Topographie de champ/Équipotentielles

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On s'intéresse désormais aux champs scalaires, qui associent à tout point du plan ou de l'espace un nombre réel ou complexe. Nous allons introduire la notion de surface équipotentielles, dont le nom est d'origine historique mais souvent justifié.

Définition

Une carte d'équipotentielles.

Surface équipotentielle

Soit V un champ scalaire. On appelle surface équipotentielle l’ensemble des points vérifiant l'équation : $V\left(\mathbf {r} \right)=V_{0}$. Avec V₀ une constante arbitraire. Le champ V étant continu, il s'agit de véritables surfaces.

On trouve parfois d'autres appellations spécifiques : il arrive que l’on parle de surfaces « équi-P » ou « iso-T »

Propriétés

Propriétés

Les surfaces équipotentielles peuvent être ouvertes ou fermées, mais ne se coupent jamais.

Il existe un lien entre les lignes de champ et les équipotentielles : en effet, si un champ vectoriel E découle d'un potentiel scalaire V, on a une relation de la forme : $\mathbf {E} =-\mathbf {grad} \;V$ En particulier, les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces équipotentielles, et le rapprochement des équipotentielles est directement lié à l'intensité du champ représenté. Ce faisant, les équipotentielles donnent plus d'informations que les lignes de champ : direction, intensité et variations de potentiel.

Représentation

Une surface équipotentielle du potentiel de Roche, en 3D et projetée sur un plan.

Un nombre modéré d'équipotentielles est tracé, et la valeur du potentiel associée indiquée. Pour ce qui est des situations planes, cependant, l’utilisation des équipotentielles est combinée à l’utilisation de la couleur, de modèles tridimensionnels ou même des deux — d'autant plus que les outils informatiques facilitent une telle chose. En pratique, seuls les cas de problèmes utilisant trois dimensions (ou plus) nécessitent réellement les surfaces équipotentielles.

Exemple

Prenons le potentiel électrostatique créé par un dipôle : $V(M)={\frac {qd\cos \theta }{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$ On cherche l’expression des courbes satisfaisant l'équation V = V₀, donc :

$V(M)={\frac {qd\cos \theta }{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}=V_{0}$

${\frac {\cos \theta }{r^{2}}}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}V_{0}}{qd}}=\mathrm {C^{te}}$

Si le signe de V₀ est le même que le signe de $\cos \theta$, alors on peut trouver une équipotentielle en résolvant cette équation.