi(h) = 0$

[modifier] Nombre dérivé

Le nombre réel $m$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ . Ce nombre dérivé est noté $f^\prime(a)$ .

[modifier] À retenir

Si $f$ est dérivable en $a$ alors le nombre dérivé en $a$ est égal à la limite du taux de variation en $a$ .

$f^{\prime}(a) = \lim_{h \to 0}t(h)$

Théorème : Si $f$ est une fonction dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$ :

" $f$ est dérivable en $a$ " $\Rightarrow$ $\lim_{h \to 0}t(h) = m$ (avec $m \in \R$ )

$\Rightarrow$ $\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = m$ $\Rightarrow$ $\lim_{x \to a}f(x)-f(a) = m(x-a)$ $\Rightarrow$ $\lim_{x \to a}f(x) = f(a) + m(x-a)$

or $\lim_{x \to a}x-a = 0$ $\Rightarrow$ $\lim_{x \to a}f(x) = f(a)$ $\Rightarrow$ " $f$ est continue en $a$ "

[modifier] Tangente à la courbe d'une fonction en un point (équation cartésienne)

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ et soit $C$ sa représentation graphique. La tangente à la courbe $C$ au point $A (a; f (a))$ admet pour équation $y = f^\prime(a)(x-a)+f(a)$ .

Si $\lim_{h \to 0}t(h) = +\infty (ou -\infty)$ alors la droite d'équation $x = a$ est une tangente verticale au point $A (a; f (a))$ à $C$ mais $f$ n'est pas dérivable en $a$ .

[modifier] Démonstration

$f^{\prime}(a)$ est le coefficient directeur de la tangente donc une équation cette droite est : $y = f^{\prime}(a) \times x + b$ . $A (a; f (a))$ appartient à la tangente donc ses coordonnées vérifient :