Équations et fonctions du second degré/Fonctions trinôme et complexes

Cette section nécessite des connaissances sur les nombres complexes. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

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Trinômes à coefficients réels

Soit la fonction polynomiale du second degré ƒ définie pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)=ax^{2}+bx+c$, avec

• a, b et c trois coefficients réels
• a non nul.

Lors de la mise sous forme canonique de ƒ, on a vu que $(E)~:~f(x)=0\Leftrightarrow \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {\Delta }{4a^{2}}}$

Si $\Delta <0,~(E)\Leftrightarrow x+{\frac {b}{2a}}=i{\sqrt {-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}}}{\textrm {~ou~}}x+{\frac {b}{2a}}=-i{\sqrt {-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}}}$

Finalement, le théorème de niveau 11 se généralise de la façon suivante :

Début d’un théorème

Théorème

Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant : $\Delta =b^{2}-4ac$

• Si $\Delta >0$ alors le trinôme a deux racines réelles distinctes:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ et $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

• Si $\Delta =0$ alors le trinôme a une racine réelle double:

$x_{0}=-{\frac {b}{2a}}$

• Si $\Delta <0$ alors le trinôme a deux racines complexes conjuguées:

$x_{1}={\frac {-b+i{\sqrt {|\Delta |}}}{2a}}$ et $x_{2}={\frac {-b-i{\sqrt {|\Delta |}}}{2a}}$ où $i^{2}=-1$

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

Trouver les racines de la fonction polynomiale $f:x\mapsto x^{2}-2x+2$.

Le discriminant de ƒ est strictement négatif : $\Delta =-4$, donc ƒ n'admet aucune racine réelle. En revanche, il existe deux racines complexes de ƒ, définies par : ${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-(-2)-i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\times 1}}\\&={\frac {2-2i}{2}}\\&=1-i\end{aligned}}$

et ${\begin{aligned}x_{2}&={\frac {-(-2)+i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\times 1}}\\&={\frac {2+2i}{2}}\\&=1+i\end{aligned}}$

On peut factoriser ƒ dans $\mathbb {C}$ :

${\begin{aligned}f_{2}(x)&=(x-x_{1})(x-x_{2})\\&=(x-1+i)(x-1-i)\\&=\left(x-{\sqrt {2}}e^{\frac {3i\pi }{4}}\right)\left(x-{\sqrt {2}}e^{\frac {-3i\pi }{4}}\right)\end{aligned}}$

Fin de l'exemple

Trinôme complexe

Toutes les notions que l’on a vues se généralisent dans $\mathbb {C}$.

Soit la fonction polynomiale du second degré ƒ définie pour tout $z\in \mathbb {C} ,~f(z)=az^{2}+bz+c$, avec

• a, b et c trois coefficients complexes
• a non nul.

Le discriminant de ƒ est défini par $\Delta =b^{2}-4ac$.

Si $\Delta \not =0$, Δ admet deux racines carrées complexes distinctes $\delta$ et $-\delta$.

• Voir le cours sur les complexes pour le rappel de la méthode de calcul des racines carrées d'un complexe.

Début d’un théorème

Théorème

Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant : $\Delta =b^{2}-4ac$

• Si $\Delta \not =0$ alors le trinôme a deux racines :

$z_{1}={\frac {-b+\delta }{2a}}$ et $z_{2}={\frac {-b-\delta }{2a}}$

• Si $\Delta =0$ alors le trinôme a une racine complexe avec une partie réelle double :

$z_{0}=-{\frac {b}{2a}}$

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

Factoriser la fonction trinôme définie sur $\mathbb {C}$ par $f:z\mapsto z^{2}-4z+4+2i$.

• Son discriminant vaut :

${\begin{aligned}\Delta &=b^{2}-4ac\\&=(-4)^{2}-4\times 1\times (4+2i)\\&=-8i\end{aligned}}$

• $\Delta \not =0$ donc Δ admet deux racines carrées distinctes : $\delta =2(1-i)$ et $-\delta =-2(1-i)$
• Les racines de f sont alors :

${\begin{aligned}z_{1}&={\frac {-b+\delta }{2a}}\\&={\frac {4+2(1-i)}{2}}\\&=3-i\\\end{aligned}}$ et ${\begin{aligned}z_{2}&={\frac {-b-\delta }{2a}}\\&={\frac {4-2(1-i)}{2}}\\&=1+i\\\end{aligned}}$

Donc $\forall z\in \mathbb {C} ,~f(z)=(z-(1+i))(z-(3-i))$

Fin de l'exemple