Utilisateur:RM77/Help

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Sommaire

[modifier] Cinématique

[modifier] Exo 1

Une voiture, qui roulait initialement à vitesse constante, accélère pendant 12 s. Son accélération est a=1,0\, m.s^{-2}\,. Quelle est la vitesse initiale de la voiture si elle parcourt 190 m pendant ces 12 s ?

Soit un système à accélération constante

  • a = cte = 1
  • v = v_0 + a \times t
  • d = v_0 \times t + \frac 1 2 \times a \times t^2 + d_0
  • à t=0, d0 = 0
  • à t=12, d = 190

[modifier] Exo 2

Montrer que si l'accélération d'un mobile est constamment parallèle à un plan qui contient la vitesse du mobile à un instant particulier, le mouvement est plan.

On va s'intéresser au produit scalaire entre le vecteur position \overrightarrow{OM} et une normale \overrightarrow{n} au plan contenant la vitesse à l'instant t.

  • Pour savoir ce que vaut \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{n}, on va le dériver une première fois : \frac{d}{dt}(\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{n}) = \frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}. \overrightarrow{n}+\overrightarrow{OM}. \frac{d\overrightarrow{n}}{dt}=v.n+0
  • Pour savoir ce que vaut \overrightarrow{v}.\overrightarrow{n} à n'importe quel instant, on va lui aussi le dériver : \frac{d}{dt}(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}) = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}.\overrightarrow{n}+\overrightarrow{v}. \frac{d\overrightarrow{n}}{dt}=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}+0=0 car l'accélération est constamment parallèle au plan auquel n et normal.
  • On a donc \overrightarrow{v}.\overrightarrow{n} = \mbox{cste} = 0 car le même plan contient la vitesse à un instant particulier.
  • \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{n} = \mbox{constante} à tout instant : le mouvement est plan.


\overrightarrow{a_M}\,//\,(xOy)
\overrightarrow{a_M}(a_x,a_y,a_z) et a_z=0\,
\Rightarrow \overrightarrow{V_M}(v_x,v_y,v_z=\mbox{cste}=v_{0z}=0)
\Rightarrow \overrightarrow{OM}(x,y,z=\mbox{cste}=z_0)

[modifier] Exo 3

Un bobsleigh a une accélération constante, a = 1,8 m.s-2. Il part du repos. La piste est rectiligne. A quelle vitesse glisse-t-il après 7 s ? Quelle distance a-t-il parcouru à l'instant où sa vitesse est 40 m.s-1 ?


  • v (7) = \int_{t=0}^{t=7} a \, \mathrm d\tau = a \left[ 7 - 0 \right] = 7a = 12\, \mathrm{m.s}^{-1}
  • La vitesse est, à tout instant :
v(t) = \int_{0}^{t} a \, \mathrm d\tau = a \cdot t
  • On note t40 l'instant où la vitesse atteint 40 m.s-1 :
v(t_{40}) = 40 \; \mathrm{m.s}^{-1} = a \cdot t_{40}
t_{40} = \frac{40}{a}
  • La distance parcourue pendant cette durée est :
\begin{align} x(t_{40}) & = \int_{t=0}^{t_{40}} v \, \mathrm d\tau \\ \ & = a \int_{t=0}^{\frac{40}{a}} t \, \mathrm d\tau \\ \ & = a \left[\frac{t^2}{2} \right]_0^{\frac{40}{a}} \\ \ & = \frac{a}{2} \cdot \frac{40^2}{a^2} \\ \ & = \frac{800}{a} \end{align}
  • Application numérique : x(t40) = 4,4.102m

[modifier] Mathématiques

[modifier] Exo 1

Soient :
A = \sum C_n^{3k}
B = \sum C_n^{3k+1}
C = \sum C_n^{3k+2}
Où n\ge 2 naturel.


Questions
  1. Résoudre le système suivant :
    \begin{cases} x+y+z=a \\ x+jy+j^2z=b \\ x+j^2y+jz=c \end{cases}
  2. Exprimer A+B+C\, ,\, A+jB+j^2C\, ,\, A+j^2B+jC en fonction de j et n.
  3. Déterminer A, B et C en fonction de j et n.
  4. Exprimer A, B et C en fonction de n seulement (distinguer les cas n=3k, n=3k+1, n=3k+2).
  1. solutions trop chiantes à écrire, mais je les ai.
  2. Pour la question 2 :
    1. A + B + C = 2n
    2. A + jB + j2C = (1 + j)n
    3. A + j2B + jC = (1 + j2)n
  3. ...
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