Utilisateur:Sharayanan/tmp

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Sommaire

1 Chapitre 2
2 Chapitre 3
3 Chapitre 4
- 3.1 Exercice : déformations simples
  - 3.1.1 Énoncé
    - 3.1.1.1 Partie 1
- 3.2 Exercice : déformations simples - *
4 Chapitre 5
5 Chapitre 6
- 5.1 Exercice : changement de référentiel
6 Chapitre 7
- 6.1 Exercice : tassement du sol
- 6.2 Exercice : compressibilité d'un matériau poreux
7 Chapitre 8

[modifier] Chapitre 2

[modifier] Exercice : formes et applications linéaires

[modifier] Énoncé

Dans cet exercice, on suppose connue une base orthonormée de l'espace $\left(\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z \right)$ .

[modifier] Partie 1

Trouver le vecteur traduisant par son produit scalaire l'application qui à un vecteur de l'espace associe sa coordonnée selon l'axe x.
Faire de même avec les applications qui à un vecteur associent leur coordonnée suivant y et z.
Représenter le tenseur identité, expliquer le lien avec les deux questions précédentes.

[modifier] Partie 2

Soit le vecteur v de coordonnées (1, 0, -2). Montrer que l'application ƒ(u) = v × u est linéaire.
Trouver le tenseur F qui représente l'application ƒ.
Quelles sont les propriétés de F ?
Représenter F dans la base suivante :

$\left( \mathbf e_1 = \frac{1}{\sqrt 5} \mathbf v, \mathbf e_2 = \frac{1}{\sqrt 5} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \mathbf e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \right)$

[modifier] Correction

[modifier] Partie 1

1. Il s'agit du vecteur unitaire $\mathbf e_x$ . On peut s'en convaincre de plusieurs façons, la plus simple étant de constater que le produit scalaire de ce vecteur avec tout autre vecteur donne la coordonnée en x de ce dernier.

2. De même, il s'agit respectivement de $\mathbf e_y$ et de $\mathbf e_z$ .

3. Le tenseur identité, dans la base orthonormée, a la forme suivante :

$\mathbf 1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Puisqu'on a par ailleurs la relation de fermeture :

$\mathbf 1 = \sum_{i = x, y, z} \left( \mathbf e_i \otimes \mathbf e_i \right)$

on peut interpréter ce tenseur comme l'application qui associe à tout vecteur un vecteur dont les coordonnées sont identiques :

$\mathbf 1 \left( \mathbf u \right) = \mathbf 1 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf e_x \cdot \mathbf u \\ \mathbf e_y \cdot \mathbf u \\ \mathbf e_z \cdot \mathbf u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \mathbf u$

[modifier] Partie 2

1. Soit deux vecteurs a et b, et un scalaire λ. On a alors, par linéarité du produit vectoriel :

$\begin{align} f \left( \mathbf a + \lambda \mathbf b \right) & = \mathbf v \times \left( \mathbf a + \lambda \mathbf b \right) \\ & = \mathbf v \times \mathbf a + \mathbf v \times \left( \lambda \mathbf b \right) \\ & = \mathbf v \times \mathbf a + \lambda \mathbf v \times \mathbf b \\ & = f \left( \mathbf a \right) + \lambda f \left( \mathbf v \right) \end{align}$

Ce qui montre que l'application ƒ est linéaire.

2. Les coordonnées de F sont :

$\begin{align} F_{i,j} & = \mathbf e_i \cdot \mathbf F \left( \mathbf e_j \right) \\ & = \mathbf e_i \cdot f \left( \mathbf e_j \right) \\ & = \left( \mathbf v \times \mathbf e_j \right) \cdot \mathbf e_i \\ & = \left( \mathbf e_i \times \mathbf v \right) \cdot \mathbf e_j \\ & = \left( \mathbf e_j \times \mathbf e_i \right) \cdot \mathbf v \end{align}$

On peut déjà remarquer, par les propriétés du produit vectoriel, que

F i, j = - F j, i

, c'est-à-dire que F est anti-symétrique. Aussi, nous pourrons nous contenter de ne calculer que ses trois composantes indépendantes, les autres s'en déduisant :

$F_{y,x} = \left( \mathbf e_x \times \mathbf e_y \right) \cdot \mathbf v = \mathbf e_z \cdot \mathbf v = - 2$

$F_{z,y} = \left( \mathbf e_y \times \mathbf e_z \right) \cdot \mathbf v = \mathbf e_x \cdot \mathbf v = 1$

$F_{z,x} = \left( \mathbf e_x \times \mathbf e_z \right) \cdot \mathbf v = - \mathbf e_y \cdot \mathbf v = 0$

Ainsi, dans cette base, F est représenté par la matrice suivante, que l'on note également F par abus de notations :

$\mathbf F = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

3. On a les propriétés suivantes :

F est anti-symétrique (a) ;
Sa trace est nulle (conséquence de (a)) ;
F(v) = 0 (b) ;
F est de rang 2 ;
Le déterminant de F est nul (conséquence de (b), puisque v ne l'est pas) ;
Le polynôme caractéristique de F est $χ = x 3 + 5 x$
F possède une valeur propre nulle et deux valeurs propres complexes conjuguées ( $\pm i\sqrt 5$ ) ;
Le noyau de F est la droite dirigée par v.

…

4. De même qu'en 2, on accède aux trois coordonnées de F dans cette nouvelle base

$F_{2,1} = \left( \mathbf e_1 \times \mathbf e_2 \right) \cdot \mathbf v = \mathbf e_3 \cdot \mathbf v = 0$

$F_{3,2} = \left( \mathbf e_2 \times \mathbf e_3 \right) \cdot \mathbf v = \mathbf e_1 \cdot \mathbf v = \sqrt 5$

$F_{3,1} = \left( \mathbf e_1 \times \mathbf e_3 \right) \cdot \mathbf v = - \mathbf e_2 \cdot \mathbf v = 0$

Ainsi, dans cette base, F est représentée de la manière suivante :

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\sqrt 5 \\ 0 & \sqrt 5 & 0 \\ \end{pmatrix}$

Toutes les propriétés vues en 3 sont évidemment conservées, mais on peut remarquer la forme plus élégante (entre autre, diagonale par blocs) de la représentation de F dans cette base. En particulier, dans cette base, F² est diagonale.

[modifier] Exercice : rotation du repère

[modifier] Énoncé

Soit T un tenseur. Soit une base B₀.

On considère la base B₁, rotation de B₀. On représente la rotation associée par un tenseur orthogonal Ω.

Rappeler la définition d'un tenseur orthogonal.
Exprimer les vecteurs v_i de B₁ à partir des vecteurs b_i de B₀.
Exprimer la matrice T₁ qui représente T dans B₁ à partir de la matrice T₀ qui le représente dans B₀.

[modifier] Correction

$\boldsymbol{\Omega} \cdot \boldsymbol{\Omega}^{\mathrm T} = \mathbf 1$
$\forall i = 1, 2, 3, \quad \mathbf v_i = \boldsymbol{\Omega} \left( \mathbf b_i\right)$
Dans la première base, pour tout vecteur b₀,

$\mathbf c_0 = \mathbf T_0 \left( \mathbf b \right)$

Dans la seconde base, on a :

$\mathbf c_1 = \mathbf T_1 \left( \mathbf b_1 \right)$

Donc, d'après 2, on a :

$\boldsymbol{\Omega} \left( \mathbf c_1 \right) = \mathbf T_1 \left( \mathbf b_1 \right)$

C'est encore à dire :

$\boldsymbol{\Omega} \left( \mathbf T_0 \left( \mathbf b_0 \right) \right) = \mathbf T_1 \left( \mathbf b_1 \right)$

Et enfin, en utilisant 2 et 1 pour inverser 2 :

$\boldsymbol{\Omega} \left( \mathbf T_0 \left( \boldsymbol{\Omega}^{\mathrm T} \left( \mathbf b_1 \right) \right) \right) = \mathbf T_1 \left( \mathbf b_1 \right)$

Ceci étant vrai pour tout vecteur b₀, il s'ensuit l'égalité suivante :

$\mathbf T_1 = \boldsymbol{\Omega} \cdot \mathbf T_0 \cdot \boldsymbol{\Omega}^{\mathrm T}$

[modifier] Exercice : produit tensoriel

[modifier] Exercice : décompositions d'un tenseur

[modifier] Chapitre 3

[modifier] Exercice : éléments mésoscopiques

[modifier] Exercice : tenseur infinitésimal

[modifier] Exercice : cisaillement infinitésimal

[modifier] Chapitre 4

[modifier] Exercice : déformations simples

[modifier] Énoncé

[modifier] Partie 1

Soit un solide occupant le cube $X_i \in [0,1]$ dans la configuration de référence. On lui impose une configuration :

$x_1 = X_1 + \kappa~X_2$

$x_2 = X_2\,$

$x_3 = X_3\,$

par un moyen dont on ne se préoccupe pas.

Représenter la configuration actuelle ;
Calculer le tenseur E de Green-Lagrange ;
Calculer la variation de volume ;
Calculer l'élongation selon les directions e₁ et e₂
Calculer l'élongation selon les directions $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\mathbf e_{1}+ \mathbf e_{2}\right)$ et $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\mathbf e_{1}-\mathbf e_{2}\right)$ .
Trouver les directions principales de déformation et les élongations associées.
Faire l'application numérique pour $\kappa = 0,4\,$

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Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] Chapitre 2

[modifier] Exercice : formes et applications linéaires

[modifier] Énoncé

[modifier] Partie 1

[modifier] Partie 2

[modifier] Correction

[modifier] Partie 1

[modifier] Partie 2

[modifier] Exercice : rotation du repère

[modifier] Énoncé

[modifier] Correction

[modifier] Exercice : produit tensoriel

[modifier] Exercice : décompositions d'un tenseur

[modifier] Chapitre 3

[modifier] Exercice : éléments mésoscopiques

[modifier] Exercice : tenseur infinitésimal

[modifier] Exercice : cisaillement infinitésimal

[modifier] Chapitre 4

[modifier] Exercice : déformations simples

[modifier] Énoncé

[modifier] Partie 1

[modifier] Exercice : déformations simples - *

[modifier] Chapitre 5

[modifier] Exercice : contraintes dans une poutre

[modifier] Exercice : plan de Mohr

[modifier] Exercice : essai brésilien

[modifier] Exercice : torsion d'un cylindre

[modifier] Chapitre 6

[modifier] Exercice : changement de référentiel

[modifier] Chapitre 7

[modifier] Exercice : tassement du sol

[modifier] Exercice : compressibilité d'un matériau poreux

[modifier] Chapitre 8

[modifier] Exercice : plaque percée

[modifier] Exercice : plaque entaillée

[modifier] Exercice : éclatement d'un ballon de football

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