Électromagnétisme dépendant du temps/Rappels de statique

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Nous rappelons ici des résultats admis ou démontrés dans le cadre de distributions de charges (électrostatique) et de courants (magnétostatique) n'évoluant pas, dont certains ne seront plus vrais lorsque les charges ou les champs seront variables.

Conservation de la charge, continuité, loi des nœuds

On a, dans tous les cas, conservation de la charge électrique. Cela implique que, dans une zone donnée V de l'espace, la variation de charge égale le flux de charge (le courant) qui entre dans V. On note cela ainsi :

${\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=-\int \!\!\!\!\!\int _{\partial V}\mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

en ayant noté j le vecteur densité de courant, dS un élément orienté de la surface (fermée) ∂V délimitant V, dirigé vers l'extérieur. En utilisant les théorèmes d'analyse vectorielle, on montre que cela implique :

$\mathrm {div} \;\mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$

Cette dernière relation est également appelée équation de continuité pour la charge électrique. En particulier, en électrostatique/magnétostatique, la charge en un point ne dépend pas du temps (autrement, ce n’est pas un régime statique...), et on a :

$\mathrm {div} \;\mathbf {j} =0$

On dit que j est à flux conservatif. On traduit cela par l'absence d'accumulation de charges dans V : tout ce qui entre ressort. Une conséquence directe en est la loi des nœuds.

Circulation des champs

Circulation de E, loi des mailles

En régime statique, on a :

$\mathbf {E} =-\mathbf {grad} \;V$

Cela s'interprète de la manière suivante : le long d'une ligne de champ électrique, V diminue (puisque le gradient de V pointe vers les potentiels plus élevés). Si on imagine une ligne de champ fermée, le potentiel « au départ » et « à l'arrivée » est le même, ce qui se note ainsi :

$\oint _{\Gamma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =0$

avec Γ un contour fermé. On dit que le champ électrique est à circulation conservative. D'après les théorèmes d'analyse vectorielle, cela s'écrit encore :

$\mathbf {rot} \;\mathbf {E} =\mathbf {0}$

Une conséquence directe de cela est la loi des mailles : la somme des différences de potentiel sur une maille (c'est-à-dire un contour fermé) doit être nulle.

Circulation de B, théorème d'Ampère

En régime stationnaire, la circulation du champ magnétique sur un contour fermé est donnée par le théorème d'Ampère :

$\oint _{\Gamma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}I_{enl}$

où I_enl est l'intensité « enlacée » par le contour. Les théorèmes d'analyse vectorielle permettent de mettre cette relation sous une forme locale :

$\mathbf {rot} \;\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j}$

Flux des champs

Flux de E, théorème de Gauss

Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est donné par le théorème de Gauss :

$\iint _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {Q_{int}}{\varepsilon _{0}}}$

où Q_int est la charge contenue dans le volume V délimité par ∂V. D'après les théorèmes d'analyse vectorielle, cela peut être mis sous une forme locale :

$\mathrm {div} \;\mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

Flux de B, monopôles magnétiques

Le flux du champ magnétique à travers toute surface est nul. Cela vient du fait (expérimental) qu’il n'existe pas de « monopôle » magnétique (un aimant ne possédant que l'un des deux pôles, nord ou sud). Localement, cela se traduit par :

$\mathrm {div} \;\mathbf {B} =0$