Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique II - Correction

Partie A : ÉLECTROMAGNÉTISME - Écrantage d'un champ magnétique

Partie 1 - Oscillations dans le champ de pesanteur terrestre

1. 1. 

      Le champ magnétique créé par une spire parcourue par un courant $i$, en un point $M$ de son axe de symétrie, depuis lequel la spire est vue sous un angle $\alpha$ est donné par :

      $\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}i}{2r}}\sin ^{3}(\alpha )\mathbf {e} _{z}$

      

      Une section de hauteur $dz$ du solénoïde $\sigma _{1}$, vue depuis $M$ sous un angle $\alpha$, crée en $M$ un champ magnétique :

      $d\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{2r_{1}}}{\frac {N_{1}i}{L}}dz\sin ^{3}(\alpha )\mathbf {e} _{z}$

      Comme $\tan \alpha ={\frac {r_{1}}{z}}$ on a :

      $(1+\tan ^{2}\alpha )d\alpha =-{\frac {r_{1}dz}{z^{2}}}=-{\frac {tan^{2}\alpha }{r_{1}}}dz$

      donc

      $dz=-r_{1}\left(1+{\frac {1}{\tan ^{2}\alpha }}\right)d\alpha =-{\frac {r_{1}}{\sin ^{2}\alpha }}d\alpha$

      On obtient alors l’expression du champ magnétique élémentaire créé en $M$ :

      $d\mathbf {B} =-{\frac {\mu _{0}}{2}}{\frac {N_{1}i}{L}}\sin \alpha d\alpha$

      Le solénoïde étant supposé très long (infini), on obtient le champ magnétique en un point de l'axe par intégration :

      $\mathbf {B} =\left(\int _{\pi }^{0}-{\frac {\mu _{0}}{2}}{\frac {N_{1}}{L}}\sin \alpha d\alpha \right)\mathbf {e} _{z}={\frac {\mu _{0}}{2}}{\frac {N_{1}i}{L}}\left[\cos \alpha \right]_{\pi }^{0}\mathbf {e} _{z}$

      $\mathbf {B} =\mu _{0}{\frac {N_{1}}{L}}i\mathbf {e} _{z}$

      Ce champ est constant sur l'axe.
      La distribution de courant étant invariante par rotation d'axe $(Oz)$ et par translation d'axe $(Oz)$ en coordonnées cylindriques, le champ magnétique ne dépend que de $r$.
      La distribution de courant étant anti-symétrique par rapport à tout plan contenant l'axe $(Oz)$, le champ magnétique est dirigé selon $\mathbf {e} _{z}$ en tout point de l'espace, donc $\mathbf {B} _{1}$ est de la forme :

      $\mathbf {B} _{1}=B_{1}(r)\mathbf {e} _{z}$

      

      On applique le théorème d'Ampère au contour ${\mathcal {C}}$ représenté ci-contre :

      $\int _{\mathcal {C}}\mathbf {B} _{1}\cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}i_{\rm {int}}$

      $\mathbf {B} _{1}$ étant orthogonal à $d\mathbf {l}$ sur deux des côtés de ${\mathcal {C}}$, on a :

      $-B_{1}(0)h+B_{1}(r)h=\mu _{0}i_{\rm {int}}$

      où

      • $B_{1}(0)=\mu _{0}{\frac {N_{1}}{L}}i$
      • si $r<r_{1}$ : $i_{\rm {int}}=0$
      • si $r>r_{1}$ : $i_{\rm {int}}={\frac {N_{1}}{L}}ih$

      On obtient donc le champ magnétique :

      $\left\{{\begin{array}{lcl}\mathbf {B} _{1}=\mu _{0}{\cfrac {N_{1}}{L}}i\mathbf {e} _{z}&{\text{si}}&r<r_{1}\\\mathbf {B} _{1}=\mathbf {0} &{\text{si}}&r>r_{1}\end{array}}\right.$

   2. Le coefficient d'inductance $L_{1}$ se calcule en ajoutant le flux magnétique traversant chacune des sprires du solénoïde $\Sigma _{1}$ :

      $\phi _{1}=\mu _{0}{\frac {N_{1}}{L}}iN_{1}\pi r_{1}^{2}$

      On a alors le coefficient d'inductance

      $L_{1}=\mu _{0}{\frac {N_{1}^{2}}{L}}\pi r_{1}^{2}$

      De même

      $L_{2}=\mu _{0}{\frac {N_{2}^{2}}{L}}\pi r_{2}^{2}$

      Application numérique :

      $L_{2}=$

   3. Soit $\phi _{1\to 2}$ le flux de $\mathbf {B} _{1}$ au travers du solénoïde $\Sigma _{2}$. Le coefficient de mutuelle inductance $M$ est défini par :

      $M={\frac {\phi _{1\to 2}}{i}}$

      $\phi _{1\to 2}=\iint _{{\text{spires de }}\Sigma _{2}}\mathbf {B} _{1}\cdot d\mathbf {S} =\mu _{0}{\frac {N_{1}}{L}}iN_{2}\pi r_{2}^{2}$

      donc

      $M=\mu _{0}{\frac {n_{1}N_{2}}{L}}\pi r_{2}^{2}$

2. 1. 

      

      En notant $\phi _{2}$ le flux total traversant le solénoïde $\Sigma _{2}$, on a d’après la loi de Faraday $e_{2}=-{\frac {d\phi _{2}}{dt}}$ et d’après la loi d'Ohm $e_{2}=R_{2}i_{2}$. Donc

      ${\frac {d\phi _{2}}{dt}}+R_{2}i_{2}=0$

      Or $\phi _{2}=L_{2}i_{2}+Mi_{0}$, d'où l'équation différentielle

      $L_{2}{\frac {di_{2}}{dt}}+M{\frac {di_{0}}{dt}}+R_{2}i_{2}=0$

      En régime permanent on a $i_{2}=I_{2}\cos(\omega t+\varphi )$. Avec la notation complexe l'equation précédente devient :

      $j\omega L_{2}{\underline {i_{2}}}+j\omega M{\underline {i_{0}}}+R_{2}{\underline {i_{2}}}=0$

      d'où

      ${\underline {i_{2}}}=-{\frac {j\omega M{\underline {i_{0}}}}{R_{2}+j\omega L_{2}}}=-{\frac {j\omega {\cfrac {M}{R_{2}}}{\underline {i_{0}}}}{1+j\omega {\cfrac {L_{2}}{R_{2}}}}}$

      On obtient le résultat :

      ${\underline {i_{2}}}={\frac {Kj{\cfrac {\omega }{\omega _{c}}}{\underline {i_{0}}}}{1+j{\cfrac {\omega }{\omega _{c}}}}}$ avec $\omega _{c}={\frac {R_{2}}{L_{2}}}$ et $K=-{\frac {M}{L_{2}}}$

      Or $M=\mu _{0}{\frac {N_{1}N_{2}}{L}}\pi r_{2}^{2}$ et $L_{2}=\mu _{0}{\frac {N_{2}^{2}}{L}}\pi r_{2}^{2}$ donc

      $K=-{\frac {N_{1}}{N_{2}}}$

   2. Le champ $\mathbf {B} _{2}$ à l'intérieur de solénoïde $\Sigma _{2}$ s'obtient par superposition des champs créés par $\Sigma _{1}$ et $\Sigma _{2}$, soit d’après la question 1.a :

      $\mathbf {B} _{2}=\left(\mu _{0}{\frac {N_{1}}{L}}i_{0}+\mu _{0}{\frac {N_{2}}{L}}i_{2}\right)\mathbf {e} _{z}$

      Soit en notation complexe, et d’après la question précédente :

      ${\underline {\mathbf {B} _{2}}}=\left(\mu _{0}{\frac {N_{1}}{L}}+\mu _{0}{\frac {N_{2}}{L}}{\frac {Kj{\cfrac {\omega }{\omega _{c}}}}{1+j{\cfrac {\omega }{\omega _{c}}}}}\right){\underline {i_{0}}}\mathbf {e} _{z}$

      En tenant compte de $N_{2}K=-N_{1}$ on obtient l'amplitude complexe ${\underline {B_{2}}}$ du champ magnétique total à l'intérieur du solénoïde $\Sigma _{2}$ :

      ${\underline {B_{2}}}=\mu _{0}{\frac {N_{1}}{L}}\left(1-{\frac {j{\cfrac {\omega }{\omega _{c}}}}{1+j{\cfrac {\omega }{\omega _{c}}}}}\right)I_{0}$

      ${\underline {B_{2}}}=\mu _{0}{\frac {N_{1}}{L}}I_{0}{\frac {1}{1+j{\cfrac {\omega }{\omega _{c}}}}}$

      D'où la norme $B_{2}$ de ce champ magnétique :

      $B_{2}={\frac {\mu _{0}N_{1}I_{0}}{L{\sqrt {1+{\cfrac {\omega ^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}}$

      laquelle tend vers 0 lorsque ω tend vers l'infini.
      

      A haute fréquence le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde $\Sigma _{2}$ tend vers 0.