Utilisateur:Sharayanan/Maths

Une page de Wikiversité.

Sommaire 1 Algorithmie & informatique 2 Algèbre linéaire, géométrie affine 2.1 Espaces vectoriels, applications linéaires 2.1.1 Somme directe de sev 2.1.2 Image et noyau d'une application linéaire 2.1.3 Équations linéaires 2.1.4 Trace d'un endomorphisme 2.2 Déterminants 2.2.1 Déterminant de n vecteurs 2.2.2 Déterminant d'un endomorphisme 2.2.3 Déterminant d'une matrice carrée 3 Réduction des endomorphismes 3.1 Sous-espaces stables, polynômes d'un endomorphisme 3.1.1 Sous-espaces stables 3.1.2 Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice 3.2 Réduction d’un endomorphisme 3.2.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 3.2.2 Polynôme caractéristique 3.2.3 Réduction d’un endomorphisme en dimension finie 3.3 Réduction des matrices carrées 3.3.1 Éléments propres 3.3.2 Réduction 4 Espaces euclidiens, géométrie euclidienne 4.1 Espaces préhilbertiens réels et complexes 4.1.1 Produit scalaire, produit hermitien 4.1.2 Orthogonalité 4.2 Espaces euclidiens 4.2.1 Bases orthonormales 4.2.2 Projections orthogonales 4.2.3 Endomorphismes symétriques, orthogonaux 4.2.4 Réduction des endomorphismes symétriques 5 Analyse et géométrie différentielle 5.1 Suites et fonctions 5.1.1 Normes et distances, suites 5.1.2 Espaces vectoriels normés de dimension finie 5.1.2.1 Suites d'éléments d'un evn de dimension finie 5.1.2.2 Étude locale d'une application, continuité 5.1.2.3 Continuité des applications linéaires 5.1.3 Suites et séries de nombres réels ou complexes 5.1.3.1 Suites et séries 5.1.3.2 Séries de nombres réels positifs 5.1.3.3 Séries de nombres réels ou complexes 5.1.4 Séries de fonctions 5.1.4.1 Convergence simple, convergence normale 5.1.4.2 Approximation des fonctions d’une variable réelle 5.2 Fonctions d'une variable réelle : dérivation et intégration 5.2.1 Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles 5.2.1.1 Dérivée en un point, fonctions de classe C1 5.2.1.2 Fonctions de classe Ck 5.2.1.3 Fonctions de classe Ck par morceaux 5.2.2 Intégration sur un segment des fonctions à valeurs vectorielles 5.2.2.1 Intégrale d’une fonction continue par morceaux 5.2.2.2 Convergence en moyenne quadratique 5.2.3 Dérivation et intégration 5.2.3.1 Primitives et intégrale d’une fonction continue 5.2.3.2 Étude globale des fonctions de classe C1 5.2.3.3 Formules de Taylor 5.2.3.4 Séries de fonctions de classe Ck 5.2.4 Intégrales impropres 5.2.4.1 Définition d’une intégrale impropre convergente 5.2.4.2 Intégrales des fonctions positives 5.2.4.3 Intégrales absolument convergentes 5.2.5 Intégration sur un intervalle quelconque 5.2.5.1 Définition 5.2.5.2 Convergence en moyenne quadratique 5.2.5.3 Convergence dominée 5.2.5.4 Intégration terme à terme d’une série de fonctions 5.2.6 Intégrales dépendant d’un paramètre 5.2.6.1 Continuité sous le signe somme 5.2.6.2 Dérivation sous le signe somme (formule de Leibniz) 5.3 Séries, séries entières, séries de Fourier 5.3.1 Séries de nombres réels ou complexes 5.3.1.1 Comparaison d’une série à une intégrale 5.3.1.2 Produit de deux séries absolument convergentes 5.3.2 Séries entières 5.3.2.1 Rayon de convergence d’une série entière 5.3.2.2 Séries entières d’une variable réelle 5.3.3 Séries de Fourier 5.3.3.1 Coefficients de Fourier 5.3.3.2 Convergence en moyenne quadratique 5.3.3.3 Convergence ponctuelle 5.4 Équations différentielles 5.4.1 Équations différentielles linéaires 5.4.1.1 Systèmes linéaires à coefficients constants 5.4.1.2 Équations linéaires scalaires d'ordre 1 ou 2 5.4.1.3 Équations matricielles 5.4.2 Notions sur les équations différentielles non linéaires 5.4.3 Notions sur les systèmes autonomes 5.5 Fonctions de plusieurs variables réelles 5.5.1 Calcul différentiel 5.5.1.1 Applications de classe C1 5.5.1.2 Fonctions numériques de classe 'C1 5.5.1.3 Dérivées partielles d’ordre supérieur 5.5.1.4 Équations aux dérivées partielles 5.5.2 Calcul intégral 5.6 Géométrie différentielle 5.6.1 Courbes du plan et de l’espace 5.6.1.1 Courbes paramétrées 5.6.1.2 Arcs orientés de classe Ck 5.6.1.3 Étude métrique des arcs orientés 5.6.2 Courbes et surfaces 5.6.2.1 Plan tangent à une surface 5.6.2.2 Intersection de deux surfaces 5.6.2.3 Surfaces usuelles

[modifier] Algorithmie & informatique

• Algorithme d'Euclide ;
• Algorithme d'Euclide étendu ;
• Exponentiation rapide ;
• Résolution de systèmes linéaires ;
• Diagonalisation de matrices ;
• Diagonalisation rapide ;
• Fonctions splines cubiques ;
• Méthode de Jacobi ;
• Méthode de la puissance itérée ;
• Méthode de Newton ;
• Approximations, ODE ;
• Courbes intégrales, PDE ;
• Séries de Fourier.

[modifier] Algèbre linéaire, géométrie affine

[modifier] Espaces vectoriels, applications linéaires

[modifier] Somme directe de sev

• Famille libre, famille génératrice ;
• Somme directe, sous-espaces supplémentaires ;
• Étude de  ;
• Bases et projecteurs ;

[modifier] Image et noyau d'une application linéaire

• Une application linéaire u de E dans F définit un isomorphisme de tout supplémentaire S de Ker u sur Im u.
• Interpolation de Lagrange ;
• Interpolation linéaire ;

[modifier] Équations linéaires

• Définition, cas homogène ;
• Structure des solutions, condition de compatibilité ;
• Liens avec Ker ƒ et Im ƒ ;
• Systèmes d'équations linéaires ;
• Hyperplans ;

[modifier] Trace d'un endomorphisme

• Trace : définition et propriétés ;
• Cas des projecteurs ;
• Lien avec les matrices ;

[modifier] Déterminants

[modifier] Déterminant de n vecteurs

• Formes n-linéaires alternées ;
• Déterminant de n vecteurs ;
• Caractérisation des bases ;
• Systèmes de Cramer ;

[modifier] Déterminant d'un endomorphisme

• Déterminant d'un endomorphisme, d'un endomorphisme composé ;
• Caractérisation des automorphismes ;
• Orientation des espaces vectoriels de dimension 2 et 3 ;

[modifier] Déterminant d'une matrice carrée

• Déterminant d'une matrice carrée ;
• Déterminant d'un produit, d'une transposée ;
• Déterminant par blocs, par rapport à une ligne ou une colonne ;
• Matrices semblables ;

[modifier] Réduction des endomorphismes

[modifier] Sous-espaces stables, polynômes d'un endomorphisme

[modifier] Sous-espaces stables

• Définition, bases adaptées ;
• Caractérisation des endomorphismes stabilisants ;
• Matrices diagonales par blocs ;

[modifier] Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice

• Morphismes de dans  ;
• Polynômes de matrices carrées ;
• Cas des matrices semblables ;

[modifier] Réduction d’un endomorphisme

[modifier] Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme

• Définitions, espaces propres ;
• Cas d'endomorphismes qui commutent ;
• Famille des vecteurs propres, spectre ;
• Somme directe d'espaces propres ;
• Applications aux transformations usuelles : homothéties, rotations…

[modifier] Polynôme caractéristique

• Définition, multiplicité d'une valeur propre ;
• (Théorème de Cayley-Hamilton) ;
• Division euclidienne d'un polynôme caractéristique ;
• Liens avec la trace et le déterminant ;

[modifier] Réduction d’un endomorphisme en dimension finie

• Définition d'un endomorphisme diagonalisable ;
• Liens avec le polynôme caractéristique ;
• Trigonalisation ;

[modifier] Réduction des matrices carrées

[modifier] Éléments propres

• Définitions, spectre ;
• Polynôme caractéristique ;

[modifier] Réduction

• Diagonalisation, trigonalisation ;
• Puissances n-ièmes d'une matrice ;
• Application aux suites récurrentes linéaires à coefficients constants ;
• Décompositions en blocs ;
• Réduction de matrices carrées ;

[modifier] Espaces euclidiens, géométrie euclidienne

[modifier] Espaces préhilbertiens réels et complexes

[modifier] Produit scalaire, produit hermitien

• Définition ;
• Définition d'un espace préhilbertien ;
• Inégalité de Cauchy-Schwartz ;
• Inégalité de Minkowski ;
• Produits scalaires usuels ;
• Normes et distances associées ;

[modifier] Orthogonalité

[modifier] Espaces euclidiens

[modifier] Bases orthonormales

[modifier] Projections orthogonales

[modifier] Endomorphismes symétriques, orthogonaux

[modifier] Réduction des endomorphismes symétriques

[modifier] Analyse et géométrie différentielle

[modifier] Suites et fonctions

[modifier] Normes et distances, suites

[modifier] Espaces vectoriels normés de dimension finie

[modifier] Suites d'éléments d'un evn de dimension finie

[modifier] Étude locale d'une application, continuité

[modifier] Continuité des applications linéaires

[modifier] Suites et séries de nombres réels ou complexes

[modifier] Suites et séries

[modifier] Séries de nombres réels positifs

[modifier] Séries de nombres réels ou complexes

[modifier] Séries de fonctions

[modifier] Convergence simple, convergence normale

[modifier] Approximation des fonctions d’une variable réelle

[modifier] Fonctions d'une variable réelle : dérivation et intégration

[modifier] Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles

[modifier] Dérivée en un point, fonctions de classe C¹

[modifier] Fonctions de classe C^k

[modifier] Fonctions de classe C^k par morceaux

[modifier] Intégration sur un segment des fonctions à valeurs vectorielles

[modifier] Intégrale d’une fonction continue par morceaux

[modifier] Convergence en moyenne quadratique

[modifier] Dérivation et intégration

[modifier] Primitives et intégrale d’une fonction continue

[modifier] Étude globale des fonctions de classe C¹

[modifier] Formules de Taylor

[modifier] Séries de fonctions de classe C^k

[modifier] Intégrales impropres

[modifier] Définition d’une intégrale impropre convergente

[modifier] Intégrales des fonctions positives

[modifier] Intégrales absolument convergentes

[modifier] Intégration sur un intervalle quelconque

[modifier] Définition

[modifier] Convergence en moyenne quadratique

[modifier] Convergence dominée

[modifier] Intégration terme à terme d’une série de fonctions

[modifier] Intégrales dépendant d’un paramètre

[modifier] Continuité sous le signe somme

[modifier] Dérivation sous le signe somme (formule de Leibniz)

[modifier] Séries, séries entières, séries de Fourier

[modifier] Séries de nombres réels ou complexes

[modifier] Comparaison d’une série à une intégrale

[modifier] Produit de deux séries absolument convergentes

[modifier] Séries entières

[modifier] Rayon de convergence d’une série entière

[modifier] Séries entières d’une variable réelle

[modifier] Séries de Fourier

[modifier] Coefficients de Fourier

[modifier] Convergence en moyenne quadratique

[modifier] Convergence ponctuelle

[modifier] Équations différentielles

[modifier] Équations différentielles linéaires

[modifier] Systèmes linéaires à coefficients constants

[modifier] Équations linéaires scalaires d'ordre 1 ou 2

[modifier] Équations matricielles

[modifier] Notions sur les équations différentielles non linéaires

[modifier] Notions sur les systèmes autonomes

[modifier] Fonctions de plusieurs variables réelles

[modifier] Calcul différentiel

[modifier] Applications de classe C¹

[modifier] Fonctions numériques de classe 'C¹

[modifier] Dérivées partielles d’ordre supérieur

[modifier] Équations aux dérivées partielles

[modifier] Calcul intégral

[modifier] Géométrie différentielle

[modifier] Courbes du plan et de l’espace

[modifier] Courbes paramétrées

[modifier] Arcs orientés de classe C^k

[modifier] Étude métrique des arcs orientés

[modifier] Courbes et surfaces

[modifier] Plan tangent à une surface

[modifier] Intersection de deux surfaces

[modifier] Surfaces usuelles