Théorie générale du choix et des préférences/Modellizzazione delle preferenze

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Modellizzazione delle preferenze

Chapitre no1
Leçon : Théorie générale du choix et des préférences
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Chap. suiv. :	Ipotesi imposte sulle preferenze

   

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Sia $X\subseteq\R_+^n$, l'insieme di consumo, dove $n\in\N$ è il numéro di beni disponibili. I vettori $\mathbf{x} \in X$, di dimensione $n$, sono i possibili panieri di consumo a disposizione dei consumatori, ed i loro elementi, $x_l\in\R_+$, sono la quantità di bene $l\in\N$ consumata.

• In questo tipo di formalizzazione matematica stiamo implicitamente assumendo che tutti i beni siano perfettamente divisibili, infatti le quantità appartengono all'insieme dei reali.
• Altra questione è la definizione di bene: come facciamo a distinguere un bene dall'altro? Il "cellulare" è un bene? O bisogna indetificare la marca? E il colore? E il luogo d'acquisto? E il tempo in cui il bene è disponibile? Gli stati di natura (pioggia o sole, ad esempio)? In pratica, a seconda dell'applicazione che si sta facendo del modello, sarà necessario stabilire il livello di aggregazione dei beni.

Sia $\succcurlyeq$ una Relazione binaria definita come: $\mathbf{x}\succcurlyeq\mathbf{y}$ se $\mathbf{x}$ è debolmente preferito a (o "almento tanto buono quanto") $\mathbf{y}$.

Definiamo inoltre la preferenza stretta: $\mathbf{x}\succ\mathbf{y} \Leftrightarrow \mathbf{x}\succcurlyeq\mathbf{y} \land \mathbf{y}\not\succcurlyeq\mathbf{x}$ e l'indifferenza: $\mathbf{x}\sim\mathbf{y} \Leftrightarrow \mathbf{x}\succcurlyeq\mathbf{y} \land \mathbf{y}\succcurlyeq\mathbf{x}$

Finora non abbiamo fatto alcuna assunzione sulla struttura delle preferenze, a parte la perfetta divisibilità dei beni. Quello che abbiamo ottenuto è un modo di rappresentare le preferenze del generico consumatore: questo metodo di rappresentazione, però, non è molto maneggevole dal punto di vista matematico. Quello che invece risulterebbe comodo avere è una funzione di utilità tale che: $\mathbf{x}\succcurlyeq\mathbf{y}\Leftrightarrow u\left(\mathbf{x}\right)\ge u\left(\mathbf{y}\right)$ dove $u\left(\mathbf{x}\right ) : X \rightarrow \R$

In sostanza tale funzione di utilità assegna a ciascun paniere un numéro in modo tale che un paniere, $\mathbf{x}$, è debolmente preferito ad un altro, $\mathbf{y}$, se e solo se il numéro associato al primo è maggiore o uguale al numéro associato al secondo.

Passiamo ora a vedere quali sono le assunzioni necessarie al fine di ottenere una funzione di utilità.