Utilisateur:Crocblanc77/CoursPhysique/MomentCinétique

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Sommaire

1 Moment d'une force
- 1.1 Moment par rapport à un point
  - 1.1.1 Définition
  - 1.1.2 Conséquences directes
- 1.2 Moment par rapport à un axe
2 Moment cinétique
- 2.1 Axe et coordonnées cylindrique
3 Théorème du moment cinétique

[modifier] Moment d'une force

Une force est caractérisée par :

Le vecteur force :
- sa direction
- son sens
- sa norme

Son point d'application M

[modifier] Moment par rapport à un point

[modifier] Définition

Le moment de $\overrightarrow{F}$ caractérise l'aptitude de cette force à faire tourner le point M autour d'un point où d'un axe.

Il est donc défini relativement à un point O, centre de cette rotation.

Ceci est le moment de $\overrightarrow{F}$ en M, par rapport à O.

[modifier] Conséquences directes

Si la direction de F est selon $\overrightarrow{OM}$ , alors :

$\overrightarrow{\mathcal{M}_O^\vec{F}}(M) = 0$

Si M=O, alors de même :

$\overrightarrow{\mathcal{M}_O^\vec{F}}(M) = 0$

Soit $d\,$ la distance de O à M et $\theta\,$ l'angle $(\overrightarrow{OM}; \overrightarrow{F})$

Dans ce cas: $||\overrightarrow{\mathcal{M}_O^\vec{F}}(M)||= d\times||\overrightarrow{F}||\times\sin{\theta}$

Ce moment est maximal quand $\overrightarrow{F}\bot \overrightarrow{OM}$

[modifier] Moment par rapport à un axe

[modifier] Définition

Soit $\Delta\,$ un axe dirigé par un vecteur unitaire $\overrightarrow{\Delta}$ .

Par définition, le moment de $\overrightarrow{F}$ en M par rapport à $\Delta\,$ vaut :

$\overrightarrow{\mathcal{M}_\Delta^\vec{F}}(M) = \overrightarrow{\Delta}.(\overrightarrow{HM}\wedge\overrightarrow{F})$

où H est le projeté de M sur $\Delta\,$

[modifier] Conséquences directes

Si $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{\Delta}$ sont colinéaires :

$\overrightarrow{\mathcal{M}_\Delta^\vec{F}}(M) = 0$

Si M est sur $\Delta \,$ :

$\overrightarrow{\mathcal{M}_\Delta^\vec{F}}(M) = 0$

Si la direction de $\overrightarrow{F}$ coupe l'axe $Δ$ :

$\overrightarrow{\mathcal{M}_\Delta^\vec{F}}(M) = 0$

[modifier] En coordonnées cylindriques

En effectuant l'étude en coordonnées cylindriques, le repère étant défini par $(\overrightarrow{e_\rho},\overrightarrow{e_\phi},\overrightarrow{e_z})$ , on a:

$\overrightarrow{\mathcal{M}_\Delta^\vec{F}}(M) = \overrightarrow{e_z}.(\overrightarrow{HM}\bot\overrightarrow{F})=\overrightarrow{e_z}.(\rho\overrightarrow{e_\rho}\wedge(F_\rho \overrightarrow{e_\rho}+F_\phi \overrightarrow{e_\phi}+F_z \overrightarrow{e_z}))$

$\overrightarrow{\mathcal{M}_\Delta^\vec{F}}(M) =\overrightarrow{e_z}.(\rho F_\phi \overrightarrow{e_z}-\rho F_z \overrightarrow{e_\phi})$

$\overrightarrow{\mathcal{M}_\Delta^\vec{F}}(M) = \rho F_\phi$

Le moment d'une force $\overrightarrow{F}$ par rapport à un axe $\Delta\,$ appliquée en M a pour valeur :

$|\overrightarrow{\mathcal{M}_\Delta^\vec{F}}(M)| = d \times F_\bot$

avec $d = d(M,\Delta) \,$ et $F_\bot$ la composante orthogonale à l'axe et à $\overrightarrow{HM}$ (soit selon $\overrightarrow{e_\phi}$

Remarque : Le moment cinétique sera positif sera positif si la force à tendance à faire tourner M dans le sens trigonométrique autour de $\overrightarrow{\Delta}$ .

[modifier] Moment cinétique

Le moment cinétique est une qualité qui décrit la rotation d'un point M autour d'un point O.

On définit le moment cinétique de M par rapport à O comme ceci :

où $\overrightarrow{p}$ est la quantité de mouvement.

[modifier] Axe et coordonnées cylindrique

Comme pour le moment d'une force on peut définir le moment cinétique par rapport à un axe de la façon suivante :

$\mathcal{L}_\Delta (M) = \overrightarrow{\Delta}.\overrightarrow{\mathcal{L}_O} (M)$

Et on peut retrouver en coordonnées cylindriques :

$\mathcal{L}_\Delta (M) = m \times {\rho}^2 \times \dot\phi$

[modifier] Théorème du moment cinétique

Soit un point M de masse m soumis à des forces extérieures : $\sum \overrightarrow{F}_{ext}(M)$

On a alors :

$\overrightarrow{\mathcal{L}_o}=\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{p}$

$\frac{d\overrightarrow{\mathcal{L}_o}}{dt}=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt} \wedge \overrightarrow{p} + \overrightarrow{OM} \wedge \frac{\overrightarrow{p}}{dt}$