Théorie cinétique des gaz/Annexe/Démonstration de l'équation d'état du gaz parfait

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Démonstration générale de l'équation d'état du gaz parfait
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Annexe 1
Leçon : Théorie cinétique des gaz
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Théorie cinétique des gaz/Annexe/Démonstration de l'équation d'état du gaz parfait », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Homogénéité et isotropie de la distribution des vitesses : p(v)=4\pi\left(\frac a\pi\right)^{3/2}v^2e ^{-av^2} avec a=\frac m{2kT}

{\rm d}^3n=d^*\,{\rm d}^3\tau=\frac NV{\rm d}^3\tau

On commence le calcul pour les molécules de vitesse v à dv près {\rm d}^4n=\frac NV{\rm d}^3\tau \,p(v)\, {\rm d}v

Parmi ces molécules, seules celles qui sont dans le bon angle solide comptent {\rm d}^6n=\frac NV{\rm d}^3\tau\, p(v)\, {\rm d}v \frac{{\rm d}^2\Omega}{4\pi}

En spéhrique {\rm d}^3\tau=r^2 {\rm d}r\, {\rm d}\theta\, \sin(\theta)\, {\rm d}\varphi

{\rm d}^2\Omega=\frac{\cos(\theta)}{r^2} {\rm d}^2S

\begin{align} {\rm d}^4n&=\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\int_{\theta=0}^{\theta=\frac{\pi}2}\int_{r=0}^{r=v{\rm d}t} \frac NV r^2 p(v) {\rm d}v \frac{\cos(\theta)}{4\pi} \frac{{\rm d}^2S}{r^2}\sin(\theta){\rm d}r\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\varphi\\ &=\frac NV p(v) {\rm d}v \frac{{\rm d}^2S}{4\pi} \int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\int_{\theta=0}^{\theta=\frac{\pi}2}\int_{r=0}^{r=v{\rm d}t} \cos(\theta)\sin(\theta){\rm d}r\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\varphi\\ &=\frac NV p(v) {\rm d}v \frac{{\rm d}^2S}{4\pi}\cdot v {\rm d}t\cdot 2\pi\cdot\frac12\\ &=\frac NV p(v) {\rm d}v \frac{{\rm d}^2S}4 v {\rm d}t \end{align}

On intègre sur les vitesses

\begin{align} d^3n&=\int_{v=0}^{v=+\infty} \frac NV p(v) v\frac{{\rm d}^2S}4{\rm d}t {\rm d}v\\ &=\frac{N {\rm d}^2S}{4V} {\rm d}t \int_{v=0}^{v=+\infty} v 4\pi\left(\frac a\pi\right)^{3/2} v^2 e^{-av^2}{\rm d}v\\ &=\frac{N {\rm d}^2S}V {\rm d}t \left(\frac a\pi\right)^{3/2}\pi\int_{v=0}^{v=+\infty} v^3 e^{-av^2} {\rm d}v\\ &=\frac{N {\rm d}^2S}V {\rm d}t \left(\frac a\pi\right)^{3/2} \frac \pi a \int_{v=0}^{v=+\infty}v e^{-av^2}{\rm d}v\\ &=\frac{N {\rm d}^2S}V {\rm d}t \frac\pi{\pi^{3/2}} \frac{a^{3/2}}{2a^2}\\ &=\frac N{2V}\frac1{\sqrt{\pi a}}{\rm d}^2S\,{\rm d}t \end{align}

{\rm d}^6\vec p_{\rm paroi}=\frac NV {\rm d}^3\tau\, p(v){\rm d}v\, (-2mv\cos(\theta)\vec u_z)\frac{{\rm d}^2\Omega}{4\pi}

\begin{align} {\rm d}^4\vec p_{\rm paroi}&=\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\int_{\theta=0}^{\theta=\frac\pi2}\int_{r=0}^{r=v{\rm d}t}\frac NV{\rm d}^3\tau\, p(v) {\rm d}v \,(-2mv\cos(\theta))\frac{{\rm d}^2\Omega}{4\pi}\vec u_z\\ &=\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\int_{\theta=0}^{\theta=\frac\pi2}\int_{r=0}^{r=v{\rm d}t} -\frac NV p(v) {\rm d}v\, 2mv\cos(\theta)\frac1{4\pi}r^2\sin(\theta)\frac{{\rm d}^2S \cos(\theta)}{r^2} {\rm d}r\, {\rm d}\theta \,{\rm d}\varphi \vec u_z\\ &=-\frac{Nmv\,p(v)}{2\pi V}{\rm d}v\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\int_{\theta=0}^{\theta=\frac\pi2}\int_{r=0}^{r=v{\rm d}t}\cos(\theta)\sin(\theta){\rm d}^2S\, {\rm d}r\, {\rm d}\theta\, {\rm d}\varphi\, \vec u_z\\ &=-\frac{Nmv\,p(v) \,{\rm d}^2S\,{\rm d}v}{2\pi V}2\pi v{\rm d}t\, \frac13\vec u_z\\ &=-\frac{Nm\,{\rm d}^2S\,{\rm d}t}{3V} v^2 p(v) \,{\rm d}v \vec u_z \end{align}

On intègre sur les vitesses :

\begin{align} {\rm d}^3\vec p_{\rm paroi}&=\int_{v=0}^{v=+\infty} -\frac{Nm\,{\rm d}^2S\,{\rm d}t}{3V} v^2 p(v) {\rm d}v \,\vec u_z\\ &=-\frac{Nm\,{\rm d}^2S\,{\rm d}t}{3V} \int_{v=0}^{v=+\infty} v^4 4\pi\left(\frac a\pi\right)^{3/2} e^{-av^2} {\rm d}v\, \vec u_z\\ &=-\frac{Nm\,{\rm d}^2S\,{\rm d}t}{3V} 4\pi\left(\frac a\pi\right)^{3/2} \frac3{8a^2}\sqrt{\frac\pi a}\vec u_z\\ &=-\frac{Nm\,{\rm d}^2S\,{\rm d}t}{2V} \frac1a\vec u_z\\ &=-\frac{Nm\,{\rm d}^2S\,{\rm d}t}{2V} \frac{2kT}m\vec u_z\\ &=-\frac{NkT}V {\rm d}^2S\,{\rm d}t\,\vec u_z\\ \end{align}

\overrightarrow{{\rm d}^2F_{{\rm d}^2S}}=-\frac{NkT}V {\rm d}^2S=-p \,{\rm d}^2S\,\vec u_z avec p=\frac{NkT}V

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