Statique/Principe fondamental de la statique

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**Principe fondamental de la statique**
Leçon : Statique

Chapitre 2
Chap. préc. :	Introduction
Chap. suiv. :	Statique du solide

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Statique/Principe fondamental de la statique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Introduction
2 Formulation vectorielle
3 Quelques forces simples
- 3.1 Forces usuelles
- 3.2 Forces de réaction
4 Principe d'action-réaction
5 Théorème du moment
6 Exemples

[modifier] Introduction

La statique peut être résumée à un unique principe physique, appelé principe fondamental de la statique :

Principe fondamental de la statique

Un système est à l'équilibre si et seulement si l'effet de toutes les forces qui s'exercent sur lui est nul.

Nous allons préciser cet énoncé, en incluant notamment les forces sous forme de vecteurs. Ce principe est tellement général, qu'il s'étend sur plusieurs domaines : la mécanique du point, la mécanique du solide et la mécanique des fluides. Nous donnons dans ce chapitre la formulation adaptée à la mécanique du point, plus simple. Un chapitre dédié précisera les énoncés plus spécifiques.

[modifier] Formulation vectorielle

Les forces qui s'exercent sur un point matériel peuvent être représentées par des vecteurs. En plus des propriétés des vecteurs (direction, sens et longueur), la physique attribue aux forces un point d'application. Pour un point, le point d'application des forces qui s'exercent sur lui, c'est lui-même. Les forces se cumulent : elles s'additionnent.

Lorsqu'il n'y a pas de force, il est équivalent de dire qu'il s'exerce une force nulle :

$\overrightarrow F = \overrightarrow 0$

Si le système vérifie le principe fondamental de la statique, l'effet combiné de toutes les forces est le même que l'effet d'aucune force. Par conséquent, l'ensemble des forces s'exerçant est équivalent à la force nulle :

$\overrightarrow F_1 + \overrightarrow F_2 + \overrightarrow F_3 + \ldots = \overrightarrow 0$

On utilise la notation mathématique « somme » pour donner une formule plus élégante. Cette notation est inspirée des mathématiques. Voici ce que donne cette notation pour un exemple :

$\sum_{i=1}^{4}i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$ (cela se lit « somme pour i de 1 à 4 des i au carré)

En physique, puisqu'on ne sait pas jusqu'à combien de forces peuvent s'appliquer, on ne place pas de limite au dessus du symbole « somme » :

$\sum_{i} \overrightarrow F_i = \overrightarrow F_1 + \overrightarrow F_2 + \overrightarrow F_3 + \ldots$

En conclusion, le principe fondamental de la statique s'écrit, en mécanique du point :

Principe fondamental de la statique

Un système physique soumis à des forces est en équilibre statique si et seulement si l'ensemble des forces vérifie :

$\sum_{i} \overrightarrow F_i = \overrightarrow 0$

[modifier] Quelques forces simples

[modifier] Forces usuelles

Nous présentons quelques exemples classiques de forces simples, d'usage courant. On se place dans le cas usuel d'un mouvement selon une seule dimension, x. Le vecteur unitaire $\overrightarrow e_x$ pointe vers les x croissants. Le point matériel étudié est situé en x et de masse m.

Ressort : $\overrightarrow F = -k (x-x_0) \overrightarrow e_x$ (loi de Hooke) avec k une constante appelée constante de raideur et x₀ la longueur à vide du ressort, c'est-à-dire la longueur qu'il a au repos.

Gravité :
- Dans le champ terrestre : $\overrightarrow F = - mg \overrightarrow e_x$ (la terre étant dans la direction des x négatifs), g étant l'intensité du champ de pesanteur (g = 9,81 m.s⁻²) ;
- Cas général : $\overrightarrow F = - G \frac{Mm}{x^2} \overrightarrow e_x$ (la Terre étant située en x = 0), G étant la constante de gravitation, M la masse du corps créant la force de gravité.

[modifier] Forces de réaction

Toutes les forces ne se ramènent pas à l'un des cas précédent. Nous montrons ici qu'il existe des forces indépendantes de leur cause et origine, appelées forces de réaction.

La première étape est de se poser la question suivante : peut-il exister un équilibre avec une seule force ? D'après le principe fondamental de la statique :

$\sum_i \overrightarrow F_i = \overrightarrow F = \overrightarrow 0$

Une seule force peut mener à un équilibre si et seulement si... elle n'a aucun effet. Conclusion première : pour avoir un équilibre, il faut qu'il existe au moins deux forces.

Étudions maintenant le cas d'une boîte de crayons posée sur une table. Elle ne bouge pas : elle est en équilibre. Donc, d'après ce qui précède, deux forcent au moins s'exercent sur la boîte. Une force évidente est la gravité, que l'on note F... mais quelles seraient les autres ? Puisque les forces s'additionnent, on peut tout à fait dire qu'une seule autre force s'applique, appelons-la R. D'après le principe fondamental :

$\sum_i \overrightarrow F_i = \overrightarrow F + \overrightarrow R= \overrightarrow 0$

Donc :

$\overrightarrow R = - \overrightarrow F$

Il s'exerce sur la boîte une force exactement inverse à celle de la gravité, qui l'empêche de passer à travers la table : c'est une « force de réaction ».

[modifier] Principe d'action-réaction

La Terre attire la pomme — mais pourquoi est-ce dans ce sens ? Eh bien... ça ne l'est pas. La pomme attire la Terre autant que la Terre attire la pomme, ce n'est pas une question de point de vue, c'est une question de temps : la pomme, moins massive, subit très vite cette attraction — alors que la Terre, bien plus massive, mettrait bien plus longtemps à réagir.

3^e loi de Newton

Les forces exercées par un système sur un autre système sont égales et opposées aux forces exercées par ce dernier sur le premier.

[modifier] Théorème du moment

Nous sommes parfois amenés à traiter des problèmes à symétrie centrale : par exemple les pivots ou les tourniquets. Dans ce cadre, l'utilisation du principe fondamental de la statique sous forme vectorielle devient difficile, à cause notamment des nombreuses projections. Il existe une formulation équivalente et adaptée, appelée théorème du moment.

Un « moment » est la capacité d'une force à faire tourner quelque chose. Par exemple, une force qui pousse une fenêtre possède un certain moment — une force qui pousse uniformément une table n'a aucun moment. Le moment d'une force F est défini par :

$\overrightarrow \Gamma (\overrightarrow F) = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow F$

Avec O un point fixe (le centre de symétrie, idéalement) et M le point d'application de la force. Le symbole $\wedge$ dénote le produit vectoriel. Si cette notion ne vous est pas familière, rappelons que le produit vectoriel de deux vecteurs :

$\overrightarrow w = \overrightarrow u \wedge \overrightarrow v$

est un vecteur, orthogonal à u et v, de norme :

Si les vecteurs impliqués sont ceux du système de coordonnées (u, v, w) , alors on peut utiliser les relations entre eux, ce qui est plus simple :

$\overrightarrow u \wedge \overrightarrow v = \overrightarrow w$

$\overrightarrow w \wedge \overrightarrow u = \overrightarrow v$

$\overrightarrow v \wedge \overrightarrow w = \overrightarrow u$

Enfin, rappelons qu'échanger l'ordre des termes dans le produit vectoriel fait apparaitre un signe « - » devant le résultat.

Le principe fondamental de la statique énonce que la somme des effets des forces sur le point matériel doit être nul, ce qui devient ici :

Théorème du moment

Un point matériel est à l'équilibre statique si et seulement si la somme des moments s'exerçant sur lui est nulle :

$\sum_i \overrightarrow \Gamma_i = \overrightarrow 0$

[modifier] Exemples

Statique

Introduction

Statique du solide

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[modifier] Formulation vectorielle

[modifier] Quelques forces simples

[modifier] Forces usuelles

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[modifier] Principe d'action-réaction

[modifier] Théorème du moment

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