Transformée de Laplace/Exercices/Courant dans un circuit RLC

Dans un laboratoire, un technicien étudie l'établissement d'un courant d'intensité i dans un circuit de type RLC. i est une fonction à valeur réelles de la variable t définie comme suit :

${\begin{cases}{\mbox{si }}t<0{\mbox{ alors }}i(t)=0\\{\mbox{si }}t\geq 0{\mbox{ alors }}{\frac {1}{2}}i''(t)+i'(t)+i(t)=(t+1)U(t)\\i(0^{+})=1\\i'(0^{+})=0\end{cases}}$

U est la fonction échelon unité, définie par :

${\begin{cases}U(t)=0{\mbox{ si }}t<0\\U(t)=1{\mbox{ si }}t\geq 0\\\end{cases}}$

1. Déterminer, à l'aide de la variable réelle p, la transformée de Laplace de la fonction $t\mapsto (t+1)U(t)$

2. Exprimer, à l'aide de la variable réelle p et de la transformée de Laplace I de i, la transformée de Laplace de la fonction $t\mapsto {\frac {1}{2}}i''(t)+i'(t)+i(t)$

3. En déduire, pour $p>0$, I(p) en fonction de p

4. Montrer que, pour $p>0$, I(p) s'écrit sous la forme : $I(p)={\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {p+1}{\left(p+1\right)^{2}+1}}$

5. Déduire de ce qui précède l’expression de i(t) en fonction de t.

Le technicien chargé de l'étude s'intéresse maintenant aux valeurs approchées de i(t) lorsque t est positif et proche de 0. Il considère, à cet effet, la fonction f définie sur $\mathbb {R}$ par : $f(x)=x+\cos {x}+e^{-x}$.

6. Déterminer le développement limité de f à l’ordre 3 en x = 0 (on pourra utiliser les développements limités de $\cos {x}$ et $e^{-x}$ à l'ordre 3 en zéro). On admettra que le technicien peut alors écrire $i(t)=1+{\frac {1}{3}}t^{3}+t^{3}\varepsilon (t)$ avec $\lim _{t\to 0^{+}}\varepsilon (t)=0$

Solution

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