Statistique inférentielle/Intervalle de confiance

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**Intervalle de confiance**
Leçon : Statistique inférentielle

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Estimation d'un paramètre

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Statistique inférentielle/Intervalle de confiance », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Estimation d'une fréquence

[modifier] Estimation d'une fréquence

[modifier] Exemple d'un sondage

Avant une élection, un candidat veut estimer le pourcentage p de voix qu'il va obtenir. Mais il ne peut pas interroger tous les électeurs, sauf à faire une élection avant l'heure ! Il va donc commander un sondage sur un échantillon représentatif (terme à préciser) de la population et obtenir une estimation $\hat p\,$ de son futur score.

Plusieurs questions se pose alors :

Quelle précision peut-il escompter d'un tel sondage ?

Quelle taille l'échantillon doit-il avoir pour avoir une précision donnée ?

Que signifie "représentatif" ?

[modifier] Intervalle de confiance Bilatéral

Définition

L'intervalle $[\hat p -\delta_\alpha ; \hat p +\delta_\alpha]\,$ est un intervalle de confiance bilatéral de niveau $α$ si la probabilité que p soit dans cet intervalle est supérieure ou égale à $α$ , qui s'écrit encore :

$\mathbb P \left([\hat p -\delta_\alpha ; \hat p +\delta_\alpha]\ \ni p \right)=\alpha$

[modifier] Exemple

Si le sondage donne 40 % d'intentions de vote pour le candidat, avec une incertitude de 1 %, avec un niveau de confiance de 95 %, cela signifie que l'intervalle $[39 ; 41]\,$ est un intervalle de confiance bilatéral au niveau de confiance 0,95 pour p.

[modifier] Intervalles de confiances Unilatéraux

Parfois il peut arriver que l'on cherche à connaitre la borne maximale (ou minimale) d'un paramètre. Dans ce cas on utilise un Intervalle de Confiance qui n'est pas symétrique comme dans les IC bilatéraux, mais asymétrique.

Il en existe de 2 sortes :

Intervalle de confiance unilatéral à droite

L'intervalle $[-\infty ; \hat p +\delta_\alpha] \,$ est un intervalle de confiance unilatéral à droite de niveau $α$ si la probabilité que p soit dans cet intervalle est supérieure ou égale à $α$ , qui s'écrit encore :

$\mathbb P \left([-\infty ; \hat p +\delta_\alpha] \ni p \right)=\alpha$

Intervalle de confiance unilatéral à gauche

L'intervalle $[\hat p -\delta_\alpha ; +\infty] \,$ est un intervalle de confiance unilatéral à gauche de niveau $α$ si la probabilité que p soit dans cet intervalle est supérieure ou égale à $α$ , qui s'écrit encore :

$\mathbb P \left([\hat p -\delta_\alpha ; +\infty] \ni p \right)=\alpha$

[modifier] Intervalle de confiance Bilatéral à 95%

Théorème

En faisant un sondage au niveau de confiance de 95 % sur n individus, et en faisant l'hypothèse que p est assez proche de 0,5 ; on obtient un intervalle de confiance approximatif :

$[\hat p-\frac{1}{\sqrt{n}} ; \hat p+\frac{1}{\sqrt{n}}]\,$

[modifier] Exemple

Si le candidat demande un sondage au niveau de confiance de 95% sur 1000 personnes, quel intervalle de confiance obtient-il ?

Solution

Votre solution est bienvenue !

Remarques :

Ce théorème approximatif ne peut se démontrer qu'à l'aide de la théorie des probabilités vue dans l'enseignement supérieur.

Il permet cependant de constater que pour multiplier la précision par 10, il faut multiplier par 100 la taille de l'échantillon, ce qui est très coûteux.

[modifier] Exercice

Le candidat veut connaître son futur score à 0,1 % près, avec un niveau de confiance de 95 %. Combien de personnes faut-il interroger ?

Solution

Préambule:

Pour répondre à la question posée, comme on ne connait a priori pas la loi de probabilité du sondage, il faut utiliser le théorème suivant :

Théorème Central Limite

Soit $( x_1 , \dots , x_n)$ un échantillon d'une loi de probabilité d'espérance $μ$ , et de variance $σ 2$ . Soit $\overline{X}_n$ la moyenne empirique de l'échantillon, et $\hat \sigma^2$ sa variance empirique.

Posons : $Z_n = (\overline{X}_n - \mu) \sqrt{\frac{n}{\hat \sigma^2}}$ .

Alors la loi de la variable aléatoire $Z n$ converge vers une loi $\mathcal{N}(0,1)$

Résolution Générale:

Hypothèse : Considérons que le candidat veut un intervalle de confiance avec une erreur bilaterale.

Notons : $B_{Inf}=\overline{X}_n - \alpha_{p/2} \sqrt{\frac{\hat \sigma^2 }{n}}$ et $B_{Sup}=\overline{X}_n + \alpha_{p/2} \sqrt{\frac{\hat \sigma^2 }{n}}$ avec $\alpha_{p/2}= \phi ^{-1}(\frac{1}{2}+\frac{p}{2})$ où $\phi (\cdot)$ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.