Utilisateur:Sharayanan/Electromag

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Sommaire

1 Passage à l'espace des phases
2 Développement en OPP
3 Énergie électromagnétique
4 Impulsion du champ EM
5 Moment cinétique du champ EM
6 Rappels de MQ

[modifier] Passage à l'espace des phases

On note E et B les champs électrique et magnétique, respectivement. Ces champs sont liés par les quatre équations de Maxwell. En l'absence de charges, elles s'écrivent :

$\nabla \cdot \mathbf E = 0$
$\nabla \cdot \mathbf B = 0$
$\nabla \times \mathbf E = - \partial_t \mathbf B$
$\nabla \times \mathbf B = \frac{1}{c^2} \partial_t \mathbf E$

On peut développer ces champs dans l'espace des phases, via la transformée de Fourier, si bien que :

$\mathbf E \left( \mathbf r, t \right) = \int \mathcal E \left( \mathbf k, t \right) e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r} \, \mathrm d^3\mathbf r$
$\mathbf B \left( \mathbf r, t \right) = \int \mathcal B \left( \mathbf k, t \right) e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r} \, \mathrm d^3\mathbf r$

Dans cet espace, l'opérateur nabla peut être réduit à l'opérateur k, de sorte qu'on peut réécrire les équations de Maxwell :

$\mathbf k \cdot \mathcal E = 0$
$\mathbf k \cdot \mathcal B = 0$
$\mathbf k \times \mathcal E = - i \dot \mathcal B$
$\mathbf k \times \mathcal B = - \frac{i}{c^2} \dot \mathcal E$

En posant ω = ck, on peut réécrire en manipulant les produits vectoriels cette dernière équation sous la forme :

$\mathcal B \left( \mathbf k, t \right) = i \frac{\mathbf k}{\omega^2} \times \dot \mathcal E \left( \mathbf k, t \right)$

Rapportant cette expression dans la troisième des équations de Maxwell dans l'espace des phases, on obtient :

$\ddot \mathcal E + \omega^2 \mathcal E = 0$

En particulier, pour deux k différents, l'évolution des champs est indépendante. On peut réécrire cette relation :

$\left( \frac{\partial^2}{\partial^2 t} + \omega^2 \right) \mathcal E = 0$

[modifier] Développement en OPP

On pose la relation :

$2 N ( \mathbf k ) \mathbf \alpha ( \mathbf k, t ) = \mathcal E ( \mathbf k, t ) + \frac{i}{\omega} \dot \mathcal E ( \mathbf k, t )$

Avec N une fonction paire. Alors :

$2 N ( \mathbf k ) \mathbf \alpha ( - \mathbf k, t ) = \mathcal E ( - \mathbf k, t ) + \frac{i}{\omega} \dot \mathcal E ( - \mathbf k, t )$

Les champs électriques et magnétiques étant réels, cela impose des conditions sur le conjugué de leur transformée de Fourier. On a ainsi :

$2 N ( \mathbf k ) \mathbf \alpha^{*} ( - \mathbf k, t ) = \mathcal E ( \mathbf k, t ) - \frac{i}{\omega} \dot \mathcal E (\mathbf k, t )$

La fonction α suffit ainsi à connaitre E et sa dérivée, puisque l'on a :

$\mathcal E ( \mathbf k, t ) = N(k) \left[ \alpha ( \mathbf k, t ) + \alpha^{*} (-\mathbf k, t) \right]$

$\dot \mathcal E ( \mathbf k, t ) = -i\omega N(k) \left[ \alpha ( \mathbf k, t ) - \alpha^{*} (-\mathbf k, t) \right]$

Ainsi, cette fonction décrit complètement le champ électromagnétique. Si on reprend l'expression de tout à l'heure :

$\left( \frac{\partial^2}{\partial^2 t} + \omega^2 \right) \mathcal E = 0$

En utilisant :

$\left( \frac{\partial^2}{\partial^2 t} + \omega^2 \right) = \left( \frac{\partial}{\partial t} + i \omega \right) \cdot \left( \frac{\partial}{\partial t} - i\omega \right)$