Triangle rectangle/Théorèmes de Pythagore

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Vocabulaire dans le triangle rectangle

Définition

Dans un triangle rectangle, le plus grand côté (celui qui est opposé à l'angle droit) est appelé hypoténuse. Les deux autres côtés sont appelés cathètes.

Si un des angles non droits se note $\scriptstyle {\widehat {A}}$, alors, le côté de l'angle $\scriptstyle {\widehat {A}}$ qui n’est pas l'hypoténuse est appelé côté adjacent à l'angle $\scriptstyle {\widehat {A}}$.

Le troisième côté est alors le côté opposé à l'angle $\scriptstyle {\widehat {A}}$.

Théorème de Pythagore

Le théorème

Début d’un théorème

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (ceux formant l'angle droit).

Fin du théorème

Par exemple, dans un triangle ABC, rectangle en C, on a l'égalité de Pythagore : $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$

Applications

Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle lorsque l’on connaît les longueurs des deux autres côtés.

1er exemple : on connaît les longueurs des deux côtés de l'angle droit

Soit GZK un triangle rectangle en Z, tel que ZK = 8 et ZG = 6. Le théorème de Pythagore va permettre de calculer GK.

D'après le théorème de Pythagore :

${\begin{aligned}GK^{2}&=ZG^{2}+ZK^{2}\\&=6^{2}+8^{2}\\&=36+64\\&=100.\end{aligned}}$

GK étant une longueur, elle est donc un nombre positif dont le carré est égal à 100 d'où $GK=10$.

2^e exemple : on connaît les longueurs d’un côté de l'angle droit et de l'hypoténuse

Soit LDS un triangle rectangle en S, tel que LD = 13 et DS = 12. Le théorème de Pythagore va permettre de calculer LS.

D'après le théorème de Pythagore :

$DS^{2}+LS^{2}=LD^{2}$.

${\begin{aligned}LS^{2}&=LD^{2}-DS^{2}\\&=13^{2}-12^{2}\\&=169-144\\&=25.\end{aligned}}$

LS est donc un nombre positif (c'est une longueur) dont le carré est égal à 25 : $LS=5$.

Montrer qu'un triangle n’est pas rectangle

La contraposée du théorème de Pythagore peut être utile pour démontrer qu'un triangle, dont on connait les longueurs des trois côtés, n’est pas un triangle rectangle.

Par exemple, considérons le triangle JML tel que JM = 4, ML = 6 et JL = 7.

Si ce triangle était rectangle, l'hypoténuse serait le côté [JL] puisqu’il a la plus grande longueur.

$JL^{2}=49$.

$JM^{2}+ML^{2}=16+36=52$.

D'après le théorème de Pythagore, si le triangle était rectangle, les deux nombres ci-dessus devraient être égaux. Comme ils ne le sont pas, le triangle JML n’est pas rectangle.

Réciproque du théorème de Pythagore

La réciproque

Le théorème de Pythagore nous affirme que si un triangle est rectangle alors l'égalité de Pythagore est vérifiée.

On peut se poser la question suivante : «Est ce que tous les triangles qui vérifient cette égalité sont des triangles rectangles?». La réponse est oui et cette propriété est appelée réciproque du théorème de Pythagore.

Début d’un théorème

Théorème

Si un triangle ABC dont le plus grand côté est AB vérifie la relation $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$ alors, c’est un triangle rectangle en C.

Fin du théorème

Application

La réciproque du théorème de Pythagore est utile pour démontrer qu'un triangle est rectangle.

Par exemple, considérons un triangle DEF tel que DE = 17, EF = 15 et DF = 8.

Si le triangle est rectangle, son hypoténuse est le côté [DE] puisque c’est le plus grand.

$DE^{2}=17^{2}=289$.

$EF^{2}+DF^{2}=225+64=289$.

Les deux expressions sont égales, donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en F.