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Leçon : intégration de Lebesgue' (niveau ?)

Sommaire 1 « Plan » 2 Tribus 2.1 Introduction 2.2 Définitions 2.3 Exemples 2.4 Tribu des boréliens 3 Mesure 3.1 Application mesurable 3.2 Mesure de Borel 3.3 Mesure de Lebesgue 4 Intégrales 5 Espaces Lp

[modifier] « Plan »

• Tribus
• Introduction à la théorie de la mesure
• Construction de l'intégrale de Lebesgue
• Espaces L^p

[modifier] Tribus

[modifier] Introduction

Pour définir la notion de mesure, il nous faut étendre la notion d'intervalle, pour inclure des objets plus généraux. Les tribus, ou σ-algèbres, remplissent ce rôle et seront omniprésentes dans le reste de notre étude.

[modifier] Définitions

Une partie T de A est une tribu lorsque :

•  ;
• (stable par complémentarité);
• si , (stable par unions dénombrables)

On appelle tribu engendrée par C la plus petite tribu contenant C, on la note σ(C).

Caractérisation

[modifier] Exemples

• L'ensemble des parties de A est une tribu.

[modifier] Tribu des boréliens

[modifier] Mesure

[modifier] Application mesurable

[modifier] Mesure de Borel

[modifier] Mesure de Lebesgue

[modifier] Intégrales

[modifier] Espaces Lp