Théorie générale du choix et des préférences/Ipotesi imposte sulle preferenze

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Completezza

$\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X:\mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {y} \lor \mathbf {y} \succcurlyeq \mathbf {x}$

Ossia: presi due qualsiasi panieri di consumo almeno uno dei due è debolmente preferito all'altro. Ciò significa che due qualunque panieri sono sempre confrontabili tra loro: in sostanza viene richiesto al consumatore di essere sempre in grado di decidere, eventualmente esprimendo l'indifferenza (doppia preferenza debole), ma mai rifiutandosi di rispondere.

Riflessività

$\forall \mathbf {x} \in X:\mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {x}$

Ossia: qualunque paniere di consumo è debolmente preferito à se stesso. Tale proprietà può essere considerata ridondante, data l'ipotesi di completezza delle preferenze, tuttavia vale la pena di specificarla espressamente.

Transitività

$\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in X:\mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {y} \land \mathbf {y} \succcurlyeq \mathbf {z} \Rightarrow \mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {z}$

Ossia: dati tre qualsiasi panieri di consumo, se il primo è debolmente preferito al secondo, e il secondo al terzo, allora anche il primo paniere è debolmente preferito al terzo.

• Data tale proprietà, è possibile dimostrare che anche $\succ$ e $\sim$ sono transitive (la dimostrazione è lasciata come esercizio). Sulla transitività di tali relazioni è possibile menzionare diversi paradossi, in particolare il paradosso di Condorcet, che però riguarda le preferenze collettive; per quanto riguarda, invece, la transitività dell'indifferenza, si presuppone che il consumatore sia in grado di distinguere beni aventi differenze infinitesime.
• Si noti, a questo punto, che la preferenza debole, date le proprietà di riflessività e transitività, è un preordine; inoltre la relazione di indifferenza è riflessiva, simmetrica e transitiva, dunque è una relazione di equivalenza. Tale relazione determina, quindi, una partizione dell'insieme di consumo con suddivisione in classi di equivalenza. L'insieme quoziente $X/\sim$ risulta, dunque, totalmente ordinato mediante la $\succ$.

Continuità

$\forall \mathbf {y} \in X$, $\left\{\mathbf {x} \in X|\mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {y} \right\}$ e $\left\{\mathbf {x} \in X|\mathbf {y} \succcurlyeq \mathbf {x} \right\}$ sono insiemi chiusi

Questo significa che, data una successione di panieri $\mathbf {x} _{n}$ che convergono ad un paniere $\mathbf {x}$, se $\mathbf {y}$ è preferito a tutti i panieri della successione, è anche preferito a $\mathbf {x}$, e viceversa.

Questa proprietà permette di escludere alcuni tipi di preferenza, come l’ordine lessicografico; in quest'ultimo caso, infatti, esisterebbe un bene che non è sostituibile con gli altri e non verrebbe mai scambiato.

Monotonicità forte

$\forall \mathbf {x} \neq \mathbf {y} ,x_{l}\geq y_{l}\forall l\Rightarrow \mathbf {x} \succ \mathbf {y}$

Ossia: presi due qualsiasi panieri distinti, se uno dei due ha almeno la stessa quantità di ciascun bene rispetto all'altro, allora gli risulta strettamente preferito. In altre parole, se due panieri sono identici, ma uno dei due ha almeno per un bene una quantità strettamente maggiore, allora deve risultare strettamente preferito.

• Nella definizione di monotonicità debole si sostituisce la preferenza stretta con quella debole.
• L'assunzione di monotonicità forte contrasta con le preferenze alla Leontief.