Triangle rectangle/Théorèmes de Pythagore

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Théorèmes de Pythagore
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Chapitre no2
Leçon : Triangle rectangle
Chap. préc. : Définition
Chap. suiv. : Triangles rectangles et cercles
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Triangle rectangle/Théorèmes de Pythagore
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Vocabulaire dans le triangle rectangle[modifier | modifier le wikicode]

Rtriangle.svg


Théorème de Pythagore[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème[modifier | modifier le wikicode]

Début d'un théorème
Fin du théorème


Par exemple, dans un triangle ABC rectangle en C, on a l'égalité :  AB^2 = AC^2 + BC^2

Applications[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle lorsque l'on connaît les longueurs des deux autres côtés.

1er exemple : on connaît les longueurs des deux côtés de l'angle droit[modifier | modifier le wikicode]

Soit GZK un triangle rectangle en Z et tel que ZK = 8 et ZG = 6. Le théorème de Pythagore va permettre de calculer GK.

Exercicepythagore.svg

D'après le théorème de Pythagore :
 GK^2 = GZ^2 + ZK^2
 GK^2 = 6^2 + 8^2
 GK^2 = 36 + 64
 GK^2 = 100

GK étant une longueur, elle est donc un nombre positif dont le carré est égal à 100 d'où  GK = 10 .

2ème exemple : on connaît les longueurs d'un côté de l'angle droit et de l'hypoténuse[modifier | modifier le wikicode]

Soit LDS un triangle rectangle en S et tel que LD = 13 et DS = 12. Le théorème de Pythagore va permettre de calculer LS.

Exercicepythagore2.svg

D'après le théorème de Pythagore :
 DS^2 + LS^2 = LD^2
 LS^2 = LD^2 - DS^2
 LS^2 = 13^2 - 12^2
 LS^2 = 169 - 144
 LS^2 = 25

LS est donc un nombre positif (c'est une longueur) dont le carré est égal à 25 :
 LS = 5

Montrer qu'un triangle n'est pas rectangle[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème de Pythagore peut être utile pour démontrer qu'un triangle dont on connait les longueurs des trois côtés n'est pas un triangle rectangle.

Par exemple, considérons le triangle JML tel que JM = 4, ML = 6 et JL = 7.

Exercicepythagore3.svg

Si ce triangle était rectangle, l'hypoténuse serait le côté [JL] puisqu'il a la plus grande longueur.  JL^2 = 49
 JM^2 + ML^2 = 16 + 36 = 52

D'après le théorème de Pythagore, si le triangle était rectangle, les deux nombres ci-dessus devraient être égaux. Comme il ne le sont pas, le triangle JML n'est pas rectangle.

Réciproque du théorème de Pythagore[modifier | modifier le wikicode]

La réciproque[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème de Pythagore nous affirme que si un triangle est rectangle, une relation est vérifiée. On peut se poser la question suivante : « Est ce que tous les triangles qui vérifient cette relation sont des triangles rectangles ? ». La réponse est oui et cette propriété est appelée « réciproque du théorème de Pythagore ».


Début d'un théorème
Fin du théorème


Application[modifier | modifier le wikicode]

La réciproque du théorème de Pythagore est utile pour démontrer qu'un triangle est rectangle.

Par exemple, considérons un triangle DEF tel que DE = 17, EF = 15 et DF = 8.

Exercicerecpythagore.svg

Si le triangle est rectangle, son hypoténuse est le côté [DE] puisque c'est le plus grand.

 DE^2 = 17^2 = 289
 EF^2 + DF^2 = 225 + 64 = 289

Les deux expressions sont égales, donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en F.


Triangle rectangle
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