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0) Soient <math>A \,\, \mbox{et} \,\, B</math>, des ensembles finis, alors :
0) Soient <math>A \,\, \mbox{et} \,\, B</math>, des ensembles finis, alors :


<math>{card}_Q(A) ={card}_E(A)</math>
<math>{card}_Q(A) ={card}_E(A)</math>
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1) Soient <math>A \,\, \mbox{et} \,\, B</math>, des ensembles infinis, alors :
1) Soient <math>A \,\, \mbox{et} \,\, B</math>, des ensembles infinis, alors :


<math>\exists A \subsetneq B \,\, : \,\, {card}_E(A) = {card}_E(B)</math>
<math>\exists A \subsetneq B \,\, : \,\, {card}_E(A) = {card}_E(B)</math>
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2) Voici les liens qui existent entre le cardinal équipotentiel (utilisant la notion de bijection) et le cardinal quantitatif :
2) Voici les liens qui existent entre le cardinal équipotentiel (utilisant la notion de bijection) et le cardinal quantitatif :


Soient <math>A \,\, \mbox{et} \,\, B</math>, des ensembles, alors :
Soient <math>A \,\, \mbox{et} \,\, B</math>, des ensembles, alors :
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avec les notations suivantes :
avec les notations suivantes :


a) <math>A</math> vérifie (Conditions MC) ssi <math>A \in {\cal P} (\mathbb{R}^n)</math>, <math>A</math> sous-variété compacte, convexe, (connexe) de <math>\R^n</math> et de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux).
a) <math>A</math> vérifie (Conditions MC) ssi <math>A \in {\cal P} (\mathbb{R}^n)</math>, <math>A</math> sous-variété compacte, convexe, (connexe) de <math>\R^n</math> et de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux).


b) <math>A</math> vérifie (Conditions MC élargies) ssi <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}^n)</math>, <math>A</math> sous-variété compacte, convexe, (connexe) de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> et de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux).
b) <math>A</math> vérifie (Conditions MC élargies) ssi <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}^n)</math>, <math>A</math> sous-variété compacte, convexe, (connexe) de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> et de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux).


c) <math>A</math> vérifie (Conditions MC+) ssi <math>A \in {\cal P} (\mathbb{R}^n)</math>, <math>A</math> bornée, ssi <math>A \in {\cal P} (\mathbb{R}^n), \,\, {diam}(A) \in \R</math>
c) <math>A</math> vérifie (Conditions MC+) ssi <math>A \in {\cal P} (\mathbb{R}^n)</math>, <math>A</math> bornée, ssi <math>A \in {\cal P} (\mathbb{R}^n), \,\, {diam}(A) \in \R</math>


d) <math>A</math> vérifie (Conditions MC élargies +) ssi <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}^n)</math>, <math>A</math> bornée, ssi <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}^n), \,\,\widetilde{diam}(A) \in \R''</math>
d) <math>A</math> vérifie (Conditions MC élargies +) ssi <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}^n)</math>, <math>A</math> bornée, ssi <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}^n), \,\,\widetilde{diam}(A) \in \R''</math>


ssi <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}^n), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>
ssi <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}^n), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>


1)
1)


[a) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \mbox{ou} \,\, {\cal P}(\mathbb{R}^n)</math> et vérifiant (Conditions MC ou MC+)}, <math>card_{Q,{\cal R}}(A)\geq 0</math>]
[a) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \mbox{ou} \,\, {\cal P}(\mathbb{R}^n)</math> et vérifiant (Conditions MC ou MC+)}, <math>card_{Q,{\cal R}}(A)\geq 0</math>]


b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math>
b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math>


c) <math> \forall x \in {\mathbb{R}''}^n \,\, \mbox{ou} \,\, \forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>
c) <math> \forall x \in {\mathbb{R}''}^n \,\, \mbox{ou} \,\, \forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>


2)
2)


a1) <math>\forall A,B \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, et \,\, A,B</math> vérifiant (Conditions MC),
a1) <math>\forall A,B \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, et \,\, A,B</math> vérifiant (Conditions MC),


<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>


ou
ou


<math>\forall A,B \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, et \,\, A,B</math> vérifiant (Conditions MC élargies),
<math>\forall A,B \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, et \,\, A,B</math> vérifiant (Conditions MC élargies),


<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>




Il en découle avec 1)b), en particulier que :
Il en découle avec 1)b), en particulier que :


<math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_E(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, \forall i \in I, \,\, A_i</math> vérifiant (Conditions MC),
<math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_E(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, \forall i \in I, \,\, A_i</math> vérifiant (Conditions MC),


<math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>
<math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>


<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>


ou
ou


<math>\displaystyle{\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n),\,\, {card}_E(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \forall i \in I, \,\, A_i}</math> vérifiant (Conditions MC élargies)
<math>\displaystyle{\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n),\,\, {card}_E(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \forall i \in I, \,\, A_i}</math> vérifiant (Conditions MC élargies)


<math>\displaystyle{\text{et} \,\,\widetilde{diam}(A_i) \in \R,\,\,\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math>
<math>\displaystyle{\text{et} \,\,\widetilde{diam}(A_i) \in \R,\,\,\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math>




<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>




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a2) '''REMARQUE IMPORTANTE : OBSTACLE ET FACTEUR, POUR L'INSTANT, LIMITANT DE "MA THEORIE" :'''
a2) '''REMARQUE IMPORTANTE : OBSTACLE ET FACTEUR, POUR L'INSTANT, LIMITANT DE "MA THEORIE" :'''
Dans le cas des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> de la classe des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math> de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux), Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je me refuse à le croire, je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, même si ce ne sera pas, forcément, une mesure au sens usuel, sur <math>{\cal P} ({\mathbb{R}}^n)</math> ou sur <math>{\cal P} ({\mathbb{R}''}^n)</math>
Dans le cas des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> de la classe des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math> de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux), Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je me refuse à le croire, je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, même si ce ne sera pas, forcément, une mesure au sens usuel, sur <math>{\cal P} ({\mathbb{R}}^n)</math> ou sur <math>{\cal P} ({\mathbb{R}''}^n)</math>


L'axiome 2) a1) de <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties bornées plus large de <math>\mathbb{R}^n</math>, donc à fortiori, aussi, pour une classe de parties bornées de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> plus large que celle des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux).
L'axiome 2) a1) de <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties bornées plus large de <math>\mathbb{R}^n</math>, donc à fortiori, aussi, pour une classe de parties bornées de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> plus large que celle des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux).


'''(1) Remarque :'''
'''(1) Remarque :'''


Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math>
Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math>


a)'''dans ma théorie''', on peut avoir <math>A \subsetneq \mathbb{R}'</math>, et dans ce cas on a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}')</math>
a)'''dans ma théorie''', on peut avoir <math>A \subsetneq \mathbb{R}'</math>, et dans ce cas on a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}')</math>


b)'''dans ma théorie''', on peut avoir <math>A \supsetneq \mathbb{R}'</math>, et dans ce cas on a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) > {card}_{Q,{\cal R}}(\R ')</math>
b)'''dans ma théorie''', on peut avoir <math>A \supsetneq \mathbb{R}'</math>, et dans ce cas on a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) > {card}_{Q,{\cal R}}(\R ')</math>
'''Fin Remarque'''
'''Fin Remarque'''




'''(2)Proposition :'''
'''(2)Proposition :'''


Soit <math>\displaystyle{\widetilde{E} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)}</math>, bornée dans <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.
Soit <math>\displaystyle{\widetilde{E} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)}</math>, bornée dans <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.


Si <math>\displaystyle{\forall x \in \widetilde{E},\,\, A_x \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)}</math> et <math> \displaystyle{\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigcup_{x \in \widetilde{E}} A_x}</math>
Si <math>\displaystyle{\forall x \in \widetilde{E},\,\, A_x \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)}</math> et <math> \displaystyle{\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigcup_{x \in \widetilde{E}} A_x}</math>
alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)}</math>
alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)}</math>


'''(sous réserve de conditions supplémentaires si on remplace <math>\mathbb{R}''</math> par <math>\mathbb{R}</math>, mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E}</math> bornée)'''
'''(sous réserve de conditions supplémentaires si on remplace <math>\mathbb{R}''</math> par <math>\mathbb{R}</math>, mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E}</math> bornée)'''
'''Fin Proposition'''
'''Fin Proposition'''


3)
3)
A)
A)


a) <math>\displaystyle{\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\mathbb{R}''}^n}</math>, vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou <math>I</math> intervalle de <math>\mathbb{R}^n</math>, vérifiant (Conditions MC ou MC+)
a) <math>\displaystyle{\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\mathbb{R}''}^n}</math>, vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou <math>I</math> intervalle de <math>\mathbb{R}^n</math>, vérifiant (Conditions MC ou MC+)
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)}</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> ou de <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>is</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)}</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> ou de <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>is</math>
En particulier :

En particulier :
a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou <math>I</math> intervalle de <math>\mathbb{R}^n</math>, vérifiant (Conditions MC ou MC+),

a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou <math>I</math> intervalle de <math>\mathbb{R}^n</math>, vérifiant (Conditions MC ou MC+),
<math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n \,\, \mbox{ou} \,\, \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(I + x) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)}</math>
<math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n \,\, \mbox{ou} \,\, \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(I + x) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)}</math>



a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou <math>I</math> intervalle de <math>\mathbb{R}^n</math>, vérifiant (Conditions MC ou MC+),
a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou <math>I</math> intervalle de <math>\mathbb{R}^n</math>, vérifiant (Conditions MC ou MC+),
<math>\displaystyle{\forall M \in{\mathbb{R}''}^n \,\, \mbox{ou} \,\, \mathbb{R}^n}</math>,
<math>\displaystyle{\forall M \in{\mathbb{R}''}^n \,\, \mbox{ou} \,\, \mathbb{R}^n}</math>,


<math>\forall \theta_n \in \begin{cases}
<math>\forall \theta_n \in \begin{cases}
\{0, \pi \} + 2k\pi; \,\, k \in \Z & \text{si }n=1 \\
\{0, \pi \} + 2k\pi; \,\, k \in \Z & \text{si }n=1 \\
{\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\
{\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\
\end{cases}</math>,
\end{cases}</math>,
<math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>
<math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>




Ligne 1 130 : Ligne 1 126 :
B)
B)
a) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math>, vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, vérifiant (Conditions MC ou MC+)
a) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math>, vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, vérifiant (Conditions MC ou MC+)
<math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> ou de <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>is</math>
<math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> ou de <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>is</math>
En particulier :
En particulier :


a1) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math>, vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)</math>, vérifiant (Conditions MC ou MC+),
a1) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math>, vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)</math>, vérifiant (Conditions MC ou MC+),
<math>\displaystyle{\forall x \in {\mathbb{R}''}^n \,\, \mbox{ou} \,\, \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A + x) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>
<math>\displaystyle{\forall x \in {\mathbb{R}''}^n \,\, \mbox{ou} \,\, \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A + x) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>
a2) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math>, vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)</math>, vérifiant (Conditions MC ou MC+),
a2) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math>, vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)</math>, vérifiant (Conditions MC ou MC+),
<math>\forall M \in {\mathbb{R}''}^n \,\, \mbox{ou} \,\, \mathbb{R}^n</math>,
<math>\forall M \in {\mathbb{R}''}^n \,\, \mbox{ou} \,\, \mathbb{R}^n</math>,

<math>\forall \theta_n \in \begin{cases}
<math>\forall \theta_n \in \begin{cases}
\{0, \pi\} + 2k\pi; \,\, k \in \Z & \text{si } n=1\\
\{0, \pi\} + 2k\pi; \,\, k \in \Z & \text{si } n=1\\
{\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\
{\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\
\end{cases}</math>,
\end{cases}</math>,


<math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>
<math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>




C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\mathbb{R}''}^n \,\, \mbox{ou} \,\, \mathbb{R}^n</math>,
C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\mathbb{R}''}^n \,\, \mbox{ou} \,\, \mathbb{R}^n</math>,


<math>\forall \theta_n \in \begin{cases}
<math>\forall \theta_n \in \begin{cases}
\{0, \pi\} + 2k\pi; \,\, k \in \Z & \text{si } n=1 \\
\{0, \pi\} + 2k\pi; \,\, k \in \Z & \text{si } n=1 \\
\R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\
\R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\
\end{cases}</math>,
\end{cases}</math>,


<math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>
<math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>




D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \mbox{ou} \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,
D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \mbox{ou} \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,


<math>\forall \theta_n \in \begin{cases}
<math>\forall \theta_n \in \begin{cases}
\{0, \pi\} + 2k\pi; \,\, k \in \Z & \text{si } n=1 \\
\{0, \pi\} + 2k\pi; \,\, k \in \Z & \text{si } n=1 \\
\R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\
\R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\
\end{cases}</math>,
\end{cases}</math>,


<math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>
<math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>


F)
F)
a) <math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, ou \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) ,\,\, telle \,\, que \,\, \widetilde{diam}(A) \not \in {\mathbb{R}''}_+ \,\, ou \,\, {diam}(A) \not \in \mathbb{R}_+}</math>
a) <math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, ou \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) ,\,\, telle \,\, que \,\, \widetilde{diam}(A) \not \in {\mathbb{R}''}_+ \,\, ou \,\, {diam}(A) \not \in \mathbb{R}_+}</math>


<math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, hyperplan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math>
<math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, hyperplan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math>
<math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0 \,\, alors \,\,\forall x_0,{x_0}'\in {\mathbb{R}''}^n \,\, ou \,\, \mathbb{R}^n, \,\,\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math>
<math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0 \,\, alors \,\,\forall x_0,{x_0}'\in {\mathbb{R}''}^n \,\, ou \,\, \mathbb{R}^n, \,\,\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math>
<math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0 \,\,et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math>
<math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0 \,\,et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>
(Axiome en cours d'étude)
(Axiome en cours d'étude)




b) <math>\forall a, a' \in {\mathbb{R}''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\mathbb{R}''}^n \,\, ou \,\, \mathbb{R}^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|</math>
b) <math>\forall a, a' \in {\mathbb{R}''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\mathbb{R}''}^n \,\, ou \,\, \mathbb{R}^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|</math>


<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}</math>


<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>
(Axiome en cours d'étude)
(Axiome en cours d'étude)


Remarque (Sous réserve) : Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.
Remarque (Sous réserve) : Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.
4)
4)


<math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, (\acute{e}ventuellement \,\, convergente), \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math>
<math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, (\acute{e}ventuellement \,\, convergente), \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math>


ou
ou


<math>\displaystyle{\forall {(\widetilde{x_m})}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}''}, \,\, (\acute{e}ventuellement \,\, convergente), \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,\widetilde{x_m}]}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0, \lim_{m \rightarrow +\infty} \widetilde{x_m}]})}</math>
<math>\displaystyle{\forall {(\widetilde{x_m})}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}''}, \,\, (\acute{e}ventuellement \,\, convergente), \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,\widetilde{x_m}]}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0, \lim_{m \rightarrow +\infty} \widetilde{x_m}]})}</math>


5) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> ou de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>.
5) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> ou de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>.


<math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math>
<math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math>


<math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^{n-k}) \,\, \mbox{ou} \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^{n-k})}</math>,<math>\displaystyle{\forall B \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^k) \,\, \mbox{ou} \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^{k})}</math>,
<math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^{n-k}) \,\, \mbox{ou} \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^{n-k})}</math>,<math>\displaystyle{\forall B \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^k) \,\, \mbox{ou} \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^{k})}</math>,


<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times \prod_{i \in \N_{k}^*} \{0\})\,\,{card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in \N_{n-k}^*} \{0\} \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times \prod_{i \in \N_{k}^*} \{0\})\,\,{card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in \N_{n-k}^*} \{0\} \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>


'''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'''
'''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'''


En particulier, si <math>A</math> et <math>B</math> vérifient (Conditions MC ou MC+).
En particulier, si <math>A</math> et <math>B</math> vérifient (Conditions MC ou MC+).
Ligne 1 224 : Ligne 1 220 :
Il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
Il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :


a) <math>\displaystyle{\forall A,B \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \mbox{ou} \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^{n})}</math>, (Dans au moins le cadre des conditions MC ou MC+), <math>B \subset A,</math>
a) <math>\displaystyle{\forall A,B \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \mbox{ou} \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^{n})}</math>, (Dans au moins le cadre des conditions MC ou MC+), <math>B \subset A,</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>




b) <math>\displaystyle{\forall A,B \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \mbox{ou} \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^{n})}</math>,(Dans au moins le cadre des conditions MC ou MC+), <math>A \subsetneq B,</math>
b) <math>\displaystyle{\forall A,B \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \mbox{ou} \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^{n})}</math>,(Dans au moins le cadre des conditions MC ou MC+), <math>A \subsetneq B,</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>




Ligne 1 251 : Ligne 1 247 :
Soit <math>n \in \N^*</math>.
Soit <math>n \in \N^*</math>.


1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu "L'ensemble des parties bornées de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, d'une classe particulière".


1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu "L'ensemble des parties bornées de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, d'une classe particulière".
2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général.


3) '''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,''' car : '


2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général.
<math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>


qui sont toutes 2 des réunions disjointes


3) '''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,''' car : '
et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive,


on aurait :


<math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>


<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>
qui sont toutes 2 des réunions disjointes


et on aurait aussi


<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math>
et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive,


<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>
on aurait :


<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>


<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>
Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>


et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>.
et on aurait aussi


Contradiction :
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math>


<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>
Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive,


donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.

Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>

et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>.

Contradiction :

Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.




Ligne 1 304 : Ligne 1 295 :


'''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notations :'''
'''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notations :'''



<math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} [0,p] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} [0,p[ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} \bigcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} [i-1,i[}</math>
<math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} [0,p] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} [0,p[ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} \bigcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} [i-1,i[}</math>



<math>\displaystyle{= \bigcup_{i \in \displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}(\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}} [i-1,i[ = \bigcup_{i \in \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big] \setminus \{0\}} [i-1,i[ = \bigcup_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} [i-1,i[}</math>
<math>\displaystyle{= \bigcup_{i \in \displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}(\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}} [i-1,i[ = \bigcup_{i \in \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big] \setminus \{0\}} [i-1,i[ = \bigcup_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} [i-1,i[}</math>



et
et



<math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} [0,2p] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} [0,2p[ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} \bigcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} [2i-2,2i[}</math>
<math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} [0,2p] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} [0,2p[ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} \bigcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} [2i-2,2i[}</math>



<math>\displaystyle{= \bigcup_{i \in \displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}(\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}} [2i-2,2i[ = \bigcup_{i \in \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\setminus \{0\}} [2i-2,2i[ = \bigcup_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} [2i-2,2i[}</math>
<math>\displaystyle{= \bigcup_{i \in \displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}(\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}} [2i-2,2i[ = \bigcup_{i \in \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\setminus \{0\}} [2i-2,2i[ = \bigcup_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} [2i-2,2i[}</math>




qui sont toutes 2 des réunions disjointes
qui sont toutes 2 des réunions disjointes



et on a :
et on a :



<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N^*}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N^*}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math>



<math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>
<math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>



et on a aussi
et on a aussi



<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}[2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) }</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}[2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) }</math>



<math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>
<math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>



Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>
Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>



et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math>
et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math>



et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math>
et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math>



et il n'y a aucune contradiction :
et il n'y a aucune contradiction :


'''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'''
'''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'''



'''Mais il y a quand même une interrogation :'''
'''Mais il y a quand même une interrogation :'''



'''A-t-on bien :
'''A-t-on bien :



'''<math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,p] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,p[ = \Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]}</math>'''
'''<math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,p] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,p[ = \Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]}</math>'''

'''et'''
'''et'''



'''<math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,2p] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,2p[ = \Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]}</math> ?'''
'''<math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,2p] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,2p[ = \Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]}</math> ?'''





En tout cas, comme, <math>\forall p \in \N, \,\, [0,p[ \subset [0,p]</math> et <math>[0,2p[\subset [0,2p]</math>, on a :
En tout cas, comme, <math>\forall p \in \N, \,\, [0,p[ \subset [0,p]</math> et <math>[0,2p[\subset [0,2p]</math>, on a :



<math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,p] \setminus [0,p[ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} \{p\}}</math>, qui n'a pas de sens, puisque ce n'est ni une limite d'une suite croissante de parties de <math>\R</math>, ni une limite d'une suite décroissante de parties de <math>\R</math>,
<math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,p] \setminus [0,p[ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} \{p\}}</math>, qui n'a pas de sens, puisque ce n'est ni une limite d'une suite croissante de parties de <math>\R</math>, ni une limite d'une suite décroissante de parties de <math>\R</math>,



et
et



<math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,2p] \setminus [0,2p[ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} \{2p\}}</math>, qui n'a pas de sens, puisque ce n'est ni une limite d'une suite croissante de parties de <math>\R</math>, ni une limite d'une suite décroissante de parties de <math>\R</math>.
<math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,2p] \setminus [0,2p[ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} \{2p\}}</math>, qui n'a pas de sens, puisque ce n'est ni une limite d'une suite croissante de parties de <math>\R</math>, ni une limite d'une suite décroissante de parties de <math>\R</math>.



et on a :
et on a :

<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,p]) - {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,p[)}</math>,
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,p]) - {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,p[)}</math>,



<math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) - \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}\Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p] \setminus [0,p[)}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) - \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}\Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p] \setminus [0,p[)}</math>



<math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}(\{p\}) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} 1 = 1 \neq 0}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}(\{p\}) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} 1 = 1 \neq 0}</math>




'''sous réserve que l'on ait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,p[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, ce qui n'est pas sûr,'''
'''sous réserve que l'on ait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,p[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, ce qui n'est pas sûr,'''



donc, en partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\Bigg) + 1 \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\Bigg)}</math>,
donc, en partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\Bigg) + 1 \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\Bigg)}</math>,



donc <math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big] \neq \Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]}</math>,
donc <math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big] \neq \Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]}</math>,



et
et



<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,2p]) - {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,2p[)}</math>,
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,2p]) - {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,2p[)}</math>,



<math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) - \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}\Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p] \setminus [0,2p[)}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) - \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}\Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p] \setminus [0,2p[)}</math>



<math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\}) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} 1 = 1 \neq 0}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\}) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} 1 = 1 \neq 0}</math>




'''sous réserve que l'on ait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,2p[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math>, ce qui n'est pas sûr,'''
'''sous réserve que l'on ait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,2p[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math>, ce qui n'est pas sûr,'''



donc, en partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\Bigg) + 1 \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\Bigg)}</math>,
donc, en partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\Bigg) + 1 \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\Bigg)}</math>,



donc <math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big] \neq \Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]}</math>.
donc <math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big] \neq \Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]}</math>.


==== Définition (Partition admissible pour effectuer des calculs avec la notion de cardinal quantitatif), ''vraisemblablement inutile'' ====
==== Définition (Partition admissible pour effectuer des calculs avec la notion de cardinal quantitatif), ''vraisemblablement inutile'' ====


'''NB : Je crois avoir mieux que cette définition, les résultats seront différents suivant le choix du plafonnement à l'infini de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O_1</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}_1</math> de <math>\R</math>.'''
'''NB : Je crois avoir mieux que cette définition, les résultats seront différents suivant le choix du plafonnement à l'infini de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O_1</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}_1</math> de <math>\R</math>.'''



''Remarque :'' Ici, on peut remplacer <math>+\infty</math> par <math>+\infty_{\R}</math>.
''Remarque :'' Ici, on peut remplacer <math>+\infty</math> par <math>+\infty_{\R}</math>.



Soient <math>A\in {\cal P}({\R}_+)</math>, non bornée, et <math>I \in {\cal P}(A)</math>, non bornée <math>\Big(</math> ou '''[mais on ne sait pas encore le définir]''' <math>I\in {\cal P}({\R})</math>, non bornée à droite, telle que <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> <math>\Big)</math>.
Soient <math>A\in {\cal P}({\R}_+)</math>, non bornée, et <math>I \in {\cal P}(A)</math>, non bornée <math>\Big(</math> ou '''[mais on ne sait pas encore le définir]''' <math>I\in {\cal P}({\R})</math>, non bornée à droite, telle que <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> <math>\Big)</math>.
Ligne 1 469 : Ligne 1 410 :


<math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math>
<math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math>



'''Remarque :''' On peut avoir à considérer le cas : <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R_+})</math>, non bornée et <math>J \in {\cal P}(A)</math>, non bornée et admettant un minimum, et <math>\forall j \in J,\,\, A_j \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> et <math>A_j</math> bornée et <math>\forall i,j \in J, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j </math> et <math>\forall j \in J,\,\, I_j \in {\cal P}(A_j)</math>, '''(donc nécessairement bornée, mais infinie pour certains <math>j \in J</math>, même lorsqu'elle est dénombrable)''' et <math>{(A_{i,j})}_{i \in I_j}</math> partition d'intervalles et/ou de singletons, de <math>A_j</math> et <math>{(A_j)}_{j \in J}</math> partition de <math>A</math> :
'''Remarque :''' On peut avoir à considérer le cas : <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R_+})</math>, non bornée et <math>J \in {\cal P}(A)</math>, non bornée et admettant un minimum, et <math>\forall j \in J,\,\, A_j \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> et <math>A_j</math> bornée et <math>\forall i,j \in J, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j </math> et <math>\forall j \in J,\,\, I_j \in {\cal P}(A_j)</math>, '''(donc nécessairement bornée, mais infinie pour certains <math>j \in J</math>, même lorsqu'elle est dénombrable)''' et <math>{(A_{i,j})}_{i \in I_j}</math> partition d'intervalles et/ou de singletons, de <math>A_j</math> et <math>{(A_j)}_{j \in J}</math> partition de <math>A</math> :
Ligne 1 475 : Ligne 1 415 :


===Cas des intervalles <math>I</math> de <math>\mathbb{R}</math> ou de <math>\mathbb{R} ''</math>===
===Cas des intervalles <math>I</math> de <math>\mathbb{R}</math> ou de <math>\mathbb{R} ''</math>===


'''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math> ou de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'''
'''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math> ou de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'''



'''Préliminaires :'''
'''Préliminaires :'''



====Notations====
====Notations====
Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>N \in \N^*</math>.



Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>.
Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>.



<math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans |par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>)
<math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans |par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>)



<math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans |par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>)
<math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans |par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>)



<math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^i = {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension <math>i</math>, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal P}(\R^n) \,\, ou \,\,{\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>
<math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^i = {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension <math>i</math>, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal P}(\R^n) \,\, ou \,\,{\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>



<math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^0 = {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de Lebesgue ou de Hausdorff, de dimension <math>0</math>, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c-à-d la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_E(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>
<math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^0 = {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de Lebesgue ou de Hausdorff, de dimension <math>0</math>, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c-à-d la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_E(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>



<math>\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension <math>i</math>, sur <math>\displaystyle{\bigcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \mathbb{R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math>
<math>\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension <math>i</math>, sur <math>\displaystyle{\bigcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \mathbb{R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math>
Ligne 1 507 : Ligne 1 437 :


====Remarque====
====Remarque====

'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''


Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton (ou deux intervalles de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton) pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que :
Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton (ou deux intervalles de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton) pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que :


1)


<math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\})}</math>
1)


<math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\})}</math>
<math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Longleftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math>


<math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Longleftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math>
En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math>


2)
En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math>


<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big(\stackrel{\circ}{I} \bigcup (\overline{I} \setminus \stackrel{\circ}{I})\Big) \setminus \{i_0\}\bigg)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big(\stackrel{\circ}{J} \bigcup (\overline{J} \setminus \stackrel{\circ}{J})\Big) \setminus \{j_0\}\bigg)}}</math>


c-à-d
2)


<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big(\stackrel{\circ}{I} \bigcup (\overline{I} \setminus \stackrel{\circ}{I})\Big) \setminus \{i_0\}\bigg)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big(\stackrel{\circ}{J} \bigcup (\overline{J} \setminus \stackrel{\circ}{J})\Big) \setminus \{j_0\}\bigg)}}</math>
<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\stackrel{\circ}{I} \bigcup (\overline{I} \setminus \stackrel{\circ}{I})\Big) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\stackrel{\circ}{J} \bigcup (\overline{J} \setminus \stackrel{\circ}{J})\Big) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math>


c-à-d
c-à-d


<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\stackrel{\circ}{I} \bigcup (\overline{I} \setminus \stackrel{\circ}{I})\Big) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\stackrel{\circ}{J} \bigcup (\overline{J} \setminus \stackrel{\circ}{J})\Big) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math>
<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \stackrel{\circ}{I})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \stackrel{\circ}{J})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math>


c-à-d
c-à-d


<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \stackrel{\circ}{I})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \stackrel{\circ}{J})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math>
<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math>


c-à-d
c-à-d


<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math>
<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math>


c-à-d
c-à-d


<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math>
<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>

c-à-d

<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>


====Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE)====
====Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE)====
Ligne 1 554 : Ligne 1 481 :


<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>
<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>



'''Démonstration :'''
'''Démonstration :'''
Ligne 1 573 : Ligne 1 499 :


Si <math>s = k \in \N</math> :
Si <math>s = k \in \N</math> :



<math>\displaystyle{[0,kp[=\bigcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[ \,\, \mbox{et} \,\, \bigcap_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[=\emptyset}</math>
<math>\displaystyle{[0,kp[=\bigcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[ \,\, \mbox{et} \,\, \bigcap_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[=\emptyset}</math>
Ligne 1 604 : Ligne 1 529 :


donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>
donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>



'''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \mathbb{Q}</math> et <math>s \in \mathbb{R}</math>'''
'''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \mathbb{Q}</math> et <math>s \in \mathbb{R}</math>'''
Ligne 1 627 : Ligne 1 551 :


====Axiome de normalisation :====
====Axiome de normalisation :====

'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''



Soit <math>n \in \N^*</math>.
Soit <math>n \in \N^*</math>.



'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''



'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>.
'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>.



En posant :
En posant :
Ligne 1 647 : Ligne 1 566 :


<math>\displaystyle{N^* = N \setminus \{0\}}</math>
<math>\displaystyle{N^* = N \setminus \{0\}}</math>




<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_+) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_+) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>


====Axiome :====
====Axiome :====

'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''



Soit <math>n \in \N^*</math>.
Soit <math>n \in \N^*</math>.



'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''



'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>.
'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>.



En posant :
En posant :
Ligne 1 689 : Ligne 1 601 :


<math>\displaystyle{Z^* = Z \setminus \{0\}}</math>
<math>\displaystyle{Z^* = Z \setminus \{0\}}</math>




<math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_-^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*)</math>
<math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_-^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*)</math>



Donc, comme <math>\displaystyle{R = R_-^* \bigcup \{0\} \bigcup R_+^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a :
Donc, comme <math>\displaystyle{R = R_-^* \bigcup \{0\} \bigcup R_+^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a :



<math>{card}_{Q,{\cal R}}(R)</math>
<math>{card}_{Q,{\cal R}}(R)</math>
Ligne 1 713 : Ligne 1 621 :


<math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_+) - 1</math>
<math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_+) - 1</math>



On remarque que :
On remarque que :
Ligne 1 726 : Ligne 1 633 :


et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N^* \bigcup N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N^*)}</math>
et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N^* \bigcup N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N^*)}</math>



donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_+) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math>
donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_+) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math>



donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N) - 1}</math>
donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N) - 1}</math>



et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_-^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_+) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_+) - 1</math>
et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_-^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_+) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_+) - 1</math>


<math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math>
<math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math>



donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z) - 1}</math>
donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z) - 1}</math>


====Tout le reste, sauf un axiome, se déduit des axiomes et propositions précédents :====
====Tout le reste, sauf un axiome, se déduit des axiomes et propositions précédents :====

'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''




''Remarque :'' Cet axiome et les résultats qui suivent sont, également, valables, lorsqu'on remplace <math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}</math> par <math>+\infty_{\R}</math> (resp. <math>+\infty_{\R''}</math>), <math>{\N'}</math> par <math>\widetilde{\N}</math> (resp. <math>\widetilde{\N''}</math>), et <math>{\R'}</math> par <math>\widetilde{\R}</math> (resp. <math>\widetilde{\R''}</math>).
''Remarque :'' Cet axiome et les résultats qui suivent sont, également, valables, lorsqu'on remplace <math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}</math> par <math>+\infty_{\R}</math> (resp. <math>+\infty_{\R''}</math>), <math>{\N'}</math> par <math>\widetilde{\N}</math> (resp. <math>\widetilde{\N''}</math>), et <math>{\R'}</math> par <math>\widetilde{\R}</math> (resp. <math>\widetilde{\R''}</math>).



'''On pose : <math>{\R'}_+ = \Big[{\R'}_+,{([0,r])}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>\N' = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'''
'''On pose : <math>{\R'}_+ = \Big[{\R'}_+,{([0,r])}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>\N' = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'''


'''On pose : <math>]a,+\infty_{{id}_{\R}}[ = {\R'}_+ \setminus [0,a]</math>.'''
'''On pose : <math>]a,+\infty_{{id}_{\R}}[ = {\R'}_+ \setminus [0,a]</math>.'''



Soit <math>a,b \in \mathbb{R}'' \,\, : \,\, a \leq b</math>
Soit <math>a,b \in \mathbb{R}'' \,\, : \,\, a \leq b</math>


alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,b]}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]b,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[})}</math>
alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,b]}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]b,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[})}</math>



<math>{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}')</math>
<math>{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}')</math>
Ligne 1 768 : Ligne 1 667 :


=====Axiome :=====
=====Axiome :=====

'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''



''Remarque :'' Cet axiome et les résultats qui suivent sont, également, valables, lorsqu'on remplace <math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}</math> par <math>+\infty_{\R}</math> (resp. <math>+\infty_{\R''}</math>), <math>{\N'}</math> par <math>\widetilde{\N}</math> (resp. <math>\widetilde{\N''}</math>), et <math>{\R'}</math> par <math>\widetilde{\R}</math> (resp. <math>\widetilde{\R''}</math>).
''Remarque :'' Cet axiome et les résultats qui suivent sont, également, valables, lorsqu'on remplace <math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}</math> par <math>+\infty_{\R}</math> (resp. <math>+\infty_{\R''}</math>), <math>{\N'}</math> par <math>\widetilde{\N}</math> (resp. <math>\widetilde{\N''}</math>), et <math>{\R'}</math> par <math>\widetilde{\R}</math> (resp. <math>\widetilde{\R''}</math>).



'''On pose : <math>{\R'}_+ = \Big[{\R'}_+,{([0,r])}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>\N' = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'''
'''On pose : <math>{\R'}_+ = \Big[{\R'}_+,{([0,r])}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>\N' = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'''


'''On pose : <math>]a,+\infty_{{id}_{\R}}[ = {\R'}_+ \setminus [0,a]</math>.'''
'''On pose : <math>]a,+\infty_{{id}_{\R}}[ = {\R'}_+ \setminus [0,a]</math>.'''



<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, - a]})}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, - a]})}</math>



On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, - a[})}</math>
On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, - a[})}</math>



Soit <math>a \geq 0</math>
Soit <math>a \geq 0</math>
Ligne 1 793 : Ligne 1 686 :


<math>= {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})</math>
<math>= {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})</math>



donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]0,1[}) + 1\Big)</math>
donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]0,1[}) + 1\Big)</math>



donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]0,1[}) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^*) - a}</math>
donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]0,1[}) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^*) - a}</math>



Soit <math>a \leq 0</math>
Soit <math>a \leq 0</math>
Ligne 1 808 : Ligne 1 698 :


<math>= {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})</math>
<math>= {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})</math>



donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]0,1[}) + 1\Big)</math>
donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]0,1[}) + 1\Big)</math>



donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]0,1[}) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^*) - a}</math>
donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]0,1[}) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^*) - a}</math>



Soit <math>a \in \mathbb{R}''</math>
Soit <math>a \in \mathbb{R}''</math>
Ligne 1 821 : Ligne 1 708 :


===Définition (dimension d'une partie ou d'une sous-variété de <math>\mathbb{R}^N</math>)===
===Définition (dimension d'une partie ou d'une sous-variété de <math>\mathbb{R}^N</math>)===

Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>N \in \N^*</math>.


Ligne 1 827 : Ligne 1 713 :


Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>.
Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>.



Alors <math>{dim}(A_N) = M \,\, \iff_{d\acute{e}f} \,\, {vol}^M(A_N) \,\, existe \,\, et \,\, {vol}^M(A_N) \neq 0</math>
Alors <math>{dim}(A_N) = M \,\, \iff_{d\acute{e}f} \,\, {vol}^M(A_N) \,\, existe \,\, et \,\, {vol}^M(A_N) \neq 0</math>
Ligne 1 834 : Ligne 1 719 :


===Théorème (formule de Steiner-Minkowski, pour les polytopes de <math>\R^N</math>, de dimension <math>N</math>)===
===Théorème (formule de Steiner-Minkowski, pour les polytopes de <math>\R^N</math>, de dimension <math>N</math>)===

Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>N \in \N^*</math>.



Soit <math>{{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>
Soit <math>{{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>
Ligne 1 843 : Ligne 1 726 :


<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({P_N}') = N\Big)\Big\}</math>.
<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({P_N}') = N\Big)\Big\}</math>.



Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>.
Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>.



On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>.
On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>.





Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math>
Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math>



où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>.
où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>.



On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>.
On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>.



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'''Remarque : '''
'''Remarque : '''



La formule de Steiner-Minkowski ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
La formule de Steiner-Minkowski ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
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Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>N \in \N^*</math>.



Soit <math>{{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>
Soit <math>{{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>
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<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({P_N}') = N\Big)\Big\}</math>.
<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({P_N}') = N\Big)\Big\}</math>.



Alors
Alors
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et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>
et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>



où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>
où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>
Ligne 1 900 : Ligne 1 770 :


et où <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de Steiner-Minkowski.
et où <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de Steiner-Minkowski.



Et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>.
Et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>.
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'''Remarque :''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c-à-d inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel Coste, qui est, ici, notre référent et notre guide.
'''Remarque :''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c-à-d inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel Coste, qui est, ici, notre référent et notre guide.


===Proposition===
===Proposition===

Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>N \in \N^*</math>.



Soit <math>{{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>
Soit <math>{{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>
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<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({P_N}') = N\Big)\Big\}</math>.
<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({P_N}') = N\Big)\Big\}</math>.



Soit <math>{\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)</math>
Soit <math>{\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)</math>
Ligne 1 930 : Ligne 1 795 :


<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({A_N}') = N\Big)\Big\}</math>.
<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({A_N}') = N\Big)\Big\}</math>.



<math>\displaystyle{\forall A_N \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)}</math>, c-à-d vérifiant les conditions MC, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N) \,\, telle \,\, que \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>
<math>\displaystyle{\forall A_N \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)}</math>, c-à-d vérifiant les conditions MC, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N) \,\, telle \,\, que \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>


<math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, (Condition \,\, peut\mbox{-}etre \,\, non \,\, n\acute{e}cessaire \,\, : \,\, \forall n,m \in \N, \,\, n \leq m, \,\, P_{N,n} \subset P_{N,m})}</math>
<math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, (Condition \,\, peut\mbox{-}etre \,\, non \,\, n\acute{e}cessaire \,\, : \,\, \forall n,m \in \N, \,\, n \leq m, \,\, P_{N,n} \subset P_{N,m})}</math>



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Ligne 1 943 : Ligne 1 806 :


Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>N \in \N^*</math>.



Soit <math>{{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>
Soit <math>{{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>
Ligne 1 950 : Ligne 1 812 :


<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({P_N}') = N\Big)\Big\}</math>.
<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({P_N}') = N\Big)\Big\}</math>.



Soit <math>{\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)</math>
Soit <math>{\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)</math>
Ligne 1 957 : Ligne 1 818 :


<math>et \,\,\Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({A_N}') = N\Big)\Big\}</math>.
<math>et \,\,\Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({A_N}') = N\Big)\Big\}</math>.



Soit <math>\displaystyle{A_N \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)}</math>, c-à-d vérifiant les conditions MC, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>
Soit <math>\displaystyle{A_N \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)}</math>, c-à-d vérifiant les conditions MC, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>



En utilisant, Berger, on montre que <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in C^0\Big({{\cal P}olytope}(\R^N),F\Big)}</math> et
En utilisant, Berger, on montre que <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in C^0\Big({{\cal P}olytope}(\R^N),F\Big)}</math> et
que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)}</math> existe et ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente,
que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)}</math> existe et ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente,



en posant <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}</math> pour toute suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente.
en posant <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}</math> pour toute suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente.



et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>
et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>



où <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytope}(\R^N), \,\, \forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_N)}{\beta(N-i)}}</math>
où <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytope}(\R^N), \,\, \forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_N)}{\beta(N-i)}}</math>
Ligne 1 983 : Ligne 1 839 :


et où <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytope}(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>.
et où <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytope}(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>.



On a :
On a :
Ligne 2 001 : Ligne 1 856 :
<math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}</math>.
<math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}</math>.

Et on a :
Et on a :



<math>{\forall i \in \N_N, \,\, \exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytope}(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, encore notée <math>{\cal L}_{i,N}</math>,
<math>{\forall i \in \N_N, \,\, \exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytope}(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, encore notée <math>{\cal L}_{i,N}</math>,



c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment,
c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment,



et
et



<math>{\forall i \in \N_N, \,\, \exists ! \widetilde{c_{i,N}} : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytope}(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, encore notée <math>c_{i,N}</math>,
<math>{\forall i \in \N_N, \,\, \exists ! \widetilde{c_{i,N}} : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytope}(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, encore notée <math>c_{i,N}</math>,



c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment.
c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment.



et
et



<math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>
<math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>



et telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>
et telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>



notée, encore, <math>{card}_{Q,N}</math>
notée, encore, <math>{card}_{Q,N}</math>



et telle que
et telle que



<math>\displaystyle{\forall A_N \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)},</math>
<math>\displaystyle{\forall A_N \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)},</math>



<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)= {card}_{Q,N}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} \widetilde{{card}_{Q,N}}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>
<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)= {card}_{Q,N}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} \widetilde{{card}_{Q,N}}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>



<math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>,
<math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>,




c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment,
c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment,




et on a : <math>{\cal L}_{0,N}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>
et on a : <math>{\cal L}_{0,N}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>



et <math>c_{0,N}(A_N) = 1</math>
et <math>c_{0,N}(A_N) = 1</math>



'''Remarque''' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : \bigcup_{i \in \N_N^*} {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{\bigcup_{i \in \N_N^*}{{\cal P}olytope}(\R^i)}} = {card_Q}}</math>
'''Remarque''' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : \bigcup_{i \in \N_N^*} {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{\bigcup_{i \in \N_N^*}{{\cal P}olytope}(\R^i)}} = {card_Q}}</math>



et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>
et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>
et telle que <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, A^{N}_i \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i),\,\, A^N = \bigcup_{i \in \N_N^*} A^N_i, \,\, \widetilde{{card}_Q}(A^N)

et telle que <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, A^{N}_i \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i),\,\, A^N = \bigcup_{i \in \N_N^*} A^N_i, \,\, \widetilde{{card}_Q}(A^N) = \widetilde{{card}_Q}(\bigcup_{i \in \N_N^*} A^{N}_i) = \sum_{i \in \N_N^*} \widetilde{{card}_Q}(A^{N}_i)</math>
= \widetilde{{card}_Q}(\bigcup_{i \in \N_N^*} A^{N}_i) = \sum_{i \in \N_N^*} \widetilde{{card}_Q}(A^{N}_i)</math>



et notée, encore, <math>{card}_{Q}</math>,
et notée, encore, <math>{card}_{Q}</math>,



c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : \bigcup_{i \in \N_N^*} {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i) \longrightarrow F \,\, : \,\, A^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{card}_Q}(A^N)}</math>,
c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : \bigcup_{i \in \N_N^*} {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i) \longrightarrow F \,\, : \,\, A^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{card}_Q}(A^N)}</math>,


où <math>\displaystyle{A^N = \bigcup_{i \in \N_N^*} A^{N}_i}</math> et où <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, A^{N}_i \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i)</math> et où <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}(A^N) = \widetilde{{card}_Q}(\bigcup_{i \in \N_N^*} A^{N}_i) = \sum_{i \in \N_N^*} \widetilde{{card}_Q}(A^{N}_i)}</math> et où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \widetilde{{card}_Q}(A^{N}_i)}</math> a été défini, précédemment.
où <math>\displaystyle{A^N = \bigcup_{i \in \N_N^*} A^{N}_i}</math> et où <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, A^{N}_i \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i)</math> et où <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}(A^N) = \widetilde{{card}_Q}(\bigcup_{i \in \N_N^*} A^{N}_i) = \sum_{i \in \N_N^*} \widetilde{{card}_Q}(A^{N}_i)}</math> et où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \widetilde{{card}_Q}(A^{N}_i)}</math> a été défini, précédemment.



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'''Remarque :'''
'''Remarque :'''
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===Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif===
===Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif===



====Exemples 1====
====Exemples 1====

'''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'''
'''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'''



'''[Citation de "Matheux philosophe"]'''
'''[Citation de "Matheux philosophe"]'''



'''[Citation de "bolza"]'''
'''[Citation de "bolza"]'''


"L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ?
"L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ?



Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui".
Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui".
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Soit <math>n \in \N^*</math>.
Soit <math>n \in \N^*</math>.



'''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c-à-d de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe <math>C^1</math> par morceaux, a été traité, entièrement, par Michel Coste, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'''
'''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c-à-d de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe <math>C^1</math> par morceaux, a été traité, entièrement, par Michel Coste, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'''
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'''NB : Cf. aussi page 2 de cette discussion, message du 10 août 2015 17:36, en étant logué, ainsi que les quelques messages qui lui succèdent, sur certaines précautions à prendre, étant donné que <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel sur <math>\mathbb{R}^n</math>, en cherchant à définir la notion de partition acceptable ou admissible ou éligible pour pouvoir mener à bien, les calculs avec le cardinal quantitatif, sans obtenir de contradiction.'''
'''NB : Cf. aussi page 2 de cette discussion, message du 10 août 2015 17:36, en étant logué, ainsi que les quelques messages qui lui succèdent, sur certaines précautions à prendre, étant donné que <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel sur <math>\mathbb{R}^n</math>, en cherchant à définir la notion de partition acceptable ou admissible ou éligible pour pouvoir mener à bien, les calculs avec le cardinal quantitatif, sans obtenir de contradiction.'''



Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>.
Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>.
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<math>\displaystyle{{card}_E([0,10[) = {card}_E(\bigcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_E( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_E([0,1[) = {card}_E([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_E([0,1[) = {card}_E([0,1[)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_E([0,10[) = {card}_E(\bigcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_E( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_E([0,1[) = {card}_E([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_E([0,1[) = {card}_E([0,1[)}</math>



'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I}\subset {\cal P}(E)</math>, est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I}\subset {\cal P}(E)</math>, est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''



'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>.
'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>.



'''On considère le plafonnement carré, à l'infini de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'''
'''On considère le plafonnement carré, à l'infini de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'''


'''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'''
'''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'''



'''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'''
'''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'''


'''"2 calculs du cardinal quantitatif de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'''
'''"2 calculs du cardinal quantitatif de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'''



On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>
On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>



On peut retrouver cette formule de la façon suivante :
On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe,
Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe,



c-à-d, en posant <math>\displaystyle{R = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>,
c-à-d, en posant <math>\displaystyle{R = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>,



comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R^2 = \bigcup_{x \in R} \{(x,y) \in R^2 |y \in R\}}</math> et que la réunion est disjointe,
comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R^2 = \bigcup_{x \in R} \{(x,y) \in R^2 |y \in R\}}</math> et que la réunion est disjointe,



on a :
on a :



<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R^2)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R^2)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigcup_{x \in R} \{(x,y) \in R^2|y \in R\}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigcup_{x \in R} \{(x,y) \in R^2|y \in R\}\Big)}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{R} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R^2|y \in R\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{R} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R^2|y \in R\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{R} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{R} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R) \,\,\int_{R} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R) \,\,\int_{R} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R)}</math>



<math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R)\Big)}^2}</math>
<math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R)\Big)}^2}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>



<math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>
<math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>




alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_E({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_E(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_E(\mathbb{R})}</math>
alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_E({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_E(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_E(\mathbb{R})}</math>



(Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.)
(Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.)



'''ou plus simple :'''
'''ou plus simple :'''


On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math>
On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math>



On peut retrouver cette formule de la façon suivante :
On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe
Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe
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c-à-d en posant : <math>\displaystyle{N = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math>
c-à-d en posant : <math>\displaystyle{N = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math>



comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N^2 = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{(n,m) \in N^2 |m \in N\}}</math> et que la réunion est disjointe,
comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N^2 = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{(n,m) \in N^2 |m \in N\}}</math> et que la réunion est disjointe,



on a :
on a :



<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N^2)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N^2)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigcup_{n \in N} \{(n,m) \in N^2 |m \in N\}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigcup_{n \in N} \{(n,m) \in N^2 |m \in N\}\Big)}</math>



<math>\displaystyle{= \sum_{n \in N} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N^2 |m \in N\} \Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \sum_{n \in N} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N^2 |m \in N\} \Big)}</math>



<math>\displaystyle{= \sum_{n \in N} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N)}</math>
<math>\displaystyle{= \sum_{n \in N} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N)}</math>



<math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N) \,\,\sum_{n \in N} 1}</math>
<math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N) \,\,\sum_{n \in N} 1}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N)}</math>



<math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N)\Big)}^2 }</math>
<math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N)\Big)}^2 }</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) }</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) }</math>



<math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math>
<math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math>




alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_E({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_E(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_E(\mathbb{N})}</math>
alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_E({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_E(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_E(\mathbb{N})}</math>



et plus généralement :
et plus généralement :



Soit <math>E' \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>.
Soit <math>E' \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>.



Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigcup_{x \in E'} A_x}</math>
Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigcup_{x \in E'} A_x}</math>
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<math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_E(A) = {card}_E\Big(\bigcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_E(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math>
<math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_E(A) = {card}_E\Big(\bigcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_E(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math>



Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigcup_{x \in E''} A_x}</math>
Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigcup_{x \in E''} A_x}</math>



'''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois le cardinal quantitatif et le cardinal équipotentiel] :'''
'''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois le cardinal quantitatif et le cardinal équipotentiel] :'''


'''Une égalité n'impliquant que des cardinaux quantitatifs ou que des cardinaux équipotentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal équipotentiel et le cardinal quantitatif.'''
'''Une égalité n'impliquant que des cardinaux quantitatifs ou que des cardinaux équipotentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal équipotentiel et le cardinal quantitatif.'''



Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_E(\R^2) = {card}_E(\R)}</math>
Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_E(\R^2) = {card}_E(\R)}</math>



et d'autre part, on a :
et d'autre part, on a :



<math>{card}_E({\mathbb{R}}^2) = {card}_E( \bigcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_E(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_E(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>.
<math>{card}_E({\mathbb{R}}^2) = {card}_E( \bigcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_E(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_E(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>.



<math>\displaystyle{= {card}_E(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_E(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_E(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_E(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math>



On obtient la formule :
On obtient la formule :



<math>\displaystyle{{card}_E(\mathbb{R}) = {card}_E(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math>
<math>\displaystyle{{card}_E(\mathbb{R}) = {card}_E(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math>



'''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]'''
'''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]'''
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====Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de <math>\mathbb{R}^n</math>(26)" )====
====Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de <math>\mathbb{R}^n</math>(26)" )====
Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>N \in \N^*</math>.



Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>.
Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>.



On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, le cardinal quantitatif relatif au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>.
On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, le cardinal quantitatif relatif au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>.



'''Remarque :''' La notion de cardinal quantitatif est une notion plus fine que celle de cardinal équipotentiel (ou de Cantor) : Elle l'affine.
'''Remarque :''' La notion de cardinal quantitatif est une notion plus fine que celle de cardinal équipotentiel (ou de Cantor) : Elle l'affine.


Mais, on ne sait, pour le moment, la définir que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal équipotentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>.
Mais, on ne sait, pour le moment, la définir que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal équipotentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>.



=====Remarque préliminaire 1=====
=====Remarque préliminaire 1=====
Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>
Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>


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et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> :
et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> :



1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable :
1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable :


<math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math>
<math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math>



2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math>
2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math>



3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math>
3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math>



4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>.
4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>.



a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math>
a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math>



b) Soit <math>B \subset A</math> :
b) Soit <math>B \subset A</math> :
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=====Proposition 2=====
=====Proposition 2=====

Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>N \in \N^*</math>.



Soit <math>A_N \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\R^N)</math>.
Soit <math>A_N \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\R^N)</math>.



On pose <math>\forall i \in \N_N, \,\, \beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math>
On pose <math>\forall i \in \N_N, \,\, \beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math>



où <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>.
où <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>.



Soit <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> suite de coefficients définie dans le corollaire {{supra|Corollaire}}.
Soit <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> suite de coefficients définie dans le corollaire {{supra|Corollaire}}.



On pose <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, W_{i,N}(A_N) = \frac{{\cal L}_{i,N}(A_N)}{C_{N}^{i}}}</math>.
On pose <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, W_{i,N}(A_N) = \frac{{\cal L}_{i,N}(A_N)}{C_{N}^{i}}}</math>.


On pose <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(A_N) = \frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math>.
On pose <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(A_N) = \frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math>.



Alors on a :
Alors on a :



<math>\displaystyle{{card}_{Q,N}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(A_N) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,N}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(A_N) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>



et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(A_N) = \frac{C_{N}^{i} \,\, W_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math>
et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(A_N) = \frac{C_{N}^{i} \,\, W_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math>



et on a <math>{\cal L}_{0,N}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(A_N)= {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>
et on a <math>{\cal L}_{0,N}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(A_N)= {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>


et <math>c_{0,N}(A_N) = 1</math>
et <math>c_{0,N}(A_N) = 1</math>



La saga du "cardinal" version 4 {{supra|Liens}}
La saga du "cardinal" version 4 {{supra|Liens}}


=====Proposition 3=====
=====Proposition 3=====

Soit <math>I</math> un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>
Soit <math>I</math> un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>


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<math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}\Big(f(I)\Big)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}\Big(f(I)\Big)}</math>



De plus, si <math>f</math> est (peut-être bornée) (peut-être aussi convexe) :
De plus, si <math>f</math> est (peut-être bornée) (peut-être aussi convexe) :


<math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}\Big(f(I)\Big) = \int_{I} d \,\, {card}_{Q,1} \Big(f(x')\Big) = \int_{I} f'(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}\Big(f(I)\Big) = \int_{I} d \,\, {card}_{Q,1} \Big(f(x')\Big) = \int_{I} f'(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>



'''Cette proposition est fausse, nous allons la corriger.'''
'''Cette proposition est fausse, nous allons la corriger.'''
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<math>et \,\, (vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, dim({A_N}') = N) \}</math>.
<math>et \,\, (vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, dim({A_N}') = N) \}</math>.



Soit <math>A \in {\cal P}_{B,C,(C),C^1}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R})</math>.
Soit <math>A \in {\cal P}_{B,C,(C),C^1}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R})</math>.

Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>
Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>



Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_Q-mesurable</math>.
Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_Q-mesurable</math>.

Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>.
Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>.




Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>.
Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>.



Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}-mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>
Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}-mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>



alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>,
alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>,



c-à-d <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>



c-à-d <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>



Soit <math>f \in C^1-diff\acute{e}ormorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}-mesurable</math>,
Soit <math>f \in C^1-diff\acute{e}ormorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}-mesurable</math>,



On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>
On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>



<math>\displaystyle{c_{i,N}(\overline{A}) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(\overline{A})}{\beta(N-i)}}</math>
<math>\displaystyle{c_{i,N}(\overline{A}) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(\overline{A})}{\beta(N-i)}}</math>



Ici <math>N = 1</math>,
Ici <math>N = 1</math>,


<math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math>
<math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math>



<math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = {vol}^1(\overline{A})}</math>
<math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = {vol}^1(\overline{A})}</math>


<math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
<math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>



<math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math>
<math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math>



<math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math>
<math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math>



or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math>
or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math>



donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math>
donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math>
or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math>
or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math>



<math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = 1}</math>
<math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = 1}</math>



car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math>
car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math>


donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>



donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>



donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math>
donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math>



mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>



donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math>
donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math>



<math>= J</math>
<math>= J</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>



<math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>



c-à-d <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>



c-à-d <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>




Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>



On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math>
On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math>
Ligne 2 570 : Ligne 2 272 :


<math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>



<math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math>
<math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math>



<math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math>



<math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math>


<math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math>



donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math>
donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math>



c-à-d <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>



'''Sous réserve : Attention, si <math>\overline{A} = [0,a_2]</math>, comme <math>\displaystyle{\lim_{a_2 \rightarrow \pm \infty} a_2} = \pm \infty</math> :'''
'''Sous réserve : Attention, si <math>\overline{A} = [0,a_2]</math>, comme <math>\displaystyle{\lim_{a_2 \rightarrow \pm \infty} a_2} = \pm \infty</math> :'''



'''Généralement on n'a pas :''' <math>\displaystyle{\lim_{a_2 \rightarrow \pm \infty}{card}_{Q,1}([0,a_2]) = {card}_{Q,1}([0, \lim_{a_2 \rightarrow \pm \infty} a_2])}</math>
'''Généralement on n'a pas :''' <math>\displaystyle{\lim_{a_2 \rightarrow \pm \infty}{card}_{Q,1}([0,a_2]) = {card}_{Q,1}([0, \lim_{a_2 \rightarrow \pm \infty} a_2])}</math>


=====Remarque importante 4=====
=====Remarque importante 4=====


Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math>
Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math>


Ligne 2 604 : Ligne 2 297 :


=====Proposition 5=====
=====Proposition 5=====


Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>.
Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>.


Ligne 2 613 : Ligne 2 304 :


=====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> (Il y a une condition d'éligibilité ou d'admissibilité, à prendre en compte, concernant les partitions de <math>\mathbb{R}</math>, éligibles ou admissibles, pour établir des calculs avec le cardinal quantitatif)=====
=====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> (Il y a une condition d'éligibilité ou d'admissibilité, à prendre en compte, concernant les partitions de <math>\mathbb{R}</math>, éligibles ou admissibles, pour établir des calculs avec le cardinal quantitatif)=====



Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math>
Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math>
Ligne 2 622 : Ligne 2 312 :


<math>{card}_{Q,2}(A_f)</math>
<math>{card}_{Q,2}(A_f)</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math>

<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,2} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,2} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>



<math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math>



<math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math>



Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math>
Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math>
Ligne 2 666 : Ligne 2 344 :


<math>{card}_Q(A_{f,g})</math>
<math>{card}_Q(A_{f,g})</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,2} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,2} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>



Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer le cardinal quantitatif de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.
Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer le cardinal quantitatif de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.


=====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en particulier aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>=====
=====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en particulier aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>=====


<math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math>
<math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,2} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,2} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math>



<math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math>



<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math>
<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math>



<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math>
<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math>



<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math>
<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math>



<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math>



<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math>



<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math>



Or d'après l'un des PDF de Michel Coste :
Or d'après l'un des PDF de Michel Coste :



<math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math>



donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math>
donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math>



c-à-d <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math>



c-à-d <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math>



c-à-d <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math>



c-à-d <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>
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et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} = {''\partial^i(A_n)''} =_{def} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> est une réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont, sauf concernant <math>A_0</math>, le "bord" est non vide et de classe "non <math>C^0</math>".
et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} = {''\partial^i(A_n)''} =_{def} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> est une réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont, sauf concernant <math>A_0</math>, le "bord" est non vide et de classe "non <math>C^0</math>".



On a :
On a :
Ligne 2 778 : Ligne 2 428 :


Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>.
Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>.



'''Remarque :''' J'hésite, ici, à utiliser la notation <math>+\infty_{\R}</math>, plutôt que la notation usuelle <math>+\infty</math> :
'''Remarque :''' J'hésite, ici, à utiliser la notation <math>+\infty_{\R}</math>, plutôt que la notation usuelle <math>+\infty</math> :
Ligne 2 787 : Ligne 2 436 :


et dans ma théorie, <math>\displaystyle{\R = \bigcap_{c_+ \in \R_+} ]-\infty_{\R} + c_+, + \infty_{\R} - c_+[ \subsetneq ]-\infty_{\R},+\infty_{\R}[ = \widetilde{\R} \subsetneq [-\infty_{\R},+\infty_{\R}] = \overline{\widetilde{\R}}}</math>.
et dans ma théorie, <math>\displaystyle{\R = \bigcap_{c_+ \in \R_+} ]-\infty_{\R} + c_+, + \infty_{\R} - c_+[ \subsetneq ]-\infty_{\R},+\infty_{\R}[ = \widetilde{\R} \subsetneq [-\infty_{\R},+\infty_{\R}] = \overline{\widetilde{\R}}}</math>.



'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''



'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_i) }</math>.
'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_i) }</math>.




'''1) Suivant un plafonnement carré, à l'infini, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'''
'''1) Suivant un plafonnement carré, à l'infini, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'''



'''Ici, on considère que :''' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} [-r,r]}</math>
'''Ici, on considère que :''' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} [-r,r]}</math>



'''et que :''' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} [-r,r]^2 = {\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} [-r,r]\Big)}^2 = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>.
'''et que :''' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} [-r,r]^2 = {\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} [-r,r]\Big)}^2 = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>.



On remarque :
On remarque :



D'une part, que
D'une part, que



<math>\forall r \in \N, \,\, [-r,r]</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R</math> et boule particulière de <math>\R</math>
<math>\forall r \in \N, \,\, [-r,r]</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R</math> et boule particulière de <math>\R</math>



et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} [-r,r] = \Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>
et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} [-r,r] = \Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>




et d'autre part, que
et d'autre part, que



<math>\forall r \in \N, \,\, {[-r,r]}^2</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule particulière de <math>\R^2</math>
<math>\forall r \in \N, \,\, {[-r,r]}^2</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule particulière de <math>\R^2</math>



et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} {[-r,r]}^2 = \Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math>
et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} {[-r,r]}^2 = \Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math>



donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} {[-r,r]}^2\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big({[-r,r]}^2\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([-r,r])\Big)}^2}</math>
donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} {[-r,r]}^2\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big({[-r,r]}^2\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([-r,r])\Big)}^2}</math>



<math>\displaystyle{= {\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([-r,r])\Big)}^2 = {\bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}[-r,r]\Big)\bigg)}^2 = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= {\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([-r,r])\Big)}^2 = {\bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}[-r,r]\Big)\bigg)}^2 = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math>



'''2) Suivant un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'''
'''2) Suivant un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'''



'''Ici, on considère que :''' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} {'' = B_{\R^2}(O_2,+\infty)''}}</math>.
'''Ici, on considère que :''' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} {'' = B_{\R^2}(O_2,+\infty)''}}</math>.


On remarque que :
On remarque que :



<math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math>
<math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math>



et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math>
et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math>



donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>
donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>



<math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math>
<math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math>




Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math>
Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math>



et que
et que


<math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math>
<math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math>



<math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>,
<math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>,



on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>
on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>





Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain.
Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain.



Partant de là :
Partant de là :



<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>



<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>



<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math>



<math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math>



<math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}[0,r]\Big) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}[0,r]\Big) + 1}</math>



<math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math>



<math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math>



<math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math>
<math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math>



<math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>
<math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>




'''En quelque sorte, comme :'''
'''En quelque sorte, comme :'''



<math>\displaystyle{B_{\R^2}(O_2,0) = [-0,0]^2 = \{(0,0)\} = \{O_2\}}</math>
<math>\displaystyle{B_{\R^2}(O_2,0) = [-0,0]^2 = \{(0,0)\} = \{O_2\}}</math>



et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(B_{\R^2}(O_2,0)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_2}([-0,0]^2) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(0,0)\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_2}(\{O_2\})}</math>
et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(B_{\R^2}(O_2,0)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_2}([-0,0]^2) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(0,0)\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_2}(\{O_2\})}</math>



et comme <math>\forall r \in \N^*, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} \subsetneq {[-r,r]}^2</math>
et comme <math>\forall r \in \N^*, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} \subsetneq {[-r,r]}^2</math>



donc <math>\displaystyle{\forall r \in \N^*, \,\,{card}_{Q,{\cal R}_2}([-r,r]^2) - {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(B_{\R^2}(O_2,r)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) > 0}</math>,
donc <math>\displaystyle{\forall r \in \N^*, \,\,{card}_{Q,{\cal R}_2}([-r,r]^2) - {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(B_{\R^2}(O_2,r)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) > 0}</math>,


et comme <math>{\bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)\bigg)}_{r \in \N^*}</math> strictement croissante,
et comme <math>{\bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)\bigg)}_{r \in \N^*}</math> strictement croissante,



et comme <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N^*}\bigg]}</math>
et comme <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N^*}\bigg]}</math>



et comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} {[-r,r]}^2 = \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow +\infty} {[-r,r]}^2 = \Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N^*}\Big]}</math>,
et comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} {[-r,r]}^2 = \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow +\infty} {[-r,r]}^2 = \Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N^*}\Big]}</math>,



on a :
on a :



<math>''\displaystyle{B_{\R^2}(O_2,+\infty) \subsetneq \R \times \R}''</math>
<math>''\displaystyle{B_{\R^2}(O_2,+\infty) \subsetneq \R \times \R}''</math>



c-à-d
c-à-d



<math>''\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N^*}\bigg] \subsetneq \Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N^*}\Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N^*}\Big]}^2}''</math>
<math>''\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N^*}\bigg] \subsetneq \Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N^*}\Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N^*}\Big]}^2}''</math>



donc <math>''\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] \subsetneq \Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}^2}''</math>
donc <math>''\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] \subsetneq \Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}^2}''</math>


(et on peut peut-être supprimer les guillemets concernant la ligne ci-dessus),
(et on peut peut-être supprimer les guillemets concernant la ligne ci-dessus),



et donc <math>\displaystyle{''{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(B_{\R^2}(O_2,+\infty)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_2}(\R \times \R)''}</math>
et donc <math>\displaystyle{''{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(B_{\R^2}(O_2,+\infty)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_2}(\R \times \R)''}</math>




c-à-d <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) < {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) < {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>




car <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) - {card}_{Q,{\cal R}}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math>
car <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) - {card}_{Q,{\cal R}}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N^*}\Big]\bigg) - {card}_{Q,{\cal R}}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N^*}\bigg]\Bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N^*}\Big]\bigg) - {card}_{Q,{\cal R}}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N^*}\bigg]\Bigg)}</math>



<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}{[-r,r]}^2) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}{[-r,r]}^2) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>



<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}({[-r,r]}^2) - \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}({[-r,r]}^2) - \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>



<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}\bigg({card}_{Q,{\cal R}}({[-r,r]}^2) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)\bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}\bigg({card}_{Q,{\cal R}}({[-r,r]}^2) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)\bigg)}</math>



<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) > 0}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) > 0}</math>



car <math>\forall r \in \N^*, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} \subsetneq {[-r,r]}^2</math> donc <math>\displaystyle{\forall r \in \N^*, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) > 0}</math>
car <math>\forall r \in \N^*, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} \subsetneq {[-r,r]}^2</math> donc <math>\displaystyle{\forall r \in \N^*, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) > 0}</math>



et <math>{\bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)\bigg)}_{r \in \N^*}</math> strictement croissante.
et <math>{\bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)\bigg)}_{r \in \N^*}</math> strictement croissante.




'''Remarque :'''
'''Remarque :'''



'''Dans ce qui suit, il y a vraisemblablement quelques mises au point à faire.'''
'''Dans ce qui suit, il y a vraisemblablement quelques mises au point à faire.'''



'''(*) Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, sont des familles de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \neq {(B_i)}_{i \in I}</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = A}</math>, on préfère les notations plus précises et dépendantes des familles <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I}</math> : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
'''(*) Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, sont des familles de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \neq {(B_i)}_{i \in I}</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = A}</math>, on préfère les notations plus précises et dépendantes des familles <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I}</math> : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''



'''De fait, on peut avoir : <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
'''De fait, on peut avoir : <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''



'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R_n}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_i) }</math>.
'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R_n}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_i) }</math>.



'''(1) Si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \subsetneq B_i}</math> et <math>\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i \setminus A_i \neq \emptyset</math>, alors on a <math>''\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \subsetneq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}''</math>'''
'''(1) Si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \subsetneq B_i}</math> et <math>\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i \setminus A_i \neq \emptyset</math>, alors on a <math>''\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \subsetneq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}''</math>'''



'''(2) Si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i \setminus A_i = \emptyset}</math>, alors on a <math>''\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}''</math>'''
'''(2) Si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i \setminus A_i = \emptyset}</math>, alors on a <math>''\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}''</math>'''



'''(et on peut peut-être supprimer les guillemets concernant les 2 lignes ci-dessus).'''
'''(et on peut peut-être supprimer les guillemets concernant les 2 lignes ci-dessus).'''



'''(3) Si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)}\Big({card}_{Q,{\cal R}_n}(B_i) - {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_i)\Big) > 0}</math>,'''
'''(3) Si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)}\Big({card}_{Q,{\cal R}_n}(B_i) - {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_i)\Big) > 0}</math>,'''



'''alors on a <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\bigg)}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,'''
'''alors on a <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\bigg)}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,'''



'''(4) Si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)}\Big({card}_{Q,{\cal R}_n}(B_i) - {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_i)\Big) = 0}</math>, alors on a <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\bigg)}</math>,'''
'''(4) Si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)}\Big({card}_{Q,{\cal R}_n}(B_i) - {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_i)\Big) = 0}</math>, alors on a <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\bigg)}</math>,'''



'''donc, en particulier, si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \subsetneq B_i}</math> et <math>\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i \setminus A_i \neq \emptyset</math>,'''
'''donc, en particulier, si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \subsetneq B_i}</math> et <math>\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i \setminus A_i \neq \emptyset</math>,'''



'''alors on a <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\bigg)}</math>'''
'''alors on a <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\bigg)}</math>'''



'''De fait, contrairement avec la notation de limite usuelle, le fait d'avoir <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) }</math> ne pose pas de problème et n'entraîne aucune contradiction.'''
'''De fait, contrairement avec la notation de limite usuelle, le fait d'avoir <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) }</math> ne pose pas de problème et n'entraîne aucune contradiction.'''
Ligne 3 033 : Ligne 2 595 :


N'oubliez pas de consulter : philo-et-societe-2-0.com {{supra|Liens}}
N'oubliez pas de consulter : philo-et-societe-2-0.com {{supra|Liens}}



'''Remarque importante préliminaire :'''
'''Remarque importante préliminaire :'''


On prolonge <math>\mathbb{R}_+</math> , par une infinité continue de nombres infinis positifs.
On prolonge <math>\mathbb{R}_+</math> , par une infinité continue de nombres infinis positifs.
Ligne 3 045 : Ligne 2 605 :


On pourra alors, mesurer et distinguer, lorsque tel est le cas, les longueurs de 2 courbes infinies, les aires de 2 surfaces infinies, les volumes de 2 espaces tridimensionnels infinis, etc, <math>\cdots</math>.
On pourra alors, mesurer et distinguer, lorsque tel est le cas, les longueurs de 2 courbes infinies, les aires de 2 surfaces infinies, les volumes de 2 espaces tridimensionnels infinis, etc, <math>\cdots</math>.



A) '''Définition :'''
A) '''Définition :'''


1) a) <math>\displaystyle{\forall a \in \mathbb{R} \bigcup \{+\infty_{\R}\}}</math>, soit <math>\displaystyle{f\,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}}</math>, continue, strictement croissante telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} f(x) = +\infty_{\R}}</math>


1) a) <math>\displaystyle{\forall a \in \mathbb{R} \bigcup \{+\infty_{\R}\}}</math>, soit <math>\displaystyle{f\,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}}</math>, continue, strictement croissante telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} f(x) = +\infty_{\R}}</math>
et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,

et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,

avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante.


Ce qui se note <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a}^{\sim} f(x) = +\infty_{\lim,f, a}}</math>

ou bien <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a}^{\sim} f(x) = +\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible.


b) Soit <math>f\,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, continue, strictement croissante telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} f(x) = +\infty_{\R}}</math>

et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,


avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante.
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante.


Ce qui se note <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a}^{\sim} f(x) = +\infty_{\lim,f, a}}</math>


Ce qui se note <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_{\lim,f, +\infty_{\R}}}</math>
ou bien <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a}^{\sim} f(x) = +\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible.


ou bien <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible.
b) Soit <math>f\,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, continue, strictement croissante telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} f(x) = +\infty_{\R}}</math>


et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante.


c) Soit <math>a \in \mathbb{R}</math> et <math>f\,\, : \,\, (a,+\infty_{\R}[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, continue, strictement croissante telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} f(x) = +\infty_{\R}}</math>
Ce qui se note <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_{\lim,f, +\infty_{\R}}}</math>


et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, (a,+\infty_{\R}[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,
ou bien <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible.


avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante.
c) Soit <math>a \in \mathbb{R}</math> et <math>f\,\, : \,\, (a,+\infty_{\R}[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, continue, strictement croissante telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} f(x) = +\infty_{\R}}</math>


et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, (a,+\infty_{\R}[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,


Ce qui se note <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_{\lim,f, +\infty_{\R}}}</math>
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante.


ou bien <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible.
Ce qui se note <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_{\lim,f, +\infty_{\R}}}</math>


ou bien <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible.


B)
B)
1)'''Axiome :'''


1)'''Axiome :'''
'''On pose <math>+\infty_f = f(+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>'''


'''On pose <math>+\infty_f = f(+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>'''
(en remplaçant, algèbriquement, dans l'expression élémentaire "<math>f(x)</math>" au voisinage de <math>+\infty_{\R}</math>, où <math>x \in \mathbb{R}</math>, "<math>x</math>" par "<math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}</math>", même si <math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} \not \in \mathbb{R}</math>),


'''si <math>f</math> a une expression élémentaire au voisinage de <math>+\infty_{\R}</math>, dans <math>\mathbb{R}</math>,'''
(en remplaçant, algèbriquement, dans l'expression élémentaire "<math>f(x)</math>" au voisinage de <math>+\infty_{\R}</math>, où <math>x \in \mathbb{R}</math>, "<math>x</math>" par "<math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}</math>", même si <math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} \not \in \mathbb{R}</math>),


'''si <math>f</math> a une expression élémentaire au voisinage de <math>+\infty_{\R}</math>, dans <math>\mathbb{R}</math>,'''
où <math>{id}_{\mathbb{R}}\,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R} \,\, : \,\, x \mapsto x</math>.


où <math>{id}_{\mathbb{R}}\,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R} \,\, : \,\, x \mapsto x</math>.


2) a) <math>\displaystyle{{\cal F}(\mathbb{R}) = \{f \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}|\,\,f \,\,\mbox{continue, strictement croissante et} \,\,\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} f(x) = +\infty_{\R}}</math>
2) a) <math>\displaystyle{{\cal F}(\mathbb{R}) = \{f \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}|\,\,f \,\,\mbox{continue, strictement croissante et} \,\,\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} f(x) = +\infty_{\R}}</math>


et <math>\displaystyle{\not \exists g,h \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}}</math> telles que <math>f = g + h</math>,
et <math>\displaystyle{\not \exists g,h \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}}</math> telles que <math>f = g + h</math>,


avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R},\,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante <math>\}</math>.
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R},\,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante <math>\}</math>.


b) <math>\forall a \in \R \bigcup \{+\infty_{\R}\}</math>,


<math>\displaystyle{{\cal F}(]-\infty_{\R},a[) = \{f \,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}|\,\,f \,\,\mbox{continue, strictement croissante et} \,\,\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} f(x) = +\infty_{\R}}</math>
b) <math>\forall a \in \R \bigcup \{+\infty_{\R}\}</math>,


<math>\displaystyle{{\cal F}(]-\infty_{\R},a[) = \{f \,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}|\,\,f \,\,\mbox{continue, strictement croissante et} \,\,\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} f(x) = +\infty_{\R}}</math>
et <math>\displaystyle{\not \exists g,h \,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}}</math> telles que <math>f = g + h</math>,


et <math>\displaystyle{\not \exists g,h \,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}}</math> telles que <math>f = g + h</math>,
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante <math>\}</math>.


c) <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{+\infty_f | f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}</math>
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante <math>\}</math>.


d) <math>\forall a \in \mathbb{R} \bigcup \{+\infty_{\R}\}</math>


c) <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{+\infty_f | f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}</math>
<math>+\infty_{{\cal F}(]-\infty_{\R},a[)} = \{+\infty_f | f \in {\cal F}(]-\infty_{\R},a[)\}</math>


3) '''Définition ou axiome (l'un ou l'autre) (relation d'équivalence et relation d'ordre totale):'''


Ma relation d'équivalence entre 2 fonctions réelles est définie par :
d) <math>\forall a \in \mathbb{R} \bigcup \{+\infty_{\R}\}</math>


Soient <math>\displaystyle{f,g \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R} \,\, \mbox{continues, strictement croissantes telles que}}</math>
<math>+\infty_{{\cal F}(]-\infty_{\R},a[)} = \{+\infty_f | f \in {\cal F}(]-\infty_{\R},a[)\}</math>


<math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} g(x) = +\infty_g}</math>


<math>\displaystyle{f=_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g \,\, \Longleftrightarrow \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}(f-g)(x) = 0}</math>
3) '''Définition ou axiome (l'un ou l'autre) (relation d'équivalence et relation d'ordre totale):'''


et dans ce cas, on identifie les nombres infinis positifs <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_g</math> resp. aux fonctions <math>f</math> et <math>g</math>,


et on leur impose de vérifier la relation <math>+\infty_f = + \infty_g</math>
Ma relation d'équivalence entre 2 fonctions réelles est définie par :


et on peut même définir une relation d'ordre, totale, pour laquelle la relation d'ordre stricte est définie par :
Soient <math>\displaystyle{f,g \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R} \,\, \mbox{continues, strictement croissantes telles que}}</math>


<math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} g(x) = +\infty_g}</math>
<math>\displaystyle{f<_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}g \,\, \Longleftrightarrow \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}(f-g)(x) < 0}</math>


<math>\displaystyle{f=_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g \,\, \Longleftrightarrow \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}(f-g)(x) = 0}</math>
et dans ce cas, on identifie les nombres infinis positifs <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_g</math> resp. aux fonctions <math>f</math> et <math>g</math>,

et on leur impose de vérifier la relation <math>+\infty_f = + \infty_g</math>


et on peut même définir une relation d'ordre, totale, pour laquelle la relation d'ordre stricte est définie par :

<math>\displaystyle{f<_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}g \,\, \Longleftrightarrow \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}(f-g)(x) < 0}</math>
et dans ce cas on identifie les nombres infinis positifs <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_g</math> resp. aux fonctions <math>f</math> et <math>g</math>,
et dans ce cas on identifie les nombres infinis positifs <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_g</math> resp. aux fonctions <math>f</math> et <math>g</math>,

et on leur impose de vérifier la relation <math>+\infty_f < + \infty_g</math>


et on leur impose de vérifier la relation <math>+\infty_f < + \infty_g</math>


C) '''Remarque importante :'''
C) '''Remarque importante :'''


J'ai besoin de fonctions <math>f</math>, à minima continues, strictement croissantes, tendant vers <math>+\infty_{\R}</math>, quand leurs variables tendent vers <math>+\infty_{\R}</math>,


définies sur des intervalles du type <math>(a, +\infty_{\R}[</math>,
J'ai besoin de fonctions <math>f</math>, à minima continues, strictement croissantes, tendant vers <math>+\infty_{\R}</math>, quand leurs variables tendent vers <math>+\infty_{\R}</math>,


définies sur des intervalles du type <math>(a, +\infty_{\R}[</math>,
où <math>a \in \mathbb{R}</math>


où <math>a \in \mathbb{R}</math>
(resp. sur <math>\mathbb{R}</math>),


pour lesquelles il n'existe pas de fonctions <math>g</math> et <math>h</math>, telles que <math>f = g + h</math>,
(resp. sur <math>\mathbb{R}</math>),


pour lesquelles il n'existe pas de fonctions <math>g</math> et <math>h</math>, telles que <math>f = g + h</math>,
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, tendant vers <math>+\infty_{\R}</math>, quand sa variable tend vers <math>+\infty_{\R}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante :


(Remarque : J'ai un peu de mal à me dépatouiller dans le paragraphe suivant)
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, tendant vers <math>+\infty_{\R}</math>, quand sa variable tend vers <math>+\infty_{\R}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante :


En effet, par exemple, si <math>g</math> et <math>h</math> sont définies sur <math>(0, +\infty_{\R}[</math>, par <math>g(x) = x^2</math> et <math>h(x) = \cos(x)</math>,
(Remarque : J'ai un peu de mal à me dépatouiller dans le paragraphe suivant)


on aurait alors dans ce cas :
En effet, par exemple, si <math>g</math> et <math>h</math> sont définies sur <math>(0, +\infty_{\R}[</math>, par <math>g(x) = x^2</math> et <math>h(x) = \cos(x)</math>,


<math>\{+ \infty_f | f \,\, d\acute{e}finie \,\, pr\acute{e}c\acute{e}demment\}</math>
on aurait alors dans ce cas :


<math>\{+ \infty_f | f \,\, d\acute{e}finie \,\, pr\acute{e}c\acute{e}demment\}</math>
<math>= \{+ \infty_{g+h} | g \,\, et \,\, h \,\, d\acute{e}finies \,\, pr\acute{e}c\acute{e}demment\}</math>


<math>= \{+ \infty_{g+h} | g \,\, et \,\, h \,\, d\acute{e}finies \,\, pr\acute{e}c\acute{e}demment\}</math>
<math>= {(g+h)}^{\sim} (+\infty_{\R})</math>


<math>= {(g+h)}^{\sim} (+\infty_{\R})</math>
<math>= g^{\sim}(+\infty_{\R}) + h^{\sim}(+\infty_{\R})</math>


<math>= g^{\sim}(+\infty_{\R}) + h^{\sim}(+\infty_{\R})</math>
(car <math>g^{\sim}(+\infty_{\R}) = \{+ \infty_g\}</math>, est un singleton)


(car <math>g^{\sim}(+\infty_{\R}) = \{+ \infty_g\}</math>, est un singleton)
<math>= + \infty_g + h^{\sim}(+\infty_{\R})</math>


<math>= + \infty_g + h^{\sim}(+\infty_{\R})</math>
<math>= + \infty_g + \cos^{\sim}(+\infty_{\R})</math>


<math>= + \infty_g + \cos^{\sim}(+\infty_{\R})</math>
<math>= + \infty_g + \cos(+\infty_{\R})</math>


<math>= + \infty_g + \cos(+\infty_{\R})</math>
(car <math>\cos(\mathbb{R}) = [-1,1]</math>, ensemble borné dans <math>\mathbb{R}</math>)


(car <math>\cos(\mathbb{R}) = [-1,1]</math>, ensemble borné dans <math>\mathbb{R}</math>)
<math>= + \infty_g + \cos(\mathbb{R})</math>


<math>= + \infty_g + \cos(\mathbb{R})</math>
<math>= + \infty_g + [-1,1]</math>,


<math>= + \infty_g + [-1,1]</math>,
qui est un ensemble infini, donc de plus de <math>1</math> élément


(et <math>+ \infty_f</math> serait, en quelque sorte, un infini positif "oscillant" qui serait fonction des valeurs de <math>x</math>, quand <math>x \rightarrow + \infty_{\mathbb{R}}</math>),
qui est un ensemble infini, donc de plus de <math>1</math> élément


qui est, ici, borné par une constante infinie positive : <math>(+ \infty_g) + 1 = + \infty_{g+1}</math>,
(et <math>+ \infty_f</math> serait, en quelque sorte, un infini positif "oscillant" qui serait fonction des valeurs de <math>x</math>, quand <math>x \rightarrow + \infty_{\mathbb{R}}</math>),


mais qui ne se réduit pas à un singleton, comme je le voudrais.
qui est, ici, borné par une constante infinie positive : <math>(+ \infty_g) + 1 = + \infty_{g+1}</math>,

mais qui ne se réduit pas à un singleton, comme je le voudrais.


D)
D)
Ligne 3 205 : Ligne 2 746 :


'''On a(axiome)(sous réserve):'''
'''On a(axiome)(sous réserve):'''


<math>\forall a \in \mathbb{R} \bigcup \{+\infty_{\R}\}</math>,
<math>\forall a \in \mathbb{R} \bigcup \{+\infty_{\R}\}</math>,


<math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(]-\infty_{\R},a[), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f}</math>
<math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(]-\infty_{\R},a[), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f}</math>


'''Remarque :'''


On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigcup \{\inf (\mathbb{R}), \sup (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigcup \{-\infty_{\R}, +\infty_{\R}\}}</math>.
'''Remarque :'''


'''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement à l'infini de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) : '''


On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigcup \{\inf (\mathbb{R}), \sup (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigcup \{-\infty_{\R}, +\infty_{\R}\}}</math>.
On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>.


'''Définitions :'''


'''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'''
'''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement à l'infini de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) : '''


On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>.
<math>\mathbb{R}' = \widetilde{]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[}</math>


<math>\mathbb{R}'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe,


où <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall c_+ \in \R_+^*,}</math>
'''Définitions :'''


<math>\displaystyle{\Big(-\infty_{\R''} < -\infty_f < - \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < 2(-\infty_{\R})< - \infty_{\R} - c_+ < - \infty_{\R} < - \infty_{\R} + c_+ < a \leq b < +\infty_{\R} - c_+ < +\infty_{\R} < +\infty_{\R} + c_+}</math>


<math>\displaystyle{< 2 (+\infty_{\R}) < \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < +\infty_g < +\infty_{\R''} \Big)}</math>
'''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'''


et <math>\displaystyle{\widetilde{]a,b[} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \widetilde{\R} \subsetneq \widetilde{]-\infty_f,+\infty_g[} \subsetneq \R''}</math>.


'''Dans cette conception :'''
<math>\mathbb{R}' = \widetilde{]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[}</math>


<math>\mathbb{R}'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe,
<math>\displaystyle{\R = \bigcap_{c_+ \in \R_+} ]-\infty_{\R} + c_+, +\infty_{\R} - c_+[ \subsetneq ]-\infty_{\R},+\infty_{\R}[ = ]-{vol}^1(\R_+),{vol}^1(\R_+)[ = \widetilde{\R}}</math>.


où <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall c_+ \in \R_+^*,}</math>
<math>\widetilde{\R} = ]-{vol}^1(\R_+),{vol}^1(\R_+)[ = ]-\sup(\widetilde{\R}), \sup(\widetilde{\R})[= ]-\sup(\R), \sup(\R)[ = ]-\infty_{\R},+\infty_{\R}[ = ]-\sup(\widetilde{\N}), \sup(\widetilde{\N})[= ]-\sup(\N), \sup(\N)[</math>


<math>\displaystyle{\Big(-\infty_{\R''} < -\infty_f < - \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < 2(-\infty_{\R})< - \infty_{\R} - c_+ < - \infty_{\R} < - \infty_{\R} + c_+ < a \leq b < +\infty_{\R} - c_+ < +\infty_{\R} < +\infty_{\R} + c_+}</math>
<math>= ]-\infty_{\N},+\infty_{\N}[ = ]-{card}_{Q,{\cal R}}(\N^*),{card}_{Q,{\cal R}}(\N^*)[</math>


<math>\displaystyle{< 2 (+\infty_{\R}) < \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < +\infty_g < +\infty_{\R''} \Big)}</math>
et par analogie <math>\widetilde{\R''} = ]-{vol}^1({\R''}_+),{vol}^1({\R''}_+)[ = ]-\sup(\widetilde{\R''}), \sup(\widetilde{\R''})[ = ]-\sup(\R''), \sup(\R'')[ = ]-\infty_{\R''},+\infty_{\R''}[ = ]-\sup(\widetilde{\N''}), \sup(\widetilde{\N''})[</math>


<math>= ]-\sup(\N''), \sup(\N'')[ = ]-\infty_{\N''},+\infty_{\N''}[ = ]-{card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*),{card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*)[</math>
et <math>\displaystyle{\widetilde{]a,b[} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \widetilde{\R} \subsetneq \widetilde{]-\infty_f,+\infty_g[} \subsetneq \R''}</math>.


où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup(\widetilde{\R}) = \sup(\R) = +\infty_{\R} = \sup(\widetilde{\N}) = \sup(\N) = +\infty_{\N} = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*)\not \in \R_+ \bigcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math>


et on a <math>\inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) \not \in \R_+ \bigcup +\infty_{{\cal F}(\R)}</math>
'''Dans cette conception :'''


<math>\displaystyle{\R = \bigcap_{c_+ \in \R_+} ]-\infty_{\R} + c_+, +\infty_{\R} - c_+[ \subsetneq ]-\infty_{\R},+\infty_{\R}[ = ]-{vol}^1(\R_+),{vol}^1(\R_+)[ = \widetilde{\R}}</math>.
et <math>\mathbb{R} \subsetneq \widetilde{\R} \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq \mathbb{R}'' \subsetneq \widetilde{\R''}</math>.


Remarque :


Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème :
<math>\widetilde{\R} = ]-{vol}^1(\R_+),{vol}^1(\R_+)[ = ]-\sup(\widetilde{\R}), \sup(\widetilde{\R})[= ]-\sup(\R), \sup(\R)[ = ]-\infty_{\R},+\infty_{\R}[ = ]-\sup(\widetilde{\N}), \sup(\widetilde{\N})[= ]-\sup(\N), \sup(\N)[</math>


En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>.
<math>= ]-\infty_{\N},+\infty_{\N}[ = ]-{card}_{Q,{\cal R}}(\N^*),{card}_{Q,{\cal R}}(\N^*)[</math>


Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.


et par analogie <math>\widetilde{\R''} = ]-{vol}^1({\R''}_+),{vol}^1({\R''}_+)[ = ]-\sup(\widetilde{\R''}), \sup(\widetilde{\R''})[ = ]-\sup(\R''), \sup(\R'')[ = ]-\infty_{\R''},+\infty_{\R''}[ = ]-\sup(\widetilde{\N''}), \sup(\widetilde{\N''})[</math>
En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math>


'''Remarque :'''
<math>= ]-\sup(\N''), \sup(\N'')[ = ]-\infty_{\N''},+\infty_{\N''}[ = ]-{card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*),{card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*)[</math>


<math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, \widetilde{]a,b[} \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq \widetilde{]c,d[}}</math>


'''Remarque :'''
où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup(\widetilde{\R}) = \sup(\R) = +\infty_{\R} = \sup(\widetilde{\N}) = \sup(\N) = +\infty_{\N} = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*)\not \in \R_+ \bigcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math>


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de Lebesgue généralisées ou de Haussdorf, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les cardinaux quantitatifs d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.


Cf. La saga du "cardinal" version 4 {{supra|Liens}}
et on a <math>\inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) \not \in \R_+ \bigcup +\infty_{{\cal F}(\R)}</math>


Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de Lebesgue, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{\R}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>


(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'''
et <math>\mathbb{R} \subsetneq \widetilde{\R} \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq \mathbb{R}'' \subsetneq \widetilde{\R''}</math>.


Remarque :


'''Remarques et notations :'''
Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème :


Si on considère <math>id_{\mathbb{R}} \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\, \rightarrow \,\, \mathbb{R} \,\, : \,\, x \,\, \mapsto \,\, x</math>, la fonction identité définie sur <math>\mathbb{R}</math>
En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>.


<math>\displaystyle{\mathbb{R}' = \widetilde{]-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[} \,\, \mbox{et} \,\, \mathbb{R}_+^{'} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}}</math>
Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.


En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math>
et <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}'} = \widetilde{[-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}]} \,\, \mbox{et} \,\, \overline{\mathbb{R}_+^{'}} = \widetilde{[0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}]}}</math>


Peut-être qu'une grande partie de ce qui est entre parenthèses dans le paragraphe suivant est inutile dans ma théorie :


[Il faudra, auparavant, faire correspondre <math>+ \infty_{id_{\mathbb{R}}}</math>, qui correspond à la longueur de l'intervalle <math>{\mathbb{R}'}_+ = \widetilde{[0,+ \infty_{id_{\mathbb{R}}}[}</math>,


qui est strictement inclus dans <math>\mathbb{R}' = \widetilde{]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}</math>,


qui est strictement inclus dans <math>\mathbb{R}''</math>,
'''Remarque :'''


<math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, \widetilde{]a,b[} \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq \widetilde{]c,d[}}</math>

'''Remarque :'''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de Lebesgue généralisées ou de Haussdorf, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les cardinaux quantitatifs d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. La saga du "cardinal" version 4 {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de Lebesgue, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{\R}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'''


'''Remarques et notations :'''


Si on considère <math>id_{\mathbb{R}} \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\, \rightarrow \,\, \mathbb{R} \,\, : \,\, x \,\, \mapsto \,\, x</math>, la fonction identité définie sur <math>\mathbb{R}</math>


<math>\displaystyle{\mathbb{R}' = \widetilde{]-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[} \,\, \mbox{et} \,\, \mathbb{R}_+^{'} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}}</math>

et <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}'} = \widetilde{[-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}]} \,\, \mbox{et} \,\, \overline{\mathbb{R}_+^{'}} = \widetilde{[0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}]}}</math>


Peut-être qu'une grande partie de ce qui est entre parenthèses dans le paragraphe suivant est inutile dans ma théorie :

[Il faudra, auparavant, faire correspondre <math>+ \infty_{id_{\mathbb{R}}}</math>, qui correspond à la longueur de l'intervalle <math>{\mathbb{R}'}_+ = \widetilde{[0,+ \infty_{id_{\mathbb{R}}}[}</math>,

qui est strictement inclus dans <math>\mathbb{R}' = \widetilde{]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}</math>,

qui est strictement inclus dans <math>\mathbb{R}''</math>,
et qui n'est pas un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>,
et qui n'est pas un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>,


mais un intervalle borné de <math>\mathbb{R}''</math>,
mais un intervalle borné de <math>\mathbb{R}''</math>,


au cardinal d'une certaine partie infinie bornée de <math>\mathbb{R}</math>,
au cardinal d'une certaine partie infinie bornée de <math>\mathbb{R}</math>,


par exemple, l'intervalle borné <math>[0,1[</math>.
par exemple, l'intervalle borné <math>[0,1[</math>.


Mais, si on fait ça, alors, le cardinal quantitatif de <math>\mathbb{R}_+</math> et tous les cardinaux quantitatifs des parties non bornées équipotentes à <math>\mathbb{R}</math>, vaudront tous :


<math>\displaystyle{+ \infty_{x = 0} =_{d\acute{e}f} \sup_{n \in \N^*} + \infty_{n \,\, id_{\mathbb{R}}}}</math> :
Mais, si on fait ça, alors, le cardinal quantitatif de <math>\mathbb{R}_+</math> et tous les cardinaux quantitatifs des parties non bornées équipotentes à <math>\mathbb{R}</math>, vaudront tous :


<math>\displaystyle{+ \infty_{x = 0} =_{d\acute{e}f} \sup_{n \in \N^*} + \infty_{n \,\, id_{\mathbb{R}}}}</math> :
On réservera donc la valeur <math>+ \infty_{id_{\mathbb{R}}}</math>,


au cardinal quantitatif d'une partie d'un 1er niveau concernant les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>


et on réservera une autre valeur au cardinal d'une partie d'un 2nd niveau concernant les parties non bornées, pour laquelle on pourra distinguer les cardinaux quantitatifs ou une partie des cardinaux quantitatifs de ses parties.
On réservera donc la valeur <math>+ \infty_{id_{\mathbb{R}}}</math>,


au cardinal quantitatif d'une partie d'un 1er niveau concernant les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>
Peut-être même qu'il y aura une infinité de niveaux à considérer concernant les parties non bornées.


Il faudra tenir compte aussi des et commencer par les parties dénombrables de <math>\mathbb{R}</math>.
et on réservera une autre valeur au cardinal d'une partie d'un 2nd niveau concernant les parties non bornées, pour laquelle on pourra distinguer les cardinaux quantitatifs ou une partie des cardinaux quantitatifs de ses parties.


Remarque : Le contenu de ce qui est, dans la parenthèse qui suit, est peut-être faux :
Peut-être même qu'il y aura une infinité de niveaux à considérer concernant les parties non bornées.

Il faudra tenir compte aussi des et commencer par les parties dénombrables de <math>\mathbb{R}</math>.


Remarque : Le contenu de ce qui est, dans la parenthèse qui suit, est peut-être faux :
(Tous les <math>+ \infty_f</math>, ne sont pas éligibles pour devenir des cardinaux quantitatifs d'ensembles, qui correspondent à des quantités d'éléments, car chaque élément est un indivisible :
(Tous les <math>+ \infty_f</math>, ne sont pas éligibles pour devenir des cardinaux quantitatifs d'ensembles, qui correspondent à des quantités d'éléments, car chaque élément est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :


Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :
Le cardinal quantitatif d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier" (ou transfini), contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)]


Le cardinal quantitatif d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier" (ou transfini), contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)]


Enfin, on pourra construire et étendre, le cardinal quantitatif et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de Lebesgue, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique à l'infini".
Enfin, on pourra construire et étendre, le cardinal quantitatif et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de Lebesgue, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique à l'infini".


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}
{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}
Ligne 3 355 : Ligne 2 871 :


'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''



Soit <math>n \in \N^*</math>
Soit <math>n \in \N^*</math>



'''Définition :'''
'''Définition :'''



a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math>
a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math>
Ligne 3 368 : Ligne 2 881 :


c-à-d <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math>



b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math>
b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math>
Ligne 3 375 : Ligne 2 887 :


c-à-d <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math>



'''Dans la suite, on se restreint aux parties bornées de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'''
'''Dans la suite, on se restreint aux parties bornées de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'''



'''Proposition :'''
'''Proposition :'''



<math>\forall {\cal C}</math> chaîne exhaustive de parties de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> pour l'inclusion, allant de <math>\emptyset</math> à <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>{\widetilde{{diam}}}_{|{\cal C}}</math> est strictement croissante pour l'inclusion.
<math>\forall {\cal C}</math> chaîne exhaustive de parties de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> pour l'inclusion, allant de <math>\emptyset</math> à <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>{\widetilde{{diam}}}_{|{\cal C}}</math> est strictement croissante pour l'inclusion.



<math>\{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, A \,\, \text{non bornée dans} \,\, {\R''}^n\}</math>.
<math>\{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, A \,\, \text{non bornée dans} \,\, {\R''}^n\}</math>.



<math>\{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {diam}(A) \in \R'' \,\, \text{et} \,\, {diam}(A) \not \in \R\} = \R''\setminus \R</math>.
<math>\{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {diam}(A) \in \R'' \,\, \text{et} \,\, {diam}(A) \not \in \R\} = \R''\setminus \R</math>.



Si <math>C \in {\cal C}</math>, partie non bornée de <math>{\R''}^n</math> et <math>\widetilde{{diam}}(C)</math> appartient à un de ces 2 premiers ensembles, on a pour la première égalité et on pose pour la seconde égalité :
Si <math>C \in {\cal C}</math>, partie non bornée de <math>{\R''}^n</math> et <math>\widetilde{{diam}}(C)</math> appartient à un de ces 2 premiers ensembles, on a pour la première égalité et on pose pour la seconde égalité :


<math>\displaystyle{\widetilde{{diam}}(C) = \lim_{A \rightarrow C,\,\, A \in {\cal C}} \widetilde{{diam}}(A) = + \infty_{{diam},C, {\cal C}}}</math>
<math>\displaystyle{\widetilde{{diam}}(C) = \lim_{A \rightarrow C,\,\, A \in {\cal C}} \widetilde{{diam}}(A) = + \infty_{{diam},C, {\cal C}}}</math>



Si <math>C \in {\cal C}</math>, partie bornée de <math>{\R''}^n</math>,
Si <math>C \in {\cal C}</math>, partie bornée de <math>{\R''}^n</math>,


alors <math>\widetilde{{diam}}(C) \in \{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, A \,\, \text{bornée dans} \,\, {\R''}^n\} = \{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, diam(A) \in \R''\} = \R''</math>
alors <math>\widetilde{{diam}}(C) \in \{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, A \,\, \text{bornée dans} \,\, {\R''}^n\} = \{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, diam(A) \in \R''\} = \R''</math>



Par ailleurs, on remarque que :
Par ailleurs, on remarque que :
Ligne 3 407 : Ligne 2 911 :


<math>\subsetneq \{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, A \,\, \text{bornée dans} \,\, {\R''}^n\} = \{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, diam(A) \in \R''\} = \R''</math>
<math>\subsetneq \{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, A \,\, \text{bornée dans} \,\, {\R''}^n\} = \{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, diam(A) \in \R''\} = \R''</math>




'''Définition :'''
'''Définition :'''



<math>\displaystyle{+ \infty_{\widehat{\widetilde{{diam}}}, {\cal C}} = \{+ \infty_{\widetilde{{diam}}, C,{\cal C}}|C \in {\cal C} \,\, \mbox{et} \,\, {\cal C} \,\, \mbox{chaine exhaustive de parties de} \,\, {\mathbb{R}''}^n\,\, \mbox{pour l'inclusion, allant de} \,\, \emptyset \,\, \mbox{a} \,\, {\mathbb{R}''}^n\}}</math>
<math>\displaystyle{+ \infty_{\widehat{\widetilde{{diam}}}, {\cal C}} = \{+ \infty_{\widetilde{{diam}}, C,{\cal C}}|C \in {\cal C} \,\, \mbox{et} \,\, {\cal C} \,\, \mbox{chaine exhaustive de parties de} \,\, {\mathbb{R}''}^n\,\, \mbox{pour l'inclusion, allant de} \,\, \emptyset \,\, \mbox{a} \,\, {\mathbb{R}''}^n\}}</math>
Ligne 3 432 : Ligne 2 933 :


==Définition des "mesures" de Hausdorff sur <math>\R''</math>==
==Définition des "mesures" de Hausdorff sur <math>\R''</math>==

'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''



Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable
Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable
Ligne 3 442 : Ligne 2 941 :
c-à-d les parties <math>\widetilde{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(\widetilde{A}) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(\widetilde{A}) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>
c-à-d les parties <math>\widetilde{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(\widetilde{A}) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(\widetilde{A}) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>


'''<math>\Big(</math>'''


'''Sous réserve :''' c-à-d comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2(+\infty_{\R})</math>,
'''<math>\Big(</math>'''


si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> :
'''Sous réserve :''' c-à-d comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2(+\infty_{\R})</math>,


<math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>,
si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> :

<math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>,
alors <math>\widetilde{A} \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(\widetilde{A}) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2(+\infty_{\R})</math>
alors <math>\widetilde{A} \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(\widetilde{A}) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2(+\infty_{\R})</math>


ou <math>\widetilde{diam}(\widetilde{A}) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>
ou <math>\widetilde{diam}(\widetilde{A}) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>

'''<math>\Big)</math>'''.


'''<math>\Big)</math>'''.


<math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>,
<math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>,
Ligne 3 463 : Ligne 2 960 :


on pourra généraliser la notion de cardinal quantitatif, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.
on pourra généraliser la notion de cardinal quantitatif, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.



'''Définition :'''
'''Définition :'''
Ligne 3 472 : Ligne 2 968 :


'''est définie de manière analogue à la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension <math>1</math>, <math>{{vol}}^1</math>, sur <math>\mathbb{R}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'''
'''est définie de manière analogue à la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension <math>1</math>, <math>{{vol}}^1</math>, sur <math>\mathbb{R}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'''



'''Remarque :'''
'''Remarque :'''



1) On peut avoir : <math>\displaystyle{\widetilde{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(\widetilde{A}) \in \R \subset \R''}</math>
1) On peut avoir : <math>\displaystyle{\widetilde{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(\widetilde{A}) \in \R \subset \R''}</math>
Ligne 3 483 : Ligne 2 977 :
par exemple la partie <math>\widetilde{[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]}</math> car <math> \widetilde{{diam}}(\widetilde{[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]}) = 1 \in \R \subset \R''</math>.
par exemple la partie <math>\widetilde{[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]}</math> car <math> \widetilde{{diam}}(\widetilde{[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]}) = 1 \in \R \subset \R''</math>.


2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>
2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>



'''Définition :'''
'''Définition :'''

La "mesure" de Lebesgue généralisée ou "de Hausdorff", de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par :
La "mesure" de Lebesgue généralisée ou "de Hausdorff", de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par :


Ligne 3 495 : Ligne 2 986 :


'''est définie de manière analogue à la mesure de comptage <math>{{vol}}^{0,n}</math> sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'''
'''est définie de manière analogue à la mesure de comptage <math>{{vol}}^{0,n}</math> sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'''



'''Si <math>\widetilde{A} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(\widetilde{A}) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'''
'''Si <math>\widetilde{A} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(\widetilde{A}) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'''


==Utilisation des "mesures" de Hausdorff sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>==
==Utilisation des "mesures" de Hausdorff sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>==

'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''



'''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'''
'''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'''



'''Proposition :'''
'''Proposition :'''
Ligne 3 514 : Ligne 3 001 :


<math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = \sum_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{A_i})}</math>
<math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = \sum_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{A_i})}</math>



'''Remarque :'''
'''Remarque :'''



Soit <math>\widetilde{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math>, alors :
Soit <math>\widetilde{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math>, alors :
Ligne 3 523 : Ligne 3 008 :
1) a) '''Dans ma théorie''', on peut avoir <math>\widetilde{A} \subsetneq \mathbb{R}'</math>, et dans ce cas on a <math>\widetilde{{vol}^1}(\widetilde{A}) \leq \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}')</math> et on peut avoir <math>\widetilde{{vol}^1}(\widetilde{A}) < \widetilde{{vol}}^1(\mathbb{R}')</math>
1) a) '''Dans ma théorie''', on peut avoir <math>\widetilde{A} \subsetneq \mathbb{R}'</math>, et dans ce cas on a <math>\widetilde{{vol}^1}(\widetilde{A}) \leq \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}')</math> et on peut avoir <math>\widetilde{{vol}^1}(\widetilde{A}) < \widetilde{{vol}}^1(\mathbb{R}')</math>


b) '''Dans ma théorie''', on peut avoir <math>\widetilde{A} \supsetneq {\mathbb{R}'}_+</math> et dans ce cas on a <math>\widetilde{{vol}^1}(\widetilde{A}) \geq \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}')</math> et on peut avoir <math>\widetilde{{vol}^1}(\widetilde{A}) > \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}')</math>
b) '''Dans ma théorie''', on peut avoir <math>\widetilde{A} \supsetneq {\mathbb{R}'}_+</math> et dans ce cas on a <math>\widetilde{{vol}^1}(\widetilde{A}) \geq \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}')</math> et on peut avoir <math>\widetilde{{vol}^1}(\widetilde{A}) > \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}')</math>


2) Soit <math>\widetilde{I} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>
2) Soit <math>\widetilde{I} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>


et <math>{(\widetilde{A_i})}_{i \in \widetilde{I}}</math> est une partition de <math>\widetilde{A} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in \widetilde{I}, \,\, \widetilde{{diam}}(\widetilde{A_i}) \in \R</math>
et <math>{(\widetilde{A_i})}_{i \in \widetilde{I}}</math> est une partition de <math>\widetilde{A} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in \widetilde{I}, \,\, \widetilde{{diam}}(\widetilde{A_i}) \in \R</math>
et telle que <math>\forall i,j \in \widetilde{I}, \,\, i < j, \,\, \widetilde{A_i} < \widetilde{A_j}</math>
et telle que <math>\forall i,j \in \widetilde{I}, \,\, i < j, \,\, \widetilde{A_i} < \widetilde{A_j}</math>


a) En particulier, en posant <math>\widetilde{I} = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in \widetilde{I}, \,\, \widetilde{A_i} = \widetilde{[i-1,i[}</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math>


a) En particulier, en posant <math>\widetilde{I} = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in \widetilde{I}, \,\, \widetilde{A_i} = \widetilde{[i-1,i[}</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math>
et <math>\forall i \in \widetilde{I}, \,\, \widetilde{{diam}}(\widetilde{A_i}) \in \R</math> :


et <math>\forall i \in \widetilde{I}, \,\, \widetilde{{diam}}(\widetilde{A_i}) \in \R</math> :
'''<math>{(\widetilde{A_i})}_{i \in \widetilde{I}}</math> est une partition de <math>\widetilde{A} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'''


'''<math>{(\widetilde{A_i})}_{i \in \widetilde{I}}</math> est une partition de <math>\widetilde{A} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'''
et <math>\forall i,j \in \widetilde{I}, \,\, i < j, \,\, \widetilde{A_i} = \widetilde{[i-1,i[} < \widetilde{[j-1,j[} = \widetilde{A_j}</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math>


et <math>\forall i,j \in \widetilde{I}, \,\, i < j, \,\, \widetilde{A_i} = \widetilde{[i-1,i[} < \widetilde{[j-1,j[} = \widetilde{A_j}</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math>
et <math>\displaystyle{\forall n \in \widetilde{I}, \,\, \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} \widetilde{A_i} = \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} \widetilde{[i-1,i[} = \widetilde{[0,n[}}</math>.


'''Remarque importante :''' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigcup_{i \in {\N'}^*} \widetilde{A_i} =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} \widetilde{A_i}}</math>.)


et <math>\displaystyle{\forall n \in \widetilde{I}, \,\, \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} \widetilde{A_i} = \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} \widetilde{[i-1,i[} = \widetilde{[0,n[}}</math>.
donc <math>\displaystyle{\widetilde{A} = \bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i} = \bigcup_{i \in {\N'}^*} \widetilde{A_i} = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} \widetilde{A_i} = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \widetilde{[0,n[}}</math>


<math>\displaystyle{= \widetilde{[0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\N}}[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[} = {\mathbb{R}'}_+}</math>


'''Remarque importante :''' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigcup_{i \in {\N'}^*} \widetilde{A_i} =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} \widetilde{A_i}}</math>.)
[Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} \widetilde{A_i}}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} A_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>I = {\N}^*</math>, <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>]


<math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigcup_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{A_i}\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigcup_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{[i-1,i[}\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[i-1,i[})= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[})}</math>


donc <math>\displaystyle{\widetilde{A} = \bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i} = \bigcup_{i \in {\N'}^*} \widetilde{A_i} = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} \widetilde{A_i} = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \widetilde{[0,n[}}</math>
<math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[})\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math>


et
<math>\displaystyle{= \widetilde{[0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\N}}[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[} = {\mathbb{R}'}_+}</math>


<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{A_i}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{[i-1,i[}\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[i-1,i[})}</math>


[Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} \widetilde{A_i}}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} A_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>I = {\N}^*</math>, <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>]
<math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})}</math>


<math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})</math>


<math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigcup_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{A_i}\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigcup_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{[i-1,i[}\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[i-1,i[})= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[})}</math>
b) Si on pose <math>\displaystyle{\widetilde{I} = \N'}</math> et <math>\forall i \in \widetilde{I}, \,\, \widetilde{A_i} = \widetilde{[i,i+1[}</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math>


<math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[})\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math>
et <math>\forall i \in \widetilde{I}, \,\, \widetilde{{diam}}(\widetilde{A_i}) \in \R</math> :


'''Dans ma théorie à construire''', <math>{(\widetilde{A_i})}_{i \in \widetilde{I}}</math> est une partition de <math>\widetilde{A} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>
et


<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{A_i}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{[i-1,i[}\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[i-1,i[})}</math>
et <math>\forall i,j \in \widetilde{I}, \,\, i < j, \,\, \widetilde{A_i} = \widetilde{[i,i+1[} < \widetilde{[j,j+1[} = \widetilde{A_j}</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math>


<math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})}</math>
et <math>\displaystyle{\forall n \in \widetilde{I}, \,\, \bigcup_{i \in {\N''}_n} \widetilde{A_i} = \bigcup_{i \in {\N''}_n} \widetilde{[i,i+1[} = \widetilde{[0,n+1[}}</math>.


donc <math>\displaystyle{\widetilde{A} = \bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i} = \bigcup_{i \in \N'} \widetilde{A_i} = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} \widetilde{A_i} = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \widetilde{[0,n+1[}}</math>
<math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})</math>


<math>\displaystyle{= \widetilde{[0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[} (= \widetilde{[0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[})}</math>


b) Si on pose <math>\displaystyle{\widetilde{I} = \N'}</math> et <math>\forall i \in \widetilde{I}, \,\, \widetilde{A_i} = \widetilde{[i,i+1[}</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math>
<math>\displaystyle{= \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\N}}[} \bigcup \widetilde{[+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[} \bigcup \widetilde{[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[} = {\mathbb{R}'}_+ \bigcup \widetilde{[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}}</math>


et <math>\forall i \in \widetilde{I}, \,\, \widetilde{{diam}}(\widetilde{A_i}) \in \R</math> :
<math>\displaystyle{= \widetilde{[0,1[} \bigcup \widetilde{[1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[} = \widetilde{[0,1[} \bigcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math>


[Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} \widetilde{A_i}}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} A_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>I = \N</math>, <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>]


donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigcup_{i \in \N'} \widetilde{A_i}\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigcup_{i \in \N'} \widetilde{[i,i+1[}\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[i,i+1[}) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[})}</math>
'''Dans ma théorie à construire''', <math>{(\widetilde{A_i})}_{i \in \widetilde{I}}</math> est une partition de <math>\widetilde{A} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>


et <math>\forall i,j \in \widetilde{I}, \,\, i < j, \,\, \widetilde{A_i} = \widetilde{[i,i+1[} < \widetilde{[j,j+1[} = \widetilde{A_j}</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math>
<math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[})\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math>


et


et <math>\displaystyle{\forall n \in \widetilde{I}, \,\, \bigcup_{i \in {\N''}_n} \widetilde{A_i} = \bigcup_{i \in {\N''}_n} \widetilde{[i,i+1[} = \widetilde{[0,n+1[}}</math>.
donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in \N'} \widetilde{A_i}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in \N'} \widetilde{[i,i+1[}\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[i,i+1[})}</math>


<math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})}</math>

donc <math>\displaystyle{\widetilde{A} = \bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i} = \bigcup_{i \in \N'} \widetilde{A_i} = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} \widetilde{A_i} = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \widetilde{[0,n+1[}}</math>

<math>\displaystyle{= \widetilde{[0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[} (= \widetilde{[0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[})}</math>

<math>\displaystyle{= \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\N}}[} \bigcup \widetilde{[+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[} \bigcup \widetilde{[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[} = {\mathbb{R}'}_+ \bigcup \widetilde{[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}}</math>

<math>\displaystyle{= \widetilde{[0,1[} \bigcup \widetilde{[1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[} = \widetilde{[0,1[} \bigcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math>


[Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} \widetilde{A_i}}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} A_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>I = \N</math>, <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>]


donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigcup_{i \in \N'} \widetilde{A_i}\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigcup_{i \in \N'} \widetilde{[i,i+1[}\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[i,i+1[}) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[})}</math>

<math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[})\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math>

et

donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in \N'} \widetilde{A_i}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in \N'} \widetilde{[i,i+1[}\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[i,i+1[})}</math>

<math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})}</math>
Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.

Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.



3) Les ensembles non bornés de <math>\mathbb{R}_+</math> ont tous le même plafonnement à l'infini qui est le point <math>+\infty_{\R}</math> et il est précédé de nombres réels, alors que les ensembles bornés ou non, de <math>{\mathbb{R}''}_+</math>, de diamètre infini ont des plafonnement à l'infini, chacun constitué d'un point à l'infini <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math> ou <math>+\infty_{\R''}</math>, qui lui est précédé d'un ensemble de points à l'infini.
3) Les ensembles non bornés de <math>\mathbb{R}_+</math> ont tous le même plafonnement à l'infini qui est le point <math>+\infty_{\R}</math> et il est précédé de nombres réels, alors que les ensembles bornés ou non, de <math>{\mathbb{R}''}_+</math>, de diamètre infini ont des plafonnement à l'infini, chacun constitué d'un point à l'infini <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math> ou <math>+\infty_{\R''}</math>, qui lui est précédé d'un ensemble de points à l'infini.



'''Remarque :'''
'''Remarque :'''


Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math>
Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math>
Ligne 3 620 : Ligne 3 089 :


<math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math>
<math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math>



'''Attention :'''
'''Attention :'''



<math>\mathbb{R}'</math> n'est pas ici l'ensemble usuel que nous connaissons :
<math>\mathbb{R}'</math> n'est pas ici l'ensemble usuel que nous connaissons :
Ligne 3 660 : Ligne 3 127 :


<math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers.
<math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers.



'''Attention : Dans ma théorie :''' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>.
'''Attention : Dans ma théorie :''' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>.


Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math>
Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math>



Mais <math>\N + 1 = \N^*</math>
Mais <math>\N + 1 = \N^*</math>
Ligne 3 672 : Ligne 3 137 :


==Compléments==
==Compléments==

'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''



Soit <math>n \in \N^*</math>.
Soit <math>n \in \N^*</math>.



Dans ce qui suit, on peut remplacer <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\N''</math>, par <math>\mathbb{R}</math> et <math>\N</math>.
Dans ce qui suit, on peut remplacer <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\N''</math>, par <math>\mathbb{R}</math> et <math>\N</math>.



L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> que j'ai déjà "défini" ou "construit" ou du moins dont j'ai déjà parlé,
L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> que j'ai déjà "défini" ou "construit" ou du moins dont j'ai déjà parlé,



est une sorte de prolongement continu de <math>\mathbb{R}</math>, par une infinité de nombres infinis, dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>+\infty_{\mathbb{R}''}</math>,
est une sorte de prolongement continu de <math>\mathbb{R}</math>, par une infinité de nombres infinis, dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>+\infty_{\mathbb{R}''}</math>,



et sert, d'abord, à construire '''les "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff,''' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans '''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'''
et sert, d'abord, à construire '''les "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff,''' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans '''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'''



(Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),
(Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


<math>\widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, {\cal B}({\mathbb{R}''}^n)\subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}''}_+} = {\mathbb{R}''}_+ \bigcup \{+\infty_{\R''}\}</math>,
<math>\widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, {\cal B}({\mathbb{R}''}^n)\subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}''}_+} = {\mathbb{R}''}_+ \bigcup \{+\infty_{\R''}\}</math>,



'''<math>\Big(</math>Compléments :'''
'''<math>\Big(</math>Compléments :'''



'''Mesures de Hausdorff [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de Lebesgue (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"
'''Mesures de Hausdorff [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de Lebesgue (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"



(Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document)
(Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document)
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '''
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '''


https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2013/poly_integration_mai2013.pdf
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2013/poly_integration_mai2013.pdf


Ligne 3 730 : Ligne 3 183 :


Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées
Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées



'''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>'''
'''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>'''
Ligne 3 751 : Ligne 3 203 :


avec <math>c_{0,n,{\cal R}}(A_n) = card_Q(N_n)</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math> et <math>{card}_E(N_n) \leq {card}_E(\N'')</math>
avec <math>c_{0,n,{\cal R}}(A_n) = card_Q(N_n)</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math> et <math>{card}_E(N_n) \leq {card}_E(\N'')</math>



ou peut-être, mais, si cela est possible, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i\in \N_n} c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}^i (I)}</math>,
ou peut-être, mais, si cela est possible, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i\in \N_n} c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}^i (I)}</math>,
Ligne 3 760 : Ligne 3 211 :


avec <math>c_{0,n,{\cal R}}(A_n) = card_Q(N_n)</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math> et <math>{card}_E(N_n) \leq {card}_E(\N'')</math>
avec <math>c_{0,n,{\cal R}}(A_n) = card_Q(N_n)</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math> et <math>{card}_E(N_n) \leq {card}_E(\N'')</math>




ou peut-être, mais, si cela est possible, pour tout <math>A_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, \mbox{non bornée}</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i\in \N_n} c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}^i (I)}</math>,
ou peut-être, mais, si cela est possible, pour tout <math>A_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, \mbox{non bornée}</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i\in \N_n} c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}^i (I)}</math>,
Ligne 3 770 : Ligne 3 219 :


avec <math>c_{0,n,{\cal R}}(A_n) = card_Q(N_n)</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>{card}_E(N_n) \leq {card}_E(\N)</math>
avec <math>c_{0,n,{\cal R}}(A_n) = card_Q(N_n)</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>{card}_E(N_n) \leq {card}_E(\N)</math>



ou peut-être, mais, si cela est possible, pour tout <math>A_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, \mbox{non bornée}</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i\in \N_n} c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}^i (I)}</math>,
ou peut-être, mais, si cela est possible, pour tout <math>A_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, \mbox{non bornée}</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i\in \N_n} c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}^i (I)}</math>,
Ligne 3 779 : Ligne 3 227 :


avec <math>c_{0,n,{\cal R}}(A_n) = card_Q(N_n)</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math> et <math>{card}_E(N_n) \leq {card}_E(\N'')</math>
avec <math>c_{0,n,{\cal R}}(A_n) = card_Q(N_n)</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math> et <math>{card}_E(N_n) \leq {card}_E(\N'')</math>




'''Compléments :'''
'''Compléments :'''



'''Rappel :''' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>C^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>C^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent).
'''Rappel :''' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>C^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>C^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent).



'''Rappel :'''
'''Rappel :'''
Ligne 3 793 : Ligne 3 237 :


Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>.
Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>.



'''Attention :'''
'''Attention :'''
Ligne 3 812 : Ligne 3 255 :


c-à-d celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.
c-à-d celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.



Selon ma définition :
Selon ma définition :
Ligne 3 835 : Ligne 3 277 :


==Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur <math>\mathbb{R}^n</math>==
==Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur <math>\mathbb{R}^n</math>==



===Partie 1===
===Partie 1===

Soit <math>n \in \N^*</math>.
Soit <math>n \in \N^*</math>.


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Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>.
Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>.
Ligne 3 877 : Ligne 3 316 :


'''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'''
'''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'''




''Remarque :''
''Remarque :''
Ligne 3 895 : Ligne 3 332 :


<math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>.
<math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>.



''Remarque :'' Un singleton de <math>\mathbb{R}</math> est une partie compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>.
''Remarque :'' Un singleton de <math>\mathbb{R}</math> est une partie compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>.

'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, est une famille de parties compactes (donc fermées bornées), convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, est une famille de parties compactes (donc fermées bornées), convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''



''Remarque :''
''Remarque :''
Ligne 3 918 : Ligne 3 352 :


Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> (ou telle que <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>).
Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> (ou telle que <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>).



Si <math>\forall i \in I, \,\, A_i,B_i \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>, réunions finies de parties <math>\Big(</math>Option classique : compactes, convexes, (connexes), disjointes, de <math>\mathbb{R}</math> (éventuellement, des sous-variétés de classe [<math>(C^0)</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux])<math>\Big)</math> ou <math>\Big(</math>Option spéculative : bornées, convexes, (connexes), disjointes, de <math>\mathbb{R}</math><math>\Big)</math>,
Si <math>\forall i \in I, \,\, A_i,B_i \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>, réunions finies de parties <math>\Big(</math>Option classique : compactes, convexes, (connexes), disjointes, de <math>\mathbb{R}</math> (éventuellement, des sous-variétés de classe [<math>(C^0)</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux])<math>\Big)</math> ou <math>\Big(</math>Option spéculative : bornées, convexes, (connexes), disjointes, de <math>\mathbb{R}</math><math>\Big)</math>,
Ligne 3 933 : Ligne 3 366 :


'''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'''
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Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe, (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la sous-variété <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>,
Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe, (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la sous-variété <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>,
Ligne 3 940 : Ligne 3 372 :


sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>.
sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>.



Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^*, \,\, \mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>, réunions (dénombrables infinies, non bornées) de sous-variétés compactes, convexes, (connexes), disjointes, de <math>\mathbb{R}</math> (éventuellement, de classe [<math>(C^0)</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux])
Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^*, \,\, \mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>, réunions (dénombrables infinies, non bornées) de sous-variétés compactes, convexes, (connexes), disjointes, de <math>\mathbb{R}</math> (éventuellement, de classe [<math>(C^0)</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux])
Ligne 3 957 : Ligne 3 388 :


(c-à-d <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow +\infty} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>),
(c-à-d <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow +\infty} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>),



on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow +\infty} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow +\infty} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow +\infty}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math>
on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow +\infty} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow +\infty} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow +\infty}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math>
Ligne 3 966 : Ligne 3 396 :


'''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'''
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donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math>
donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math>
Ligne 3 973 : Ligne 3 402 :


on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math>
on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math>



et plus généralement,
et plus généralement,
Ligne 3 980 : Ligne 3 408 :


et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>.
et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>.



L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable.
L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable.



Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math>,
Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math>,
Ligne 3 996 : Ligne 3 422 :


et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} < 1}</math>.
et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} < 1}</math>.

Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>,
Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>,
Ligne 4 004 : Ligne 3 429 :
ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.

L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même.
L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même.


Ligne 4 012 : Ligne 3 436 :


===Partie 2 ("Suite 2 Cardinal quantitatif de parties de <math>\mathbb{R}^N</math> (10)")===
===Partie 2 ("Suite 2 Cardinal quantitatif de parties de <math>\mathbb{R}^N</math> (10)")===

'''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur le cardinal quantitatif d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math>'''
'''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur le cardinal quantitatif d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math>'''


Ligne 4 022 : Ligne 3 445 :


<math>{card}_E</math> est le cardinal classique ou le cardinal de Cantor noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal équipotentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux.
<math>{card}_E</math> est le cardinal classique ou le cardinal de Cantor noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal équipotentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux.



Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles.
Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles.
Ligne 4 033 : Ligne 3 455 :


La notion de cardinal quantitatif se veut une notion qui affine celle de cardinal équipotentiel et qui se veut la notion optimale de quantité d'éléments.
La notion de cardinal quantitatif se veut une notion qui affine celle de cardinal équipotentiel et qui se veut la notion optimale de quantité d'éléments.



'''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'''
'''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'''



Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_E(R) = {card}_E(S) = \aleph_0</math> telles que :
Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_E(R) = {card}_E(S) = \aleph_0</math> telles que :
Ligne 4 043 : Ligne 3 463 :


et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math>.
et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math>.



Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>.
Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>.



Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>.
Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>.


On appelle <math>r_n</math> est le <math>n</math>ème terme de <math>R</math>
On appelle <math>r_n</math> est le <math>n</math>ème terme de <math>R</math>



On pose <math>\displaystyle{{(\Delta R)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta R)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math>
On pose <math>\displaystyle{{(\Delta R)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta R)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math>
Ligne 4 058 : Ligne 3 475 :


Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>R</math> et <math>S</math>.
Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>R</math> et <math>S</math>.



On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_R^+, n_S^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta R)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_R^+}, \,\, {\Big({(\Delta S)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_S^+} \nearrow}</math> (resp. <math>\searrow</math>)
On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_R^+, n_S^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta R)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_R^+}, \,\, {\Big({(\Delta S)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_S^+} \nearrow}</math> (resp. <math>\searrow</math>)
Ligne 4 067 : Ligne 3 483 :


et <math>\exists n_R^-, n_S^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta R)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_R^-}, \,\, {\Big({(\Delta S)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_S^-} \searrow </math> (resp. <math>\nearrow</math>).
et <math>\exists n_R^-, n_S^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta R)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_R^-}, \,\, {\Big({(\Delta S)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_S^-} \searrow </math> (resp. <math>\nearrow</math>).



On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta R)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta R)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math>
On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta R)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta R)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math>


C'est la moyenne des pas de <math>R</math> compris entre le <math>(n+1)</math>ème et le <math>-(n+1)</math>ème terme.
C'est la moyenne des pas de <math>R</math> compris entre le <math>(n+1)</math>ème et le <math>-(n+1)</math>ème terme.



'''Remarque :''' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :
'''Remarque :''' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :
Ligne 4 079 : Ligne 3 493 :


On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de <math>R</math> compris entre ces 2 termes inclus.
On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de <math>R</math> compris entre ces 2 termes inclus.



On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>.
On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>.


C'est la limite de la moyenne des pas de <math>R</math> compris entre son <math>(n-1)</math>ème et son <math>-(n-1)</math>ème terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>R</math> sur <math>\mathbb{R}</math>.
C'est la limite de la moyenne des pas de <math>R</math> compris entre son <math>(n-1)</math>ème et son <math>-(n-1)</math>ème terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>R</math> sur <math>\mathbb{R}</math>.



'''Conjecture :'''
'''Conjecture :'''
Ligne 4 093 : Ligne 3 505 :


Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math>
Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math>



Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta R)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta R)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta \Z)}_n = 1}</math>
Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta R)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta R)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta \Z)}_n = 1}</math>


alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math>
alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math>



En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta R)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta R)}_{n-1} = +\infty}</math>,
En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta R)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta R)}_{n-1} = +\infty}</math>,


et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>,
et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>,



'''Remarque :''' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir
'''Remarque :''' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir


<math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>.
<math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>.



Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ?
Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ?
Ligne 4 119 : Ligne 3 527 :


Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math>
Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math>



Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement :
Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement :
Ligne 4 126 : Ligne 3 533 :


alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math>
alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math>



Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math>
Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math>


alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math>
alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math>


'''Remarque :'''
'''Remarque :'''
Ligne 4 140 : Ligne 3 545 :


<math>T = \{t_i \in \R | i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>
<math>T = \{t_i \in \R | i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>



Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_E(R) = {card}_E(S) = \aleph_0</math> telles que :
Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_E(R) = {card}_E(S) = \aleph_0</math> telles que :
Ligne 4 151 : Ligne 3 555 :


On appelle <math>r_n</math> est le <math>n</math>ème terme de <math>R</math>
On appelle <math>r_n</math> est le <math>n</math>ème terme de <math>R</math>



On pose <math>\displaystyle{{(\Delta R)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math>
On pose <math>\displaystyle{{(\Delta R)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math>
Ligne 4 160 : Ligne 3 563 :


On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_R^+, n_S^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta R)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_R^+}, \,\, {\Big({(\Delta S)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_S^+} \nearrow}</math> (resp. <math>\searrow</math>)
On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_R^+, n_S^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta R)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_R^+}, \,\, {\Big({(\Delta S)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_S^+} \nearrow}</math> (resp. <math>\searrow</math>)



On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta R)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math>
On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta R)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math>


C'est la moyenne des pas de <math>R</math> compris entre le <math>0</math>ème et le <math>(n+1)</math>ème terme.
C'est la moyenne des pas de <math>R</math> compris entre le <math>0</math>ème et le <math>(n+1)</math>ème terme.



'''Remarque :''' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :
'''Remarque :''' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :
Ligne 4 172 : Ligne 3 573 :


On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de $R$ compris entre ces 2 termes inclus.
On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de $R$ compris entre ces 2 termes inclus.



On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>.
On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>.


C'est la limite de la moyenne des pas de <math>R</math> compris entre son <math>0</math>ème et son <math>(n+1)</math>ème terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>R</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>.
C'est la limite de la moyenne des pas de <math>R</math> compris entre son <math>0</math>ème et son <math>(n+1)</math>ème terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>R</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>.



'''Conjecture :'''
'''Conjecture :'''
Ligne 4 190 : Ligne 3 589 :


<math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>
<math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>



en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math>
en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math>



et on a <math>\displaystyle{\bigcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N \,\, \mbox{et} \,\, \bigcap_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \emptyset}</math>,
et on a <math>\displaystyle{\bigcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N \,\, \mbox{et} \,\, \bigcap_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \emptyset}</math>,


on a <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>
on a <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>



===Idée pour généraliser la notion de cardinal quantitatif aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>===
===Idée pour généraliser la notion de cardinal quantitatif aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>===



====Conjecture====
====Conjecture====
Ligne 4 261 : Ligne 3 656 :


et
et



Alors on définit la relation suivante :
Alors on définit la relation suivante :
Ligne 4 270 : Ligne 3 664 :


<math>\Longleftrightarrow_{def}</math>
<math>\Longleftrightarrow_{def}</math>



(1)
(1)
Ligne 4 281 : Ligne 3 674 :


<math>\forall x {\in}_{{\Omega}_{\varepsilon_j}} A_{\varepsilon_j},\,\, x {\in}_{{\Omega}_{\varepsilon_j}} {\Omega}_{\varepsilon_j}</math>
<math>\forall x {\in}_{{\Omega}_{\varepsilon_j}} A_{\varepsilon_j},\,\, x {\in}_{{\Omega}_{\varepsilon_j}} {\Omega}_{\varepsilon_j}</math>



(2) <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_i} {\subset}_{{\Omega}_{\varepsilon_j}} A_{\varepsilon_i} {\subset}_{{\Omega}_{\varepsilon_j}} {\emptyset}}</math>
(2) <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_i} {\subset}_{{\Omega}_{\varepsilon_j}} A_{\varepsilon_i} {\subset}_{{\Omega}_{\varepsilon_j}} {\emptyset}}</math>
Ligne 4 290 : Ligne 3 682 :


<math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_i} {\supset}_{{\Omega}_{\varepsilon_i}} A_{\varepsilon_i} {\supset}_{{\Omega}_{\varepsilon_i}} {\emptyset}}</math>
<math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_i} {\supset}_{{\Omega}_{\varepsilon_i}} A_{\varepsilon_i} {\supset}_{{\Omega}_{\varepsilon_i}} {\emptyset}}</math>



De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :
De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

Version du 31 janvier 2019 à 12:54

Cardinal quantitatif
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Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC


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La définition du cardinal quantitatif sur et sur (128)

Remarque préliminaire

En réponse à une remarque qui m'a été faite sur le forum Futura-Sciences :


J'ai le droit d'utiliser, en mon âme et conscience, la terminologie que je veux, dans mes travaux, et de renommer, autrement, certaines notions existantes, du moment que je le précise et que j'ai de bonnes raisons de le faire : Libre aux autres de ne pas adopter cette terminologie et ce renommage. De plus, cela ne concerne que quelques termes ou expressions qui ont été, profondément, réfléchis et pensés, et qui ne contiennent, en aucun cas, mes prénom nom.


La notion de "cardinal quantitatif" est la notion optimale de quantité d'éléments d'un ensemble, donc, à bien des égards, c'est une notion plus légitime, pour prétendre à la notion de "cardinal" que celle de "cardinal équipotentiel".

Elle prolonge l'intuition que nous avons de la notion de "cardinal", dans le cas des ensembles finis.

Elle est, au moins, définie pour les sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux).


La notion de "cardinal équipotentiel" est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis, et la notion optimale de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, donc, à bien des égards, c'est une notion moins légitime, pour prétendre à la notion de "cardinal" que celle de "cardinal quantitatif".

Elle ne prolonge pas l'intuition que nous avons de la notion de "cardinal", dans le cas des ensembles finis.

Elle est définie pour toutes les parties de .


Les notions de "cardinal quantitatif" et de "cardinal équipotentiel" se confondent, dans le cas des parties finies.


Si, historiquement, une terminologie est mal appropriée et fait fausse route, est-ce pour autant qu'une fois adoptée, elle doit rester figée pour toujours et qu'il ne faudra pas ou plus jamais, la faire évoluer, un jour, même en conservant la terminologie initiale ?

On peut, en effet, maintenant, adopter une nouvelle terminologie, tout en conservant la terminologie initiale, et distinguer la notion de "cardinal quantitatif" de la notion de "cardinal équipotentiel" (ou de "cardinal de Cantor" ou de "cardinal [historique][classique], tout court"),

même si la notion de "cardinal quantitatif" n'est pas, à proprement parler, un cas particulier de la notion historique de "cardinal", c-à-d la notion de "cardinal de Cantor" ou de "cardinal (classique)", tout court, ou de "cardinal équipotentiel", même si cette dernière terminologie n'est pas la terminologie historique.

En effet, la notion de "cardinal quantitatif" aurait dû être, à bien des égards, la notion historique de "cardinal",

puisqu'elle prolonge, intuitivement, la notion de "cardinal" que nous avons dans le cas des parties finies, mais, n'est, néanmoins, pas, nécessairement, définie pour toutes les parties de , contrairement à la notion historique de "cardinal",

et la notion historique de "cardinal" est une notion mal appropriée et qui fait fausse route,

puisque, bien qu'elle soit définie pour toutes les parties de , contrairement à la notion de "cardinal quantitatif", elle ne prolonge pas, intuitivement, la notion de "cardinal" que nous avons dans le cas des parties finies, contrairement à celle de "cardinal quantitatif".


(*) "Ma" théorie est au moins valable pour les sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux), qui sont des cas particuliers de parties bornées de  :

C'est le dernier article informel de vulgarisation de Michel COSTE, qui l'assure, avec ses références.

Mais, malheureusement, il n'a pas donné toutes les démonstrations et toutes les références qui vont avec.


(**) Le problème se pose, en dehors, des parties précitées dans (*) :

Car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements à l'infini", notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Peut-être, ou bien, qu'il y a une manière de poser cela proprement, ou bien, qu'on ne pourra, jamais, humainement, généraliser "ma" théorie, au delà des parties précitées dans (*), ou du moins, au delà des parties bornées de .


Cette histoire de "cardinal quantitatif", même sous sa mauvaise appellation, est quasiment invisible et est quasiment ou presque un secret absolu dans l'anonymat, que je devrais garder dans ma tombe.

Il est vrai que pour tout ce qu'elle m'a coûté, aussi légitime soit elle, je devrais l'abandonner.


J'aimerais que vous m'aidiez.

Avant propos 1

Soit .

    • Mots clés : Cardinal quantitatif d'un ensemble (Notion optimale de nombre ou de quantité d'éléments de cet ensemble. Notion, bien définie, au moins, sur la classe de tous les sous-variétés compactes, convexes, [connexes] de , de classe [] et [ par morceaux]), qui est une classe de parties bornées de . Notion qui est une mesure, au sens usuel ou classique, définie sur la classe des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux), mais qui n'est plus une mesure, au sens usuel ou classique, si on veut la définir sur et l'étendre à la classe de tous les sous-ensembles de . Si on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de , (sous réserve de compatibilité des axiomes de définition et de non-contradiction), cette notion ne sera plus universelle, mais relative au repère orthonormé direct de et au plafonnement sphérique ou autre, à l'infini, que l'on s'est fixé. Notion en rapport avec les mesures de Hausdorff. Par opposition au Cardinal équipotentiel ou au cardinal de Cantor ou au cardinal (classique), tout court, d'un ensemble Autre lien(Ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments de cet ensemble, lorsque cet ensemble est un ensemble infini, et notion optimale du nombre ou de la quantité d'éléments de cet ensemble, lorsque cet ensemble est un ensemble fini. Notion bien définie sur la classe de tous les sous-ensembles de et en rapport direct avec les notions d'équipotence et de bijection). La notion de "cardinal quantitatif" qui se veut la notion optimale de quantité d'éléments d'un ensemble, est bien définie, au moins, concernant une classe de parties bornées de , c-à-d concernant, au moins, la classe des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et (par morceaux), et est une mesure sur cette classe de parties de , mais n'est pas désignée à tort, sous cette appellation, par opposition à la notion de "cardinal équipotentiel" ou de cardinal de Cantor ou de cardinal classique, tout court, qui elle est définie pour toutes les parties de , et qui donne un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis, et qui se confond avec la notion de cardinal quantitatif, dans le cas des ensemble finis, et qui est en rapport direct, avec les notions d'équipotence et de bijection. Comme la notion de "cardinal équipotentiel" est, aussi, définie pour toutes les parties de , , on tentera, aussi, d'étendre et de généraliser la notion de "cardinal quantitatif" à toutes les parties de , , où .
    • La notion intuitive de "cardinal" que nous connaissons dans le cas des parties finies, peut s'étendre, au moins, aux sous-variétés (et en particulier, celles qui sont des parties infinies) compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux), ce qu'on ne dit pas ou pas assez, et cette notion je l'appelle "cardinal quantitatif", contrairement à la notion de "cardinal équipotentiel" ou de cardinal de Cantor ou de cardinal (classique), tout court, qui devient contre intuitive, dès que l'on passe aux parties infinies. La généralisation du cardinal quantitatif amène à faire certaines concessions. La notion de "cardinal quantitatif" vérifie le principe du tout et de la partie : "Le tout est, nécessairement, strictement plus grand que chacune de ses sous-parties strictes", contrairement, à la notion de "cardinal équipotentiel" qui ne le vérifie pas : "Certaines sous-parties strictes du tout peuvent être aussi grandes que ce dernier".
    • J'essaie de réhabiliter cette notion sous cette appellation légitime et je m'essaie à l'étendre et à la généraliser, quitte à tenter d'introduire et de définir le nouvel espace , qui semble avoir beaucoup de points communs, avec l'espace , de l'analyse non standard. Mon but, pour le moment, est de préparer et de débroussailler, suffisamment, le terrain, pour qu’on puisse commencer à voir les et qu’on puisse commencer à, réellement, s’engager dans les difficultés mathématiques concernant "ma" théorie, et à, réellement, s'amuser.
  2. Si on veut inclure le cas des parties non bornées de , on doit abandonner l'axiome de la -additivité, concernant l'application cardinal quantitatif, sur , sauf sur la classe des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et (par morceaux), et on doit considèrer que la notion de cardinal quantitatif, dans le cas des parties non bornées, n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de , que l'on s'est fixé, et au plafonnement sphérique ou autre, à l'infini, associé, et dans ce cas, sauf pour pouvoir définir, la notion de "partition éligible ou admissible pour effectuer des calculs avec la notion de cardinal quantitatif", si cette dernière est bien nécessaire et utile, il faudra, seulement, consulter les sections 1.1 à 1.6 et 1.11 à 1.13 de la présente page (en grande partie et seulement, sous les conditions MC et MC+ et en remplaçant la plupart des par des ) .
  3. La voie proposée, à quelques concessions près, est naturelle, mais, aussi, difficile, et j'ai peu de pistes en l'état, si ce n'est le fait d'avoir proposé 2 axiomes de définition concernant l'application cardinal quantitatif et les parties non bornées de , incompatibles avec l'axiome de la -additivité, concernant cette même application, sur .
    • La thématique de mes travaux sur le cardinal quantitatif, est, certes, digne d'intérêt, mais, peut-être, qu'en revanche, mes travaux sur le sujet, le sont moins, voire beaucoup moins. Peut-être que mon ensemble , n'a que peu d'utilité, pour considérer le cardinal quantitatif d'une partie quelconque de , mais qu'en revanche, on peut lui trouver une autre utilité, si celle-ci n'est pas déjà prise par l'ensemble de l'analyse non standard.
    • Quand je vois des thèses de mathématiques, je me dis que mon travail de généralisation du cardinal quantitatif est, somme toute, plus simple, tout en étant beaucoup plus court. C'est, sans compter, le fait que mon travail consiste pour le moment à définir et à généraliser une notion, et qu'un gros travail sur le sujet, dans le cas d'une classe de parties bornées de , a déjà été fait, par d'autres, et que pour le moment, j'ai besoin de très peu de démonstrations. L'intérêt d'une définition dépend, bien évidemment, de son utilité dans ses applications et dans l'élargissement ou la généralisation des théories actuelles voire de la construction de nouvelles théories. Mais l'intérêt d'une notion optimale de quantité d'éléments d'un sous-ensemble de , s'impose d'elle-même. Comme, dans de nombreuses théories mathématiques générales et abstraites, la technicité, la complexité et la sophistication ne proviennent pas, explicitement, des définitions en elles-mêmes, mais des applications et des usages qu'on en fait.
  5. Dans la section 1.7 du 1er document, j'ai défini et a priori montré l'existence de mes nombres où , grâce à et en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, mais je ne les ai pas construits et définis, axiomatiquement, comme cela a été le cas pour les nombres entiers naturels, les nombres entiers relatifs, les nombres rationnels et les nombres réels, ce qui peut peut-être poser problème pour certains, mais le faire n'est pas facile.

Liens

N'oubliez pas de consulter : http://www.philo-et-societe-2-0.com/


REMARQUE : On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :


Panneau d’avertissement L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous émet des publicités, des junkwares et des virus.


Panneau d’avertissement En plus des dangers de l'hébergeur PDF (cf. supra), les scans de pages de livres constituent une violation du copyright.

Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" :

Quant à l'extrait de livre suivant, d'après Michel COSTE, il provient de Jean Dieudonné :


Voici des liens Wikipedia :

Voici des liens intéressants en français :


Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :


Qu'importe la réputation et les égarements que j'ai pus avoir sur certains forums de mathématiques et le fait que je m'y suis très mal pris, ce qui compte c'est de faire admettre, d'imposer et de faire triompher la pleine légitimité d'une notion mathématique, ainsi que la terminologie qui lui est associée.

Malgré mon bannissement Des-mathematiques.net et la suppression d'une partie des traces de mes pseudos sur ces dernières, des traces demeurent, et si pour certaines, je n'ai rien à redire, les autres ne me mettent pas, du tout, en valeur.

Par ailleurs, j'aurais aimé que les discussions visibles sur les moteurs de recherche et traitant du cardinal quantitatif, sur Les-mathématiques.net, soient supprimées ou cachées :

Elles sont mineures, anecdotiques, obsolètes et de par les liens parasites qu'elles produisent sur Google, font de l'ombre à la présente discussion qui est souvent réactualisée, qui est beaucoup plus légitime et pour laquelle j'ai encore un certain contrôle.

J'ai, en fait, été banni plusieurs fois Des-mathematiques.net (2 à 3 fois), mais je me suis engagé, définitivement, en 2013, à ne plus y remettre les pieds

(mais c'est une grosse perte pour moi, même si je peux toujours consulter le forum, mais sans plus pouvoir y intervenir ou y répondre, moi qui ne comptais plus y parler de mes "travaux de recherche personnels" ni de ma vie ni de ma vie scolaire)

(Alors que Jean-Yves TALLET ou JYT, qui écrit des phrases creuses, mais qui impressionnent beaucoup moins que des formules mathématiques lourdes, creuses ou du moins en partie creuses, n'a quant à lui pas été banni),

mais Emmanuel VIEILLARD-BARON plus connu sous le pseudonyme manu, sur Les-mathematiques.net, dont il est l'administrateur principal ainsi que le propriétaire, refuse, pour la seule fois où je lui ai demandé, de faire son boulot proprement, concernant les traces de mes pseudos et la suppression de ou du moins le fait de cacher certaines discussions dont les miennes

(Surtout, celles où j'ai fait traîner en longueur, des brouillons, des formules lourdes, absconses, informelles et peu rigoureuses qui ne m'honorent pas, mais qui étaient et sont, ici, un mal et un passage obligé et nécessaire, que je n'aurais dû garder et que je ne devrais garder que pour moi, même si j'avais besoin et si j'ai besoin d'aide et que je demandais ou que je demande de l'aide)

et celles dont je ne suis pas le créateur, mais qui me concernent, particulièrement, voire sur lesquelles je suis grandement et principalement intervenu,

et ce malgré le fait que je lui ai listé tous les liens concernés.

De plus, alors que je l'ai très peu contacté par email, il s'est réservé le droit de ne plus y répondre et même de diriger tous les messages que je lui enverrai, {dans|vers} la poubelle.

Alors que j'étais dans un état relativement normal, en tentant d'exprimer, mathématiquement, du mieux que je pouvais, certaines intuitions plus ou moins vagues et confuses que j'avais en tête, j'ai écrit sur Les-mathematiques.net, selon mes idées et ma logique du moment, et j'y ai fait traîner en longueur, quantité de formules ou de formalisations mathématiques ou plutôt, en partie, mais de manière non voulue, pseudo mathématiques, lourdes et absconses, qui tout en étant, manifestement, de par leur forme, l'oeuvre ou le résultat d'un esprit, relativement, inspiré, dans un sens non mystique et non religieux, apparaissent, aux yeux des intervenants, comme plus ou moins folles ou plus ou moins délirantes, car certaines n'ont, effectivement, pas de sens ou peu de sens et que les autres sont en grande partie informelles et très mal formulées et que le sens que j'ai voulu y mettre et leur donner est, pour eux, difficile voire impossible à extraire, sens pour lequel il m'arrive parfois moi-même, dans certains cas, de ne plus parvenir à le retrouver, ou du moins, à y parvenir, mais difficilement.

Ces formules et ces formalisations mathématiques ou plutôt, en partie, pseudo mathématiques, mais de manière non voulue, sont vraiment des cas uniques en leur genre, susceptibles de donner une fausse image et une image caricaturale de moi-même, en mathématiques et, plus particulièrement, en ce qui concerne les mathématiques scolaires du supérieur, tellement j'étais et tellement il m'arrive d'être absorbé par et inspiré et barré dans ces premières, sans avoir ou sans avoir pu avoir tout le recul nécessaire, tellement j'étais et je suis motivé et impatient de les rectifier, de les modifier ou de les corriger et de les rendre parfaites, avant qu'un intervenant ne poste un nouveau message et ne les commente, et tellement ces premières sont ou tellement ces premières peuvent, souvent, prêter à rire, en l'état :

C'est sans compter que c'est un travail de longue haleine, que je dois effectuer quasiment seul, sans soutien et sans encadrement, alors que je n'ai jamais vécu d'expérience de thèse, faute d'avoir pu y accéder, mais que j'ai néanmoins pu effectuer un mémoire de M2 R, sans jamais rencontrer les présentes difficultés que je rencontre, ici, avec le cardinal quantitatif et mes autres "travaux de recherche personnels", même si ce mémoire n'est pas parfait en tout point, mais a quand même le mérite d'avoir amélioré la mise en forme de et d'avoir mieux détaillé certaines parties d'un livre, même s'il a pu faillir dans d'autres, surtout dans la partie concernant le cas discontinu où les résultats sont plus difficiles et ont été présentés beaucoup plus sèchement et sommairement, et où je n'ai pas eu la présence d'esprit d'exploiter la bibliographie qui était pourtant une mine.

Dans ce travail personnel, en particulier, sur le cardinal quantitatif, je m'y reprends de très nombreuses fois, parfois sans relâche, afin que mes formalisations deviennent de plus en plus potables et de plus en plus intelligibles et compréhensibles, voire bien et rigoureusement formalisées, jusqu'à devenir mathématiques, à part entière, tout en traduisant bien mes intuitions :

Je peux vous dire que ça n'est pas simple et qu'à vrai dire, je n'ai quasiment pas avancé, depuis l'intervention de Michel Coste sur Les-mathematiques.net, en 2007, concernant la formule donnant le cardinal quantitatif d'une partie de , en général ou du moins d'une partie appartenant à des classes de parties de , de plus en plus larges :

Déjà la formule que nous donne Michel COSTE (qui ne vient pas de lui), concernant les cardinaux quantitatifs des parties d'une certaine classe de parties bornées de , n'est déjà pas simple et demande un formalisme lourd et poussé :

Je vous laisse le soin d'imaginer, ne serait-ce qu'un seul instant, ce qu'il en sera, des formules qui la généraliseront, d'autant plus que pour pouvoir le faire, la littérature semble difficile et faire défaut :

Mais vu l'allure que prennent mes formules et mes formalisations, l'esprit qui les a produites et qui a voulu les exprimer, ne peut être un complet insensé, car, à chaque fois, il a visiblement une idée et une logique derrière la tête.

On pourrait penser que les formules ou les formalisations que j'ai données dans cette discussion, sont toutes du même acabit :

C'est en partie vrai, mais je pense que contrairement à ce que j'ai produit sur Les-mathematiques.net, je les ai très sensiblement élaguées, rectifiées, corrigées, précisées et améliorées, et que si certaines formules ou certaines formalisations ne sont pas encore au point :

C'est qu'il me reste encore un grand travail à {faire|fournir} pour y parvenir.

Concernant le cardinal quantitatif d'un sous-ensemble de qui correspond à la notion optimale de quantité d'éléments de ce sous-ensemble, il faut d'abord lire mon message "Avant propos 2" de cette page :

Avant d'envisager la formule du cardinal quantitatif concernant les parties bornées de , il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de  :

On sait la donner concernant les parties de la classe des sous-variétés compactes, convexes, connexes de , de classe () et ( par morceaux) :

Reste à définir la notion de cardinal quantitatif, à tous les sous-ensembles non bornés de , et il n'y a, apparemment et visiblement, aucune raison et aucun obstacle théorique, au fait que cela puisse être possible, humainement, même si cela peut se révéler très difficile et pas à notre portée du moment.

Michel COSTE, au lieu de dire qu'on ne peut pas raisonnablement aller plus loin, ferait mieux de dire que ce n'est pas dans ses cordes ou dans ses tripes et qu'il n'a pas la trempe d'aller plus loin ou la trempe pour aller plus loin, or ce Michel COSTE est, tout de même, professeur émérite à l'Université de RENNES 1.

(NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c-à-d, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" versions 1-2-3-4, qui sont des articles informels de vulgarisation)

Par ailleurs, Denis FELDMANN (ou le contributeur Dfeldmann sur Wikipedia) m'a berné et s'est payé ma tête, dans mon ancienne page de discussion Wikipedia même (qui n'avait pas lieu d'y être, puisqu'elle traitait de travaux inédits), en parvenant à me faire croire qu'il existait, ou, du moins, en semant le doute en moi, de façon contre intuitive, sur le fait qu'il existait des rotations d'angle irrationnel pour lesquelles certaines parties n'étaient pas invariantes, et que donc le cardinal quantitatif n'était pas invariant pas rotation et que cela aboutissait à une contradiction, et que cela était un cas particulier du paradoxe de Banach-Tarski, et que cela était dû à l'axiome du choix, et que donc ma notion n'était pas définissable dans le système ZFC :

Je crois même qu'il y a de fortes chances qu'il m'ait dit la même chose sur Les-mathematiques.net sous un autre pseudonyme.

Conseils d'ami :

Ne venez jamais publier et discuter de vos brouillons, en cours, sur vos "travaux de recherche personnels", sur un forum de mathématiques, surtout s'ils en sont, encore, à un stade très informel et s'ils sont, encore, en grande partie vagues, confus et peu rigoureux, et cela même si vous cherchez, à tout prix et absolument, de l'aide.

Abandonnez les à contre coeur et vivez avec un profond sentiment d'amertume et d'injustice, toute votre vie, surtout, quand vous n'avez pas les moyens de généraliser ou de donner une formule plus générale d'une notion, mais que vous voulez néanmoins légitimer cette notion sous une appellation légitime (quitte à donner à d'autres notions, d'autres appellations légitimes, afin de la différencier de ces dernières), en vous basant sur ce que l'on sait déjà d'elle, même si elle peut apparaître, trompeusement, sous d'autres appellations.

Les précautions à prendre sont souvent trop nombreuses et nécessitent beaucoup de recul et qu'on s'y reprenne de très nombreuses fois, surtout si on est peu soutenu et encadré et/ou que l'on a pas bénéficié d'une formation de recherche.

Sinon, cela ne vous apportera que des "emmerdes" voire des bannissements, vous allez vous embourber et vous enliser, dans un bourbier dont il vous sera difficile de vous défaire et de vous dépêtrer, vous connaîtrez les incompréhensions, les moqueries, les railleries, les sarcasmes, les remontrances et la mauvaise humeur.

Avant propos 2

N'oubliez pas de consulter : philo-et-societe-2-0.com (voir supra)

Soit .

C'est le genre de message que j'aurais dû poster, en 1er :

Tant, il résume bien la situation actuelle du cardinal quantitatif, ainsi que la mienne par rapport à ce dernier.

Réagissez y.

Les mathématiciens professionnels disposent, certes, de compétences, de connaissances et de savoirs académiques, mais, surtout, comparés aux mathématiciens amateurs (dans mon cas, j'ai tout de même eu un M2 R, mais je n'ai pas pu accéder à la thèse), ils disposent de moyens matériels (bibliothèques, accès gratuit à des revues) et puis, surtout, de moyens humains et relationnels (collègues, colloques, rencontres, collaborations), sur lesquels ils peuvent compter, dialoguer, discuter, se tromper, divaguer, trouver de l'aide et s'inspirer, à souhait, avant de publier un article maintes fois revérifié, dans une revue ou sur Arxiv.

Les mathématiciens amateurs, en excluant ceux qui ont un niveau, des compétences et une expérience académiques insuffisants pour pouvoir faire des travaux de recherche, un temps soit peu solides et sérieux, ont surtout, des moyens matériels limités ou s'ils peuvent les amortir, couteux et entièrement à leur charge (bibliothèques, accès à des revues), et des moyens humains et relationnels très limités, qui les condamnent très fortement.

Les forums tels que Les-mathematiques.net et Maths-Forum

(où pour ce dernier, je suis, quand même, plus tranquille et où j'ai plus de temps pour peaufiner et pour travailler mes messages, même si d'une certaine manière, cette discussion est mal placée et qu'il y a peu d'intervenants venant dans le sous-forum correspondant et que cela fait un mois que les seuls intervenants qui répondaient à mes messages, n'y répondent plus de façon collégiale et l'ont abandonnée),

sont mal adaptés voire inappropriés pour avoir ce genre de discussions, surtout quand les travaux en question, en sont encore à un stade très informel, voire très vague et très confus et nécessitent encore de nombreuses phases d'élagage et de décantation, grâce auxquelles ils pourront s'affiner, se préciser et prendre forme, peu à peu.

Toute cette discussion aurait mieux sa place, sur Les-mathematiques.net, mais j'en fus banni, notamment pour y avoir trop parlé de ma vie et de ma vie scolaire, mais aussi et surtout, pour le boubier dans lequel je m'étais mis et les longueurs, les débats houleux et les moqueries, bref le raffut, qu'ont entraînées les discussions portant sur mes "travaux de recherche personnels", en mathématiques, car j'avais un mal fou à les exprimer et car ceux-ci en étaient encore à un stade intuitif, très vague, très confus et très informel, contenaient beaucoup d'erreurs, étaient en grande partie faux, et étaient jugés comme tels, comme peu ou pas mathématiques, par la modération, et puis aussi, parce que je me suis un peu défoulé et ai un peu trollé sur ces dernières, pour me venger des fermetures de certaines de mes discussions :

(Je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension de .

J'avais introduit et inventé les expressions d'"ouverts purs" et de "fermés purs", alors que je voulais, en fait, désigner, les mots déjà existants, d'"ouverts" et de "fermés", et je désignais par "parties à la fois ouvertes et fermées", des parties, en fait, ni ouvertes, ni fermées :

Alors qu'inconsciemment, je possédais la bonne terminologie.)

Je sais que je n'avais pas le choix d'en passer par là, pour pouvoir être jugé et recevoir un peu d'aide, même si j'en ai reçue très peu :

Mais, avant de commencer à faire de (vraies) mathématiques, en particulier, au delà des cardinaux quantitatifs des sous-variétés convexes, compactes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux), il faut bien préparer le terrain, et dans mon cas, en ce qui concerne mes travaux, le terrain n'est toujours pas prêt.

Ma situation est un comble et semble être un dilemme insoluble :

D'un côté, je cherche et j'ai besoin absolument d'aide pour faire avancer mes travaux, mais, d'un autre côté, il est, aussi, préférable, en l'état, que je reste seul isolé dans mon coin et que je n'en demande pas, puisque de toute façon, quoique je fasse, je n'en obtiendrai pas ou très peu, je serai mal vu, on se moquera de moi et que de plus je risquerai d'aggraver ma situation, quant à ma mauvaise réputation sur certains forums de mathématiques, de fait je suis condamné à ne jamais faire ou très peu progresser mes travaux et à devoir errer seul, pour toujours.

On ne peut pas mettre sur le même pied d'égalité, un normalien, un thésard, et un enseignant-chercheur, avec moi :

Certes, pour le bagage mathématique qu'ils possèdent, mais aussi, et surtout, par le soutien humain et relationnel, dont eux disposent et pas moi, surtout à leurs débuts, dans la recherche, mais aussi tout au long de leur carrière, par les rencontres et les collaborations qu'ils seront amenés à avoir, et cela, ils ne semblent que l'avoir trop peu remarqué.

Les enseignants-chercheurs, les thésards et les élèves des grandes écoles peuvent se permettre le luxe de prendre de très nombreuses précautions avant de publier dans une revue, mais aussi, si cela leur chante, avant de poster des messages au contenu mathématique, sur les forums, car ils craignent, avant tout, de devenir la risée de tous et, par dessus tout, que cela nuise à et atteigne leur réputation :

La plupart des étudiants et des acteurs du monde mathématique et les intervenants des forums de mathématiques, pensent et raisonnent, ainsi, ont cet état d'esprit, et entretiennent ce climat, alors que les chercheurs savent pertinemment qu'avant d'arriver à un article final, les erreurs, les fausses routes, les impasses, les retours en arrière voire les chemins imprévus, sont légion.

Il faut toujours qu'il y ait une épée de Damoclès au dessus de nos têtes et que règne le scepticisme, la peur et l'angoisse, sur tous nos discours mathématiques, qui se doivent, toujours ou presque, d'être absolument parfaits, sans faille et irréprochables, avant d'être émis, sans quoi on subira les railleries et on risquera, à terme, d'être discrédité.

Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres et qui résistent depuis longtemps :

Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que Cantor

(Le cardinal équipotentiel ou de Cantor, à la différence du cardinal quantitatif, donne un ordre de grandeur de la quantité d'éléments [d'un sous-ensemble infini de ], mais pas la quantité d'éléments [de ce sous-ensemble infini], elle-même)

et que j'ai de bonnes raisons d'y croire, puisque cela fonctionne déjà pour certaines classes de sous-ensembles bornés de et qu'il n'y a, apparemment et intuitivement, aucune raison pour qu'on ne puisse pas aller plus loin, même s'il y a quelques concessions à faire pour inclure et traiter le cas des sous-ensembles non bornés de , amenant (sous réserve de compatibilité des axiomes de définition) à considérer que cette notion ne sera plus universelle, mais relative au repère orthonormé de et du plafonnement sphérique ou autre, à l'infini que l'on s'est fixé, et que ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler, autrement, la plupart des "demi-droites", puisque dans notre cadre ou dans notre théorie, toutes les "demi-droites", n'ont pas, toutes, la même longueur, du fait même de l'existence d'un "plafonnement" à l'infini, et que certains points sont plus près que d'autres, de ce "plafonnement".

NB : En ce qui concerne la notion de cardinal quantitatif relatif à un repère orthonormé (permettant de traiter le cas des parties non bornées), le principal et le plus dur reste encore à faire.

Remarque : Peut-être qu'être bon ou très bon en mathématiques, de façon globale et générale, n'est pas une condition nécessaire pour être bon ou très bon, en recherche, dans un ou plusieurs domaines particuliers ou spécialisés.

Remarque : Je me suis fait berner une fois, par Denis FELDMANN et un intervenant des-mathematiques.net (qui est peut-être, d'ailleurs, la même personne), sur un point, sur lequel il a réussi à me faire croire à tort, le contraire de ce que je croyais jusqu'ici, en tout cas, il avait semé le doute en moi.

Le cardinal quantitatif a été étendu aux sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux).

Le problème est de l'étendre à des classes de parties, plus larges (On pourra peut-être, seulement, ensuite l'étendre à des classes de parties de , que j'ai introduites informellement dans un de mes pdf et qui posent les mêmes problèmes.).

Soit .

Je sais que si des suites de polytopes de , de dimension (c-à-d des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de , de dimension ), convergent vers une sous-variété compacte, convexe, (connexe) de , de classe () et ( par morceaux), de dimension , alors les suites constituées des cardinaux quantitatifs des polytopes de chacune d'entre elles, convergent de façon unique vers le cardinal quantitatif de la sous-variété compacte, convexe, (connexe) de , de classe () et ( par morceaux), de dimension , en question, et en particulier, si les polytopes sont engendrés par des pavés.

NB : Les sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe , et de dimension , sont un cas particulier des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux), et de dimension .


(Cf. articles informels de vulgarisation de Michel COSTE que j'ai donnés (voir supra)

Michel COSTE n'a pas vu ou n'a pas remarqué, apparemment, que la notion de "cardinal", ou plus à proprement parler, de cardinal quantitatif, correspondait à la notion optimale de quantité d'éléments, et que, contrairement, à ce qu'il dit, il n' y a aucune raison et, en particulier, aucune raison intuitive, qu'on ne puisse pas, raisonnablement, aller plus loin et au-delà de la petite classe de parties de , qu'il mentionne dans son article.

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage fondamental, que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est caractéristique et constitutif de la notion optimale de quantité d'éléments),

et je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes.

Il y a donc peut-être là, une possibilité d'étendre la notion de cardinal quantitatif, à des sous-variétés connexes, compactes, non convexes, de , de classe () et ( par morceaux).

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de Steiner-Minkowski qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Michel COSTE, du moins et surtout Denis FELDMANN sont, un peu, hautains, arrogants voire dédaigneux :

Ils disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des sous-variétés convexes, compactes de , de classe () et ( par morceaux), et pour l'autre au-delà des parties bornées de , mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi.

Je ne vois pas ce qui limiterait une telle généralisation à des classes de parties (de plus en) plus vastes, si ce ne sont peut-être les innombrables difficultés mathématiques que nous pourrions rencontrer et auxquelles nous pourrions être confrontés et sur lesquelles nous pourrions buter, bien qu'elles ne soient, très probablement, pas insurmontables, mais peut-être pas pour le moment ou à notre époque, ou par moi-même :

Rien ne nous empêche, de procéder par petites extensions successives, et nous contenter de petites classes de plus en plus larges, plus larges que celles des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux) :

Je suis seul livré à moi-même à stagner et je n'ai pour l'instant, quasiment, aucun début de piste et personne ne m'en a donné un, jusqu'ici ou dit autrement, je suis depuis le temps que je suis confronté à ce sujet, relativement sec et sans idée et la littérature pertinente, sur internet, en vue de détecter et de sélectionner les définitions et les résultats qui me seraient utiles, quitte à les réadapter, est rare ou difficile à décrypter, à déchiffrer et à interpréter.

De plus, peut-être que les résultats que je recherche sont disséminés à travers la littérature payante.

Je souhaiterais que quelqu'un vienne débloquer la situation, mais, apparemment, je peux toujours attendre.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre le cardinal quantitatif et la formule de Steiner-Minkowski, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de Hadwiger, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de Brunn-Minkowski et la formule de Pick et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre et qui est tout aussi importante et fondamendale, puisque il s'agit, tout de même, de la notion optimale de quantité d'éléments concernant les parties de ou, du moins, de  :

Dans ces travaux, on travaille sur et on est complètement aveuglé et noyé par certaines notions en vogue, qu'on en oublie complètement le reste :

Le plus gros de leurs contenus est inutile et complètement à côté de la plaque, pour généraliser "ma" notion.

Il est mentionné, quelque part que la formule de Steiner-Minkowski s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

On ne peut quand même pas me reprocher et m'en vouloir de n'être pas parvenu à retrouver la formule de Steiner-Minkowski et une partie de la théorie qui va avec, de façon indépendante, par moi-même, même si l'intervention de Michel COSTE, sur Les-mathematiques.net, en 2007, aurait dû me faire avancer un peu plus, depuis le temps, mais il faut dire que Michel COSTE a été avare en références utiles à me mettre sous la dent, même s'il en a données quelques unes, et le rapprochement qui existe et qu'il a vu entre la notion de cardinal quantitatif et la formule de Steiner-Minkowski, demande un peu de travail et n'est pas tout à fait trivial.

Par ailleurs, je ne pense pas ou du moins ne suis pas certain que la décomposition d'une variété (topologique ou différentiable) compacte connexe ou simplement connexe de , soit utile ou suffisante, pour déterminer et exprimer son cardinal quantitatif.

Peut-être que ce travail d'extension ou de généralisation, sera sans fin, puisqu'il dépendra de la géométrie des parties, en question, dont nous voulons déterminer le cardinal quantitatif, et que ces géométries sont uniques, à isométrie près et prennent un nombre incalculable, infini et divers de formes, de configurations et de natures, voire de structures, distinctes, même s'il existe des règles générales.

Pour les mathématiciens "amateurs", il existe une alternative à Arxiv : Vixra.

Même si nombres de farfelus y publient (dont certains, comme ils respirent), c'est ma seule chance de salut, si je veux que mes notions et leurs appellations, ne meurent pas dans l'oeuf et puissent exister et perdurer, ceci à condition que mes travaux soient un temps soit peu consistants, tout en présentant un minimum d'intérêt.

En l'état, mes travaux ne sont pas encore prêts et assez mûrs, pour être publiés, en particulier sur Vixra :

Ils n'ont pas l'allure et le contenu conventionnels d'un article de recherche, en mathématiques.

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Re: Proposition de nouvelles fonctionnalités

Message par Matheux philosophe » 30 avril 2016 13:24

Citation de Ben314 : "J'ai lu ton message, mais comme ça fait déjà 10 000 fois qu'on y a déjà répondu précédemment, je vois pas l'intérêt de le faire une 10 001 ème fois."

Réponse : J'ai, certes, posté un message, à partir du 21 avril 2016, mais j'ai sensiblement amélioré et augmenté son contenu, depuis :


Peut-être que tu n'as pas lu ce message, dans sa dernière version.

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Re: Proposition de nouvelles fonctionnalités

Message par Matheux philosophe » 30 avril 2016 13:34

Citation de Ben314 : "Le fait d'avoir ou pas des collègues et une bibliothèque n'a absolument rien à voir avec le fait d'être capable comme toi d'aligner n'importe comment des symboles mathématiques dans un ordre tel que c'est totalement inepte et dénué du moindre sens. Je connais un grand nombre de matheux "amateurs" qui cherchent et des fois trouvent des trucs intéressants. Leur gros problème, c'est assez fréquemment qu'ils "réinventent la lune", c'est à dire qu'ils redécouvrent avec des outils "élémentaires", des trucs bien connus et qui sont très naturels lorsque l'on connaît bien la théorie qu'il y a derrière. Mais j'en connais pas un seul à part toi écrivant du "charabia" totalement dénué du moindre sens tel que tu es capable de le faire à longueur de pages."


Réponse : Le problème n'est pas de considérer ce que j'ai dit ou ce que j'ai fait, mais de partir de là où Michel COSTE disait qu'on ne pouvait pas généraliser la notion de cardinal quantitatif et aller raisonnablement au delà.


A l'époque je l'appelais maladroitement "cardinal" et il ignorait et n'avait pas vu qu'il s'agissait de la notion optimale de quantité d'éléments, et qu'il n' y avait donc aucune raison pour qu'on ne puisse pas aller au delà, si ce n'est, (Rajout : sachant qu'il n' y a probablement aucune raison que cela soit infaisable), rencontrer et être confronté à d'innombrables difficultés mathématiques au cours de notre route, et qui ne sont peut-être pas à notre portée pour le moment, ou à notre époque, ou par moi-même.

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Re: Proposition de nouvelles fonctionnalités

Message par Matheux philosophe » 30 avril 2016 14:06

Citation de Ben314 : "Le fait d'avoir ou pas des collègues et une bibliothèque n'a absolument rien à voir avec le fait d'être capable comme toi d'aligner n'importe comment des symboles mathématiques dans un ordre tel que c'est totalement inepte et dénué du moindre sens."

Réponse : Dans un contexte, purement scolaire ou bien balisé ou même dans celui de mon mémoire de M2 R, je sais aligner, convenablement et parfaitement, des symboles mathématiques, par contre la notion de cardinal quantitatif, nécessite, vraisemblablement, un cadre et un contexte extraordinaire voire hors norme, que j'ai été incapable de fournir par moi-même, avant de rencontrer Michel COSTE, sur Les-mathématiques.net, sauf dans des cas particuliers de cette théorie dans le cas des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux) :

Normal, je n'ai et je n'ai eu quasiment aucune piste : Je n'ai que ce que Michel COSTE m'a donné.

Rajout : Mon problème n'est pas syntaxique ou logique, et de plus je possède un minimum de connaissances et de compétences, mon problème est que je n'arrive pas à me faire une idée claire et donc à créer un contenu clair qui définirait la notion de cardinal quantitatif, en allant au delà des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux) :

Il y a de réelles difficultés à le faire :

Il faut beaucoup de perspicacité et de ténacité et en passer par de très nombreux essais et tentatives ratées avant d'aboutir à une version parfaite et parfaitement formalisée, telle que tu la voudrais.

De plus, j'ai défini informellement l'ensemble , et cela ne me sert à rien pour traiter, complètement, la notion de cardinal quantitatif sur )

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Re: Proposition de nouvelles fonctionnalités

Message par messinmaisoui » 30 avril 2016 14:37

Dites ... vous êtes sûr que vous êtes bien en train de parler du sujet "Proposition de nouvelles fonctionnalités" ?

":mafia:"

Mon avatar me fait peur, est-ce normal docteur ?

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Re: Proposition de nouvelles fonctionnalités

Messagepar Matheux philosophe » 30 avril 2016 14:40

Citation de Ben314 : "Je connais un grand nombre de matheux "amateurs" qui cherchent et des fois trouvent des trucs intéressants. Leur gros problème, c'est assez fréquemment qu'ils "réinventent la lune", c'est à dire qu'ils redécouvrent avec des outils "élémentaires", des trucs bien connus et qui sont très naturels lorsque l'on connaît bien la théorie qu'il y a derrière."

Réponse : Ce fut aussi mon cas, avec Michel COSTE qui a su voir et comprendre où je voulais en venir (J'avais établi une relation entre les cardinaux quantitatifs de deux intervalles bornés, ouverts [respectivement fermés], non vides et non réduits à un singleton), et qui m'a montré que "ma" théorie du cardinal quantitatif, se généralisait aux sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de et de classe () et ( par morceaux) et faisait appel à la formule de Steiner-Minkowski.

Modifié en dernier par Matheux philosophe le 30 avril 2016 14:44, modifié 2 fois.

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Re: Proposition de nouvelles fonctionnalités

Message par Matheux philosophe » 30 avril 2016 14:42


Citation de messinmaisoui : "Dites ... vous êtes sûr que vous êtes bien en train de parler du sujet "Proposition de nouvelles fonctionnalités" ?"

":mafia:"

Réponse : Je répondais à Ben314 et j'en ai enfin fini.

Avant propos 3

Soit .

Citation personnelle : Il faut souvent beaucoup déconner, avant de commencer à devenir sérieux. (Euphémisme, et ce n'est pas encore fini )

Dans plusieurs discussions, sur Les-mathématiques.net, sur 4 thèmes dont thèmes de recherche personnels (Je n'en ai gardé que 2, j'ai abandonné les 2 autres, ces derniers n'étant pas sérieux ou sans intérêt) :

J'ai écrit, émis et commis, dans l'engouement, la tension, la précipitation et le manque de recul, de nombreuses erreurs, en particulier d'inattention, et de nombreux écueils mathématiques, dont la plupart, à tête reposée, auraient pu être évités.

Je n'ai pas répondu, au mieux et de la manière la plus pertinente ou la plus appropriée, à toutes les questions qui m'y ont été posées, et ayant été, souvent, trop absorbé par et trop immergé dans mes propres pensées et ayant été un peu noyé dans la masse des nouveaux messages, j'en ai ignorées certaines, involontairement, malgré les relances.

Et j'ai produit beaucoup de pages brouillonnes et de formules absconses, informelles, cabalistiques, peu au point, qui n'avaient, souvent, peu ou pas de sens, en l'état, qui ne pouvaient pas passer inaperçues et qui ne pouvaient pas passer, en l'état, et qui, principalement, à elles seules, avec le déballement de ma vie et de ma vie scolaire, me valent un bannissement définitif de ce site, cf. (*) :

C'est assez sévère, car je suis désormais prêt à ne plus y parler de travaux personnels, ni de ma vie ou de ma vie scolaire et car je n'ai peut-être produit pas plus de 1000 à 2000 messages, tout pseudo confondu, entre 2005 et 2014, mais mes erreurs, mes formules absconses qui ne peuvent pas passer inaperçues, ni passer, en l'état, et les remarques désagréables, désobligeantes, et moqueuses des intervenants, ont eu raison de moi sur ce forum, mais selon l'administrateur principal de ce forum, ce serait aussi pour me préserver, cf. (*).

Pourtant je crois qu'en passer par là, était pour moi un mal nécessaire et que mes travaux ne sont pas, toujours, si irrationnels et si insensés qu'ils n'y paraissent ou qu'on pourrait le penser, car sinon l'un d'eux, n'aurait pas attiré l'attention de Michel COSTE (professeur émérite à l'Université de RENNES 1).

Remarque : J'ai négocié la suppression d'une partie de mes traces avec l'administrateur principal des-mathematiques.net, Emmanuel VIEILLARD-BARON, plus connu sous le pseudonyme manu, contre mon bannissement définitif de son forum.

Ce dernier n'a pas rempli et répondu à toutes ses obligations, vis à vis, de la loi française, alors même que j'en ai fait plus que cette dernière ne l'exige de moi, quant à la suppression de toutes mes traces, de tous mes messages et de toutes mes discussions, sur son forum, encore que pour certaines, ce serait, peut-être, un peu sévère.

De plus il redirigera, systématiquement, tous mes messages email que je lui adresserai, vers la poubelle :

Il profite, impunément, de la saturation des services de la CNIL et il pourra, peut-être, juridiquement, même jouer avec le flou et les contradictions de certaines lois.

Néanmoins, Emmanuel VIEILLARD-BARON, en collaboration avec d'autres auteurs, a écrit un livre gratuit remarquable de mathématiques, destiné aux élèves des CPGE scientifiques, de 1 ère année, de plus de 1200 pages : http://les.mathematiques.free.fr/pdf/livre.pdf ,

où, pour ce qui nous concerne ici, il donne, en particulier, des commentaires sur et des bibliographies courtes de Grassmann, de Leibniz et de Newton :

Bien que ces derniers, à leur époque, ne possédaient pas tout le formalisme et de toute la rigueur dont on dispose aujourd'hui, contrairement à moi :

Les auteurs mentionnent, en particulier, dans leur ouvrage, les faits suivants qu'on pourrait peut-être aussi me reprocher et pour lesquels je pourrais peut-être me reconnaître

(@Encore, qu'il ne faudrait, tout de même, pas exagérer, non plus, concernant les faits qu'on pourrait me reprocher, en comparaison de ceux qu'on pourrait reprocher à Grassmann, Cf. lien url, plus bas, même si dans mon cas et à mon époque je dispose de nombreux très bons modèles de textes mathématiques et des polices LaTeX@),

même si je ne cherche pas à me mesurer à et que je n'arrive pas à la cheville de ces 3 mathématiciens, à l'heure actuelle (J'ai 35 ans en 2017) :


p 469 : Chapitre 12 Dérivation des fonctions à valeurs réelles/ Pour bien aborder ce chapitre :


"Newton et Leibniz furent les premiers à tenter de formaliser la notion de dérivée.

Ils se disputèrent la paternité de cette invention mais il semble certain maintenant qu'ils l'ont découvert de manière indépendante et chacun via des formalismes différents.

Comme expliqué dans l'introduction du chapitre 10, la notion de limite n'a été développée que bien plus tard, au 19ème siècle par Cauchy et Weierstrass aussi la formalisation de la dérivation par Newton et Leibniz souffrait de nombreuses lacunes.

Newton refusa d'ailleurs de publier son travail et les écrits de Leibniz étaient obscurs et difficiles à comprendre."


Je n'ai pas encore publié mes travaux inachevés, dans une revue, mais je les ai exposés et divulgués, sur Les-mathematiques.net.

On remarquera, dans mon cas, même s'il est sans doute plus modeste, que Newton aurait pris la précaution de ne pas les publier, et on peut peut-être même supposer qu'il ne les aurait pas non plus divulguer.

Je crois aussi que Gauss, aussi, a préféré ne pas publier certains de ses résultats pour les mêmes raisons.


p 905 : Chapitre 24 Dimension des espaces vectoriels / Bio 21 :


"Hermann Günther Grassmann, né le 15 avril 1809 à Stettin et mort le 26 septembre 1877 à Stettin (Allemagne).

Hermann Grassmann est le troisième enfant d'une famille de douze.

Son père enseigne les mathématiques.

Devant les piètres qualités intellectuelles de son fils (mémoire peu fiable,trouble de la concentration, ), il pense faire de lui un jardinier ou un bijoutier.

Hermann Grassmann se rend néanmoins à Berlin en 1927 pour étudier la théologie.

Peu à peu, il se passionne pour les mathématiques qu'il découvre au travers des ouvrages écrits par son père.

En 1830, il retourne dans sa ville natale en tant que professeur de mathématiques.

Ayant raté son examen, il ne peut enseigner que dans les premières classes du secondaire.

Il commence en même temps ses recherches en mathématiques.

En 1840, il reçoit l'habilitation à enseigner dans les différentes classes de lycée et en 1844, il publie son ouvrage majeur "Die lineale Ausdenungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik".

Ses écrits sont confus et difficiles à suivre, aussi le livre n'aura que peu de lecteurs.

Grassmann est très frustré de ce fait car il pense que son travail est révolutionnaire et qu'il mérite un poste à l'université.

Il écrit une seconde version de son livre qu'il publie en 1862.

Mais malgré ses efforts de présentation, elle ne connaît pas plus de succès que la première.

Il faut attendre 1888 pour que le mathématicien Giuseppe Peano reprenne le travail de Grassmann et en précise toute la portée."


Avec un niveau moyen, en mathématiques, je me suis attaqué et je m'attaque toujours, quasiment seul, au problème difficile de la généralisation du cardinal quantitatif (notion optimale de quantité d'éléments) à toutes les parties de (bornées et non bornées), alors il est tout à fait normal, que je connaisse, rencontre et commette un grand nombre d'erreurs et d'écueils, sur ma route, et que je me sois beaucoup exposé, avec d'autres travaux, à en parler sur Les-mathematiques.net, cf. (*) :

Les mathématiciens professionnels ne s'exposent pas, comme moi, je l'ai fait, et ne montrent pas et même jamais, la part informelle, pourtant importante, conséquente, fondamentale et essentielle, de leurs travaux, et n'envoient ou ne postent ces derniers que quand ils estiment avec leurs pairs, qu'ils sont, parfaitement, au point :

Mais moi, je demandais de l'aide et je ne dispose pas de leurs moyens.

Comme dans de nombreux domaines, il y a encore un long chemin à parcourir, pour changer, faire évoluer et assainir les moeurs, les pratiques et les mentalités.

Cf. par exemple : L'ambivalence des mathématiciens face à l'image. Tension entre normes et usage

Entre ambition et humilité, il faut toujours cacher hypocritement nos ambitions, surtout si l'on dispose de peu de moyens.

Certes, j'ai un niveau moyen, en mathématiques, mais certains intervenants extrapolent des conclusions fausses, hâtives et non fondées, sur ce dernier, en se basant sur les discussions portant sur mes travaux de recherche mathématiques personnels, car, concernant ces derniers, j'ai et il y a tellement de choses à prendre en compte et en considération, de travail, de modifications, de rectifications et de versions successives et intermédiaires, à fournir, voire de retours en arrière, avant d'aboutir à une version finale potable exprimant toutes mes intuitions, parfois en les chamboulant en partie, qu'à chaque étape ou chaque stade, je ne peux avoir la présence d'esprit de penser, absolument, à tout, et qu'il reste, nécessairement, des zones d'ombre, des choses qui m'échappent ou qui m'ont échappées et des parties, des passages et des formules inaboutis, inachevés et imparfaits voire faux, régressifs ou en suspend ou n'ayant pas de sens ou tout leur sens, en l'état. Cf. (*).

Malgré tout ce qu'il pense de moi ou tout ce qu'il peut ou pourrait penser de moi, Emmanuel VIEILLARD-BARON finirait par recommander mes services de formalisation mathématique poussée, pour le meilleur (Cf. Mes productions scolaires, en mathématiques : http://www.philo-et-societe-2-0.com/t80-Mes-productons-scolaires-en-math-matiques.htm) et, aussi, pour le pire (Cf. mes mauvaises prestations sur Les-mathematiques.net), parce qu' il sait, inconsciemment, au fond de lui-même, qu'à force et avec le temps, le pire peut finir par devenir et se transformer en le meilleur.


Suite à ce qui est dit dans les chapitres qui suivent :

(*) Décidément la généralisation du cardinal quantitatif à toutes les parties de , est loin d'être évidente, et on pourra, sans doute, me pardonner et m'excuser, à juste titre, des très nombreuses modifications auxquelles elle m'oblige, et qui ne sont pas acceptables ou tolérables et qui font désordre sur les forums et en particulier sur Les-mathematiques.net, mais qui sont néanmoins nécessaires :

Pour une telle généralisation, il me faut retourner ma langue bien plus de 1000 fois avant de parler.

Et ce n'est pas parce qu'on a dépensé beaucoup d'énergie pour rien ou pour peu, qu'il faut baisser les bras :

C'est même tout le contraire, qu'il faut faire.

Remarque : Je ne me mesure pas à un Gauss, un Euler, un Poincaré ou un Tao, mais j'aspire à devenir, à tout le moins, un Cantor, concernant, globalement et dans leur ensemble, les mathématiques, la composition musicale et la philosophie de Tout, des sciences et de l'esprit, ainsi que morale.

Cantor a reçu une éducation plus sérieuse que la mienne, était plus précoce, plus brillant que moi, pendant ses études (Je ne l'ai pas été.) et socialement plus favorisé que moi, en outre, il ne perdit pas son temps, comme la plupart d'entre nous, aujourd'hui, même si l'espérance de vie était plus courte à l'époque, il termina ses études de mathématiques à 18 ans, puis enchaîna sur un doctorat :

Mais, même si sa théorie n'est pas fausse en elle-même, il me semble que je peux défier et mettre à mal les fausses contre intuitions qu'il est parvenu à inculquer, à faire croire aux et à imposer dans les têtes et dans les esprits de nombreux matheux et mathématiciens, concernant les infinis, cf. tous les articles concernés sur internet.

Déjà, on sait les mettre à mal, avec les cardinaux quantitatifs des sous-variétés (et en particulier celles qui sont des parties infinies) compactes, convexes, (connexes), de , de classe () et ( par morceaux),

mais je pense qu'on peut aller plus loin, quitte à ce que le cardinal quantitatif, lorsqu'on le considère sur ou sur (sous réserve de compatibilité des axiomes de définition) comme une notion qui ne soit plus une notion universelle, mais relative au repère orthonormé de et du plafonnement sphérique ou autre, à l'infini, autour de l'origine, que l'on s'est fixé, concernant, directement, cette classe de sous-ensembles non bornées de .


J'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre le cardinal quantitatif aux "seules" parties de , sauf peut-être pour définir la notion de "partition éligible ou admissible pour effectuer des calculs avec la notion de cardinal quantitatif"

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.

Il est vrai que sur le forum Maths-Forum, j'ai eu l'avis de quelques membres compétents, en mathématiques (et non pas de nombreux membres compétents, en mathématiques, comme le dit Lostounet, dans la fin de la 2ème discussion principale sur le cardinal quantitatif), mais cela a été et est loin d'être suffisant, surtout si on tient compte des évolutions de mes documents PDF, sur le sujet).

Sur le forum Maths-Forum, j'avais été banni, sous un de mes 2 pseudos, il y a 1 an (message actuel du 29/08/2017), je ne suis plus intervenu dans mes 2 discussions principales sur le cardinal quantitatif, pendant 1 an.

Mais, ne pouvant plus actualiser les liens que j'avais donnés, je suis intervenu sous mon autre pseudo, j'ai posté 2 messages identiques, 1 dans chaque discussion, jusque-là, ni vu, ni connu.

Mais quelques jours plus tard, j'ai commis l'erreur de poster un nouveau message, au lieu d'inclure son contenu, dans l'un de mes messages existants et je me suis fait pincer par Lostounet, qui a un statut de membre légendaire et qui avait eu un statut d'administrateur, mais qui avait toujours des droits {cachés|dissimulés|invisibles} d'administrateur ou de modérateur.

De toute façon, hormis sur mon forum, où je suis maître de la situation, mais qui n'a pas de visibilité, sur les autres forums qui ont plus de visibilité, et quelques fois sur mes messageries, j'ai l'art de me mettre à dos, la plupart des intervenants ou des interlocuteurs, et en particulier, ceux qui sont les plus à même de me répondre et de m'aider.

J'aimerais bien que ces intervenants qui m'ont quitté, reviennent, ils seraient peut-être surpris.

J'en suis toujours à discuter de la partie encore informelle de ma théorie, sur les forums, et cela ne passe pas, car cela fait désordre et que ces derniers, à tort, ne considèrent pas cela, comme des mathématiques, bien que cela soit souvent une partie essentielle et fondamentale de l'activité ou de la recherche mathématique :

De toute façon, les tabous règnent, et il est très mal vu dans le monde mathématique, de s'avancer avec ou d'affirmer des résultats non rigoureusement établis ou non rigoureusement formalisés.

Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome : "Si on enlève un élément à un ensemble infini, alors son cardinal quantitatif devient strictement plus petit de 1", que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" :

C'est une conception légitime de la notion d'infini.

Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime.

Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.


Mon ensemble , même si sa formalisation n'est pas encore achevée, ne s'apparente t-il pas à l'ensemble , de l'analyse non standard, ou n'en est-il pas proche ?

J'espère qu'il s'en distingue de façon notable, mais, même si tel n'était pas le cas, je crois avoir préparé et débroussaillé, suffisamment, le terrain, pour qu'on puisse commencer à voir les et qu'on puisse commencer à s'engager dans les réelles difficultés mathématiques concernant ma théorie :

Pour le moment, je crois savoir comparer les cardinaux quantitatifs, au moins, des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de et de , et de classe () et ( par morceaux).


Voici ce que dit un extrait de l'avant-propos de la 2nde édition du livre "Algèbre fondamentale et arithmétique" de Georges Gras et Marie-Nicole Gras, aux éditions Ellipses : "Algèbre et Arithmétique fondamentales" de Georges Gras et Marie-Nicole Gras, aux éditions Ellipses :

"De fait, contrairement à ce que certains pensent peut-être, les définitions (ou notions) constituent la part la plus inventive d'une théorie mathématique, donc la plus difficile à concevoir, d'autant plus que, historiquement, elles ont eu leur consécration postérieurement aux résultats qu'elles ont engendrés ! Autrement dit, les "bonnes" définitions n'ont pas été formulées tout de suite; on pourra périodiquement essayer de se convaincre de la profondeur d'une définition en fonction des résultats qu'elles a permis."

Ainsi, Lostounet sur Maths-Forum, et certains intervenants Des-mathematiques.net peuvent aller se rembarrer, sur le fait qu'en cherchant à définir une notion encore plus ou moins vague, plus ou moins informellement, avec plus ou moins de mal, de peine et de difficulté, et plus ou moins de succès, je ne faisais pas de maths.

Introduction

Voir, aussi, le début de Avant propos 1 (voir supra).

N'oubliez pas de consulter : philo-et-societe-2-0.com (voir supra)


Soit .

Je voudrais signaler l'existence d'un cardinal prolongeant la notion intuitive de quantité que nous en avons déjà dans le cas fini.

Cette notion bien qu'ayant des points communs avec l'équipotence, en est différente et l'affine.

La notion de cardinal au sens de la quantité, est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations et qui est belle et bien, et parfaitement, définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de (Cf. interventions de Michel COSTE, mais qui y est très peu présente :

C'est la notion optimale de quantité ou de nombre d'éléments concernant une classe de parties bornées de , par contre, il reste à la généraliser, ce qui permettrait de comparer les cardinaux au sens de la quantité, de parties appartenant à des classes de parties, de plus en plus larges :

Tout l'intérêt et tout l'enjeux de cette définition, est là.

Pouvez-vous me dire le cas échéant, les noms de ceux qui auraient déjà travaillé dessus ? : Les messages de Michel COSTE, peuvent peut-être vous renseigner.

Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui lui préfère une autre appellation que celle de "cardinal" : (voir supra)

Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): (voir supra)

Quant à l'extrait de livre de Jean Dieudonné : (voir supra)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et d'équipotence, doivent être distinguées :

Car on a bien et peut être mis en bijection avec .

Je crois que la notion de cardinal au sens de Cantor, a fait de l'ombre à la notion de cardinal au sens de la quantité, et d'une certaine façon, a usurpé sa place. De fait, on parle de cardinal au sens de la quantité, sous d'autres appellations, et on parle trompeusement de quantité, lorsqu'en fait on veut parler d'équipotence, de quoi semer la confusion dans les esprits, les induire en erreur, tromper et fausser leur jugement.

La notion de cardinal au sens de quantité, a ses limites, mais tant qu'on peut humainement travailler dessus, pourquoi ne pas le faire ?

Mais c'est bien avec les outils standards d'analyse, de topologie, de théorie des fonctions, et de théorie de la mesure et de l'intégration sur , puis , , etc, qu'on obtiendra des relations entre les cardinaux de parties appartenant à des classes de parties, plus larges.


La notion que je mentionne, existe, bel et bien, dans la littérature, mais de façon disparate et sous d'autres appellations :

Ces appellations masquent le sens originel de cardinal au sens de la quantité.

Je veux qu'on réhabilite cette notion, sous son vrai nom, et qu'on arrête de tromper et de fausser les esprits, en détournant leur regard sur le cardinal de Cantor et en leur faisant croire que a le même nombre d'éléments que , parce qu'on peut les mettre en bijection, et que l'infini est contre intuitif :

Le cardinal de Cantor donne une certaine idée, une certaine information ou un certain ordre de grandeur de la quantité, mais pas la quantité elle-même.

Si vous ne m'aidez pas à la réhabiliter : Qui va le faire ?

Mon projet est totalement légitime, et malgré le fait qu'il le soit, vous préférez d'une certaine façon, rester dans votre dogmatisme réglementaire, et entretenir et conforter les croyances fausses autour du cardinal de Cantor.

Je sais qu'il y a un travail à faire pour présenter cette notion clairement et exhaustivement, et je pense que les travaux sur cette notion, ne sont pas achevés et ne le seront jamais, mais qu'il y aura des progrès continus, pour l'éternité.

La notion de cardinal au sens de la quantité, présentée par Michel COSTE, concerne les variétés ou du moins les sous-variétés compactes, convexes, (connexes), de classe () et ( par morceaux).

Rappel : Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) de est dite ou est dit de classe ou de régularité (par exemple de classe ou de régularité pour un ), si son bord est de classe ou de régularité (par exemple de classe ou de régularité pour le même précédent).

Je pense qu'on peut comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité, de parties bornées quelconques de , ayant une décomposition en un nombre fini de sous-variétés ouvertes, bornées, simplement connexes, voire connexes, de , de classe , et de dimension allant de à , ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de sous-variétés fermées, bornées (c-à-d compactes ou à bord), simplement connexes, voire connexes, de , de classe , et de dimension c-à-d en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons de , et je pense qu'on peut comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité, de parties de , délimitées seulement par la courbe d'une fonction (par exemple brownienne), et qu'on peut aller plus loin (non  : par exemple par morceaux, sur un nombre fini de morceaux, ), après viendra, les parties de , délimitées par certains bords ou . NB : Le cas particulier des complémentaires de parties bornées, se déduit immédiatement du cas borné.

Décomposition d'une partie bornée de (voir infra)

Une des idées, est que le cardinal de l'épigraphe d'une fonction définie précédemment, bornée, est égal au cardinal de l'épigraphe de la droite dont la fonction correspondante est la fonction constante sur , de constante, la moyenne des valeurs sur tous les de , avec la mesure (le cardinal au sens de la quantité relatif au repère orthonormé ).

Je donne l'ébauche, sans cesse actualisée, du travail que j'ai fait : Je ne suis pas à l'abri d'erreurs ou de failles, mais dans tous les cas, je pense que des travaux de généralisation, sont possibles.

Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de (26)") (voir infra)

Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité, des parties bornées de , ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, ou bien ouvertes, bornées, simplement connexes, voire connexes, ou bien fermées, bornées (c-à-d compactes ou à bord), simplement connexes, voire connexes, de , de classe , et de dimension allant de à , ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de sous-variétés fermées, bornées (c-à-d compactes ou à bord), connexes, de classe , et de dimension c-à-d en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons de (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes) :

Mais, je pense, en fait, qu'il doit être possible de comparer, entre eux, ceux des parties bornées quelconques et même ceux de parties bornées quelconques de (resp. de ), ayant une décomposition dénombrable finie ou infinie, en sous-variétés ouvertes, bornées ou non, simplement connexes, voire connexes, de , de classe , et de dimension allant de à , ainsi qu'en une quantité dénombrable finie ou infinie, en plus ou en moins, de sous-variétés fermées, bornées (c-à-d compactes ou à bord) ou non, simplement connexes, voire connexes, de , de classe , et de dimension c-à-d en une quantité dénombrable finie ou infinie, en plus ou en moins, de singletons de (resp. de ).

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie, ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


NB : Ne tenez pas compte de toutes mes interventions dans ma discussion avec Michel COSTE, ou dans d'autres discussions connexes, sur Les-mathematiques.net :

J'ai fait traîner en longueur, la définition et la construction d'objets mathématiques, que j'ai eu beaucoup de mal à exprimer, avec en plus des choses fausses ou erronées : Sur un sujet, plus classique, plus encadré et plus académique, une telle chose ne se serait pas produite.

Mes premières ébauches de tentatives de généralisation, sur les forums, sont bonnes à mettre à la poubelle : J'ai aujourd'hui une autre approche bien meilleure.

Désolé, pour le raffut que j'ai pu causer sur Les-mathematiques.net, en particulier dans mes dernières discussions (16 novembre 2012), à cause d'un maintient obstiné d'une idée erronée et parasite qui trottait dans ma tête :

Comme, je l'ai dit, il y a un certain nombre de généralisations de cette notion, à faire, pour pouvoir comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité de parties appartenant à des classes de parties, de plus en plus larges.


Remarque préliminaire importante : Pour la définition de  : Cf. plus haut ou plus bas : En particulier, on trouvera la définition de et de


La notion de cardinal au sens de la quantité, prolonge la notion intuitive de quantité que nous avons déjà dans le cas fini (càd les parties finies de ), et est plus fine que la notion de cardinal au sens de l'équipotence et c'est une "mesure" qui ne néglige aucun point dans .

Les mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff de dimension , , dans ,

(Le cas étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de Hausdorff"

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2013/poly_integration_mai2013.pdf

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de Hausdorff

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.1 Mesures de Hausdorff/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.3 Définition alternative de la mesure de Lebesgue/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées),

sont telles que si , elles négligent chacune, respectivement, des points isolés, respectivement, des points isolés et des points de courbes, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension , , respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension et et des points d'espaces de dimension .

La "mesure" cardinal au sens de la quantité, qui ne veut négliger aucun point, se doit de composer avec toutes les "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension , , dans , , la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" de Lebesgue généralisée ou la mesure de Hausdorff de dimension , .

Soit un repère orthonormé de , d'origine .

Soit .

Nous désignons le cardinal au sens de la quantité d'une partie ou d'une partie par et son cardinal au sens de l'équipotence par .

On a

et on a

alors que

Applications :

1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts, dont l'un est plus gros que l'autre, et où l'on peut stocker une donnée, en chaque point, alors le plus gros disque dur cubique, aura une plus grande capacité de stockage que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale, à celle de l'autre disque (équipotence).

2) Dans une bouteille de , on stocke plus de matière continue, que dans une bouteille d'.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de cardinal, au sens de la quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète, ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange d'une matière continue et de matière discrète :

Le cardinal, au sens de la quantité, mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue, n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de quantité est plus fine que celle d'équipotence, qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.

Il reste un certain nombre de généralisations, permettant de comparer les cardinaux au sens de la quantité, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.

Restera à généraliser cette notion aux parties de , , , etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

La notion de "volume" ou de "mesure" de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff de dimension () sur , le fait que soit un espace vectoriel topologique (éventuellement normé), le fait que soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de cardinal, au sens de la quantité sur , qui ne néglige aucun point, aucune courbe, aucune surface, aucun espace de dimension , , aucun espace de dimension  :

Comment généraliser ces notions, ou trouver des notions affaiblies, qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui ne dépendent que des  ?


Définir une notion viable de cardinal quantitatif définie sur et sur est un défi, car cela revient ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement que Cantor, mais cela ne devrait pas tous nous décourager pour autant.

La notion de cardinal équipotentiel n'exclut pas celle de cardinal quantitatif, et vis versa, après, tout n'est question que de définition de ce qu'on entend par quantité d'éléments :

Si on entend par quantité d'éléments, le cardinal équipotentiel, alors le cardinal quantitatif n'est pas la quantité d'éléments et inversement, et je ne compte pas me faire piéger à ce jeu là.

Par ailleurs, Cf. Le cas d'inclusions strictes d'ensembles infinis qu'on peut mettre en bijection :

La quantité d'éléments d'un ensemble strictement inclus dans un autre, ne peut être que strictement plus petite que celle de ce dernier, et, en particulier, si ces ensembles sont infinis et peuvent être mis en bijection.

Sinon, on peut, aussi, poser en axiome, le fait que si un ensemble est, strictement, inclus dans un autre, alors, nécessairement, sa quantité d'éléments est, strictement, plus petite que celle de l'autre.

Bien sûr, la notion de cardinal équipotentiel est parfaitement définie pour toutes les parties de , alors que celle de cardinal quantitatif est, au moins, définie sur la classe des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux), mais reste à définir, en dehors de cette classe :

Ce qui donne, pour le moment, l'avantage à la première.

Et peut-être même que la notion de cardinal quantitatif est définissable, en dehors de cette classe d'ensembles, mais pas humainement ou alors qu'on arrivera à la définir sur des classes de sous-ensembles de , de plus en plus larges, mais sans jamais parvenir à épuiser le sujet :

Dans le 1er cas, en dehors de cette classe d'ensembles, elle nous serait inaccessible, et nous continuerions d'utiliser la notion de cardinal équipotentiel, qui elle nous est accessible et ne serait pas la meilleure, et nous continuerions d'appeler, à tort, ordre de grandeur de la quantité, la quantité elle-même et de les confondre, à tort, alors que la notion de cardinal quantitatif serait la meilleure notion et la notion optimale de quantité d'éléments, bien qu'inaccessible, en dehors de cette classe d'ensembles, pour nous humains.

[ et sont des prolongements de  :

La notion de cardinal quantitatif, s'il est possible de la généraliser, est -additive concernant une classe de parties bornées de , mais ne l'est pas concernant les parties de , en général, j'ai donc pensé à introduire et , pour lesquelles des parties bornées de et en particulier , peuvent être des parties de diamètre fini, mais aussi des parties de diamètre infini, de et pour lesquelles la -additivité s'applique.]

(Pour la définition de , se reporter plus loin.)

Cela risque d'être terriblement compliqué de la généraliser et d'en donner des formules plus générales, mais cela en vaut vraiment la chandelle :

Jusqu'ici, on a su le faire, dans ZFC, pour les parties compactes, convexes, (connexes), de et de classe () et ( par morceaux), invariantes par isométrie, où cette notion est, ici, une mesure.


[(*) L'axiome 2) de -additivité ou d'additivité dénombrable, qui est l'un des axiomes de définition d'une mesure, ne fonctionne que sur une classe de parties bornées de .

Donc dans le cas général, il faut affaiblir 2), en le remplaçant par l'axiome d'additivité finie.

De fait, le cardinal quantitatif qui est une mesure définie sur la classe de parties bornées de , précédente, ou plus, précisément, sur la classe des sous-variétés compactes, convexes, (connexes), de , de classe () et ( par morceaux), n'est pas une mesure définie sur .

Pour compenser, je donne des axiomes concernant les intervalles non bornés de (ou les intervalles de , tels que , qui sont un cas particulier de parties bornées de  :

En effet, concernant ces dernières, on peut avoir des intervalles bornés de tels que ).

(NB : Pour la définition de , (voir infra)

Peut-être que ça ne suffira pas pour traiter tous les cas.]

Pour que ma notion de cardinal puisse fonctionner, il faut se placer dans un cadre presque totalement neuf.

La notion de cardinal quantitatif sur est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.


Digression :


Je ne pense pas que sur le très long terme, nous puissions tous utiliser le même système (Ca n'est déjà plus le cas), et même si les mathématiques peuvent être indépendantes de notre réalité locale (sauf celle de notre esprit), je pense entre autre qu'en physique et en informatique, suivant la nature des réalités auxquelles nous serons confrontés, nous devrons plutôt utiliser tel système plutôt que tel autre :


Bref, je pense à l'éclatement et à l'explosion des systèmes logiques, et non à leur réunification artificielle, essentiellement ZFC, qui nous va si bien pour le moment.


Après tout, pourquoi vouloir l'unité des mathématiques : Tout dépend de l'utilité que nous voulons en faire : C'est probablement un vieux débat, comme celui entre les constructivistes et les autres.

Il n'empêche qu'intuitivement, des êtres qui peuvent stocker d'un seul coup ou en un temps fini, tous les nombres entiers (resp. tous les nombres réels), dans leur mémoire, sont probablement, plus, en mesure, que nous, de se représenter, l'axiome du choix et de proposer des variantes ou des axiomes similaires ou analogues.

Construction et définition

N'oubliez pas de consulter : philo-et-societe-2-0.com (voir supra)


Remarque importante préliminaire : Pour la définition de  : (voir infra) : En particulier, on trouvera la définition de

Remarque

Soit .

Remarque : Soient , deux repères orthonormés de , d'origines respectives

alors, si , on a :

et si et bornée, alors on a : .


Soit un repère orthonormé de .

On pose, pour simplifier, .


0) Soient , des ensembles finis, alors :


1) Soient , des ensembles infinis, alors :

mais


2) Voici les liens qui existent entre le cardinal équipotentiel (utilisant la notion de bijection) et le cardinal quantitatif :

Soient , des ensembles, alors :

Plafonnement sphérique, à l'infini, {associé à|de} , autour de l'origine d'un repère orthonormé direct de

Soit .

Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et si , est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et si , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .


De plus, il semble qu'on ait : .


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace muni d'un repère orthonormé direct , d'origine , admet comme plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine, , on a alors :


et

.


Mais,

et même

et

et même .


On peut avoir :

ou ou .


On peut avoir :

ou ou .

Définition d'une chaîne exhaustive de sous-ensembles de (resp.de ), pour l'inclusion, allant de l'ensemble à l'ensemble (resp. à l'ensemble ) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct de (resp. de )

Soit .

Soit un repère orthonormé direct de (resp.de ),

on considère, que est une chaîne exhaustive de parties de (resp.de ), pour l'inclusion, allant de l'ensemble à l'ensemble (resp. à l'ensemble ) (c-à-d maximale), et contenant

c-à-d :

resp.

et

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant l'axiome de définition :


Comme resp. ,

on a et comme est totalement ordonnée pour ,


on obtient donc que est totalement ordonné pour .


Par ailleurs, on a .


Donc chaînes exhaustives de parties de , pour l'inclusion, allant de l'ensemble à l'ensemble de (resp. à l'ensemble ) (c-à-d maximale), et contenant ,



et

Définition du cardinal quantitatif

Définition

Soit .

Remarque : Dans la suite, on peut remplacer , par .

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .


Soit un repère orthonormé de , d'origine .


où est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,


définie par une formule exprimant en fonction de et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel Coste,

dans La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

ou dans les propositions suivantes : Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE (voir infra) et Proposition (voir infra)

ou dans Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de (26)").


elle doit, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur les cardinaux au sens de la quantité) :

avec les notations suivantes :

a) vérifie (Conditions MC) ssi , sous-variété compacte, convexe, (connexe) de et de classe () et ( par morceaux).

b) vérifie (Conditions MC élargies) ssi , sous-variété compacte, convexe, (connexe) de et de classe () et ( par morceaux).

c) vérifie (Conditions MC+) ssi , bornée, ssi

d) vérifie (Conditions MC élargies +) ssi , bornée, ssi

ssi ou


1)

[a) et vérifiant (Conditions MC ou MC+)}, ]

b)

c)

2)

a1) vérifiant (Conditions MC),

ou

vérifiant (Conditions MC élargies),


Il en découle avec 1)b), en particulier que :

vérifiant (Conditions MC),

ou

vérifiant (Conditions MC élargies)



Remarque :

vérifiant (Conditions MC élargies)



a2) REMARQUE IMPORTANTE : OBSTACLE ET FACTEUR, POUR L'INSTANT, LIMITANT DE "MA THEORIE" :


Dans le cas des parties bornées de de la classe des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de de classe () et ( par morceaux), Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je me refuse à le croire, je crois qu'on peut construire , même si ce ne sera pas, forcément, une mesure au sens usuel, sur ou sur

L'axiome 2) a1) de -additivité n'est pas valable pour une classe de parties bornées plus large de , donc à fortiori, aussi, pour une classe de parties bornées de plus large que celle des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de de classe () et ( par morceaux).


(1) Remarque :

Soit

a)dans ma théorie, on peut avoir , et dans ce cas on a

b)dans ma théorie, on peut avoir , et dans ce cas on a

Fin Remarque


(2)Proposition :

Soit , bornée dans .

Si et et

alors

(sous réserve de conditions supplémentaires si on remplace par , mais sans nécessairement considérer bornée)

Fin Proposition

3)

A)

a) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou intervalle de , vérifiant (Conditions MC ou MC+)

, pour toutes les isométries de ou de ,

En particulier :

a1) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou intervalle de , vérifiant (Conditions MC ou MC+),

a2) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou intervalle de , vérifiant (Conditions MC ou MC+),

,

,


Si les axiomes donnés dans 3) A), ne suffisent pas, on considerera les axiomes donnés dans 3) B).


B)

a) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou , vérifiant (Conditions MC ou MC+)

, pour toutes les isométries de ou de ,

En particulier :

a1) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou , vérifiant (Conditions MC ou MC+),


a2) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou , vérifiant (Conditions MC ou MC+),

,

,


C) ,

,


D) ,

,


F)

a)

(Axiome en cours d'étude)


b)

si

(Axiome en cours d'étude)

Remarque (Sous réserve) : Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.

4)

ou


5) Soient un repère orthonormé de ou de d'origine .

,,

@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct .@

En particulier, si et vérifient (Conditions MC ou MC+).


Il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :

a) , (Dans au moins le cadre des conditions MC ou MC+),


b) ,(Dans au moins le cadre des conditions MC ou MC+),


Il découle, en particulier, de 5), sous réserve de la remarque associée, que :

Si sont des intervalles de ou si sont des intervalles de , alors:

et donc en particulier


Le cardinal quantitatif est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel, qui ne néglige aucun point de et qui est uniforme ().

Remarque (à propos de la -additivité)

Soit .

1) est une mesure, sur la tribu "L'ensemble des parties bornées de , d'une classe particulière".

2) ne peut être une mesure, au sens usuel, sur , car elle ne vérifie pas la -additivité, en général.

3) ne vérifie pas la -additivité, en général, sur , car : '

qui sont toutes 2 des réunions disjointes

et donc si était -additive,

on aurait :

et on aurait aussi


Or

et donc .

Contradiction :

Donc, n'est pas -additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a de fortes chances, qu'on doive donner des axiomes de normalisation et que dans le cadre de ma théorie, en cherchant à définir la notion de partition de acceptable ou admissible ou éligible pour pouvoir mener à bien, les calculs avec le cardinal quantitatif, sans obtenir de contradiction.


Il y a peut-être quelques axiomes à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


Je crois avoir mieux que cette définition des partitions de acceptables ou admissibles ou éligibles pour pouvoir mener à bien, les calculs avec le cardinal quantitatif :

Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements à l'infini de autour de l'origine , du repère orthonormé de .


Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notations :

et

qui sont toutes 2 des réunions disjointes

et on a :

et on a aussi

Or

et donc

et même

et il n'y a aucune contradiction :

On a bien .

Mais il y a quand même une interrogation :

A-t-on bien :

et

 ?

En tout cas, comme, et , on a :

, qui n'a pas de sens, puisque ce n'est ni une limite d'une suite croissante de parties de , ni une limite d'une suite décroissante de parties de ,

et

, qui n'a pas de sens, puisque ce n'est ni une limite d'une suite croissante de parties de , ni une limite d'une suite décroissante de parties de .

et on a :

,

sous réserve que l'on ait : , ce qui n'est pas sûr,

donc, en partant de là : ,

donc ,

et

,

sous réserve que l'on ait : , ce qui n'est pas sûr,

donc, en partant de là : ,

donc .

Définition (Partition admissible pour effectuer des calculs avec la notion de cardinal quantitatif), vraisemblablement inutile

NB : Je crois avoir mieux que cette définition, les résultats seront différents suivant le choix du plafonnement à l'infini de autour de l'origine , du repère orthonormé de .

Remarque : Ici, on peut remplacer par .

Soient , non bornée, et , non bornée ou [mais on ne sait pas encore le définir] , non bornée à droite, telle que .

est une partition de , admissible pour effectuer des calculs avec la notion de cardinal quantitatif.

est une partition de

et

et

telle que (strictement croissante, avec ),

soit telle que telles que , avec strictement croissante telle que et oscillante,

et soit telle que (c-à-d ),

et soit telle que ou ,

(condition, en particulier, vérifiée, si ou ),

en posant .


Remarque : Soient ou .

Remarque : On peut avoir à considérer le cas : , non bornée et , non bornée et admettant un minimum, et et bornée et et , (donc nécessairement bornée, mais infinie pour certains , même lorsqu'elle est dénombrable) et partition d'intervalles et/ou de singletons, de et partition de  : Et dans ce cas est une partition de .

Cas des intervalles de ou de

Soit un repère orthonormé de ou de , d'origine .

Préliminaires :

Notations

Soit .

Soit .

est l'intérieur de dans |par rapport à (on note aussi )

est l'adhérence de dans |par rapport à (on note aussi )

désigne la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension , dans , de tribu de départ

désigne la mesure de Lebesgue ou de Hausdorff, de dimension , sur , c-à-d la mesure de comptage sur , de tribu de départ

, notée, encore, , désigne le prolongement de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension , sur , de tribu de départ telle que

et telle que

Remarque

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Soient et , deux intervalles de , non vides et non réduits à un singleton (ou deux intervalles de , non vides et non réduits à un singleton) pour lesquels les milieux respectifs de et ou de et existent et sont notés et , alors on remarque que :

1)

En effet

2)

c-à-d

c-à-d

c-à-d

c-à-d

c-à-d

Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE)

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Soient et , deux intervalles de , non vides et non réduits à un singleton (ou deux intervalles de , non vides et non réduits à un singleton) pour lesquels les milieux respectifs de et ou de et existent et sont notés et , alors a :


Démonstration :

Si on suppose que et sont bornés dans ou dans , sans s'assimiler à des "demi-droites" de , alors :

On pose :

,

,

On a :

En effet,on a (proposition):

Si  :

donc

or

car

donc

donc

donc

donc

donc comme ,

,

donc

donc

donc

donc

Remarque : On montre facilement le résultat pour et

or ,

donc ,

or ,

donc ,

donc

or et et

donc

or et et

donc

Axiome de normalisation :

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Soit .

Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et si , est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et si , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .

De plus, il semble qu'on ait : .

En posant :

Axiome :

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Soit .

Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et si , est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et si , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .

De plus, il semble qu'on ait : .

En posant :

Donc, comme et que cete réunion est disjointe, on a :

[c-à-d ]

On remarque que :

et

et

et

et

donc

donc

et

donc

Tout le reste, sauf un axiome, se déduit des axiomes et propositions précédents :

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .


Remarque : Cet axiome et les résultats qui suivent sont, également, valables, lorsqu'on remplace par (resp. ), par (resp. ), et par (resp. ).

On pose : et .

On pose : .

Soit

alors

Axiome :

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Remarque : Cet axiome et les résultats qui suivent sont, également, valables, lorsqu'on remplace par (resp. ), par (resp. ), et par (resp. ).

On pose : et .

On pose : .

On en déduit que

Soit

donc

donc

Soit

donc

donc

Soit

Définition (dimension d'une partie ou d'une sous-variété de )

Soit .

Soit .

Soit .

Alors

et .

Théorème (formule de Steiner-Minkowski, pour les polytopes de , de dimension )

Soit .

Soit

.

Soit .

On pose .

Alors

où est l'origine du repère orthonormé de .

On a , et .

La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Remarque :

La formule de Steiner-Minkowski ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de , il va falloir creuser d'avantage.

Théorème (formule donnant le cardinal quantitatif d'un polytope de , de dimension , en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle )

Soit .

Soit

.

Alors

telle que

et telle que

où

où

où est l'origine du repère orthonormé de

et où est la suite de coefficients donnée par la formule de Steiner-Minkowski.

Et on a : .

Remarque : On peut aussi poser telle que

et telle que .

La saga du "cardinal" version 4, Théorème de Hadwiger (voir supra)

Remarque : On aurait pu poser , c-à-d inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel Coste, qui est, ici, notre référent et notre guide.

Proposition

Soit .

Soit

.

Soit

.

, c-à-d vérifiant les conditions MC,

La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Corollaire (formule donnant le cardinal quantitatif d'une sous-variété compacte, convexe, connexe de , de classe [] et [ par morceaux], de dimension , en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle )

Soit .

Soit

.

Soit

.

Soit , c-à-d vérifiant les conditions MC, alors telle que

En utilisant, Berger, on montre que et que existe et ne dépend pas de la suite choisie de la proposition précédente,

en posant pour toute suite choisie de la proposition précédente.

et comme

où

où

où est l'origine du repère orthonormé de

et où est la suite de coefficients donnée par la formule de Steiner-Minkowski

et où

et où .

On a :

,

et on peut définir grâce au théorème de prolongement des applications continues par un point :

, telle que .

On a :

et ,

et on peut définir grâce au théorème de prolongement des applications continues par un point :

, telle que .

Et on a :

, telle que , encore notée ,

c'est l'application , où a été défini, précédemment,

et

, telle que , encore notée ,

c'est l'application , où a été défini, précédemment.

et

, telle que

et telle que

notée, encore,

et telle que

,

c'est l'application , où a été défini, précédemment,

et on a : , et

et

Remarque : On peut aussi poser , telle que

et telle que

et telle que

et notée, encore, ,

c'est l'application ,

où et où et où et où a été défini, précédemment.

La saga du "cardinal" version 4, Formule de Steiner-Minkowski, Volume mixte, Théorème de Hadwiger (voir supra)

Remarque :

Le corollaire précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux),

c-à-d, en particulier, telles que c-à-d telles que ou .

Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif

Exemples 1

NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.

[Citation de "Matheux philosophe"]

[Citation de "bolza"]

"L'infini" de l'intervalle est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle  ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui".

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de que dans un fil de .

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de (ou de ) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.

On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre.

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est une infinité.

Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de et pour le fil de c'est la "même" infinité.

(car, il y a une bijection entre et et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.

Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance un à un entre les éléments des deux ensembles)

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles et ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens.

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur".

En effet la longueur de l'intervalle , c'est et la longueur de l'intervalle c'est , et .

En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur".

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique.

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de , ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de , quand tu es passé de à , tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur.

[Fin Citation de "bolza"]

Soit .

NB : Le cas d'une classe de parties bornées de , c-à-d de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de , de classe par morceaux, a été traité, entièrement, par Michel Coste, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.


NB : Cf. aussi page 2 de cette discussion, message du 10 août 2015 17:36, en étant logué, ainsi que les quelques messages qui lui succèdent, sur certaines précautions à prendre, étant donné que n'est pas une mesure au sens usuel sur , en cherchant à définir la notion de partition acceptable ou admissible ou éligible pour pouvoir mener à bien, les calculs avec le cardinal quantitatif, sans obtenir de contradiction.

Soit un repère orthonormé direct de , d'origine .

et la réunion est disjointe.

Donc

alors que

Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et si , est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et si , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .

De plus, il semble qu'on ait : .

On considère le plafonnement carré, à l'infini de , autour de l'origine du repère orthonormé direct  : .

Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :

Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :

"2 calculs du cardinal quantitatif de aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} , différents, autour de l'origine d'un même repère orthonormé direct de ."

On a :

On peut retrouver cette formule de la façon suivante :

Comme et que la réunion est disjointe,

c-à-d, en posant et ,

comme et que la réunion est disjointe,

on a :

alors qu'on a :

(Remarque : On aurait pu remplacer par et par .)

ou plus simple :

On a :

On peut retrouver cette formule de la façon suivante :

Comme et que la réunion est disjointe


c-à-d en posant : et

comme et que la réunion est disjointe,

on a :

alors qu'on a

et plus généralement :

Soit .

Si et et

alors

alors que

Remarque : et

Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités impliquant à la fois le cardinal quantitatif et le cardinal équipotentiel] :

Une égalité n'impliquant que des cardinaux quantitatifs ou que des cardinaux équipotentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal équipotentiel et le cardinal quantitatif.

Comme d'une part, on a :

et d'autre part, on a :

.

On obtient la formule :

[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]

Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de (26)" )

Soit .

Soit un repère orthonormé direct de , d'origine et .

On désigne par , le cardinal quantitatif relatif au repère et .

Remarque : La notion de cardinal quantitatif est une notion plus fine que celle de cardinal équipotentiel (ou de Cantor) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait, pour le moment, la définir que sur une classe de parties bornées de , contrairement au cardinal équipotentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de .

Remarque préliminaire 1

Soit

Soit ,

et , le graphe de

et , l'épigraphe de  :

1) Alors si est fini dénombrable :

2)

3)

4) Soient .

a)

b) Soit  :

Comme , on a :

Proposition 2

Soit .

Soit .

On pose

où est l'origine du repère orthonormé de et .

Soit suite de coefficients définie dans le corollaire (voir supra).

On pose .

On pose .

Alors on a :

et

et on a , et

et

La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Proposition 3

Soit un intervalle de

Pour tout , et

De plus, si est (peut-être bornée) (peut-être aussi convexe) :

Cette proposition est fausse, nous allons la corriger.

Soit

Soit

.

Soit , alors .

Alors

Soit .

Alors .

Soit .

Si ,

alors ,

c-à-d

c-à-d

Soit ,

On pose

Ici ,

or compact, connexe de et continue sur donc est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme ,

donc

or

car compact, connexe de , et sur donc continue sur donc est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme ,

donc

donc

donc

mais on a

donc

c-à-d

c-à-d

Vérification de la formule :

On a :

donc

donc

c-à-d

Sous réserve : Attention, si , comme  :

Généralement on n'a pas :

Remarque importante 4

Si alors et

En particulier si

alors

Proposition 5

Soit  : partition de , telle que est soit un intervalle de , soit un singleton de , soit .

Soit .

Alors

Cas des parties non bornées de (Il y a une condition d'éligibilité ou d'admissibilité, à prendre en compte, concernant les partitions de , éligibles ou admissibles, pour établir des calculs avec le cardinal quantitatif)

Soit

Soit

alors

Soit

Soit

avec

alors

Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer le cardinal quantitatif de n'importe quelle partie de .

Revenons aux parties bornées de , en particulier aux parties compactes, convexes, (connexes), de , avec

Or d'après l'un des PDF de Michel Coste :

donc

c-à-d

c-à-d

c-à-d

c-à-d

Décomposition d'une partie bornée de

Soit .

Soit .

Soit , une sous-variété bornée, simplement connexe de , non vide, de dimension , dont le "bord" est non vide et de classe "non " sauf concernant .

Si , on pose et si , on définit comme le "bord" de la sous-variété , en supposant que est une réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes de , non vides, de dimension , dont le "bord" est non vide et de classe "non "

(Si , on a . Le "bord" de n'importe quelle sous-variété bornée, simplement connexe, de , de dimension , se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si , , on définit , en supposant que est une réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes de , non vides, de dimension , dont, sauf concernant , le "bord" est non vide et de classe "non ".

On a :

Si ,

et

.


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http://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/

2 calculs du cardinal quantitatif de aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} , différents, autour de l'origine d'un même repère orthonormé direct de

Soit et soit est un repère orthonormé de d'origine .

Remarque : J'hésite, ici, à utiliser la notation , plutôt que la notation usuelle  :

Bien que je veuille qu'elles désignent le même objet, je ne suis pas sûr que tel est bien le cas, et de fait leurs propriétés pourraient être différentes.

En effet, usuellement et ,

et dans ma théorie, .

Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et si , est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et si , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .

De plus, il semble qu'on ait : .

1) Suivant un plafonnement carré, à l'infini, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés et noté  :

Ici, on considère que  :

et que : .

On remarque :

D'une part, que

partie compacte, convexe, (connexe), de et boule particulière de

et

et d'autre part, que

partie compacte, convexe, (connexe), de et boule particulière de

et

donc

2) Suivant un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine, noté  :

Ici, on considère que : .

On remarque que :

partie compacte, convexe, (connexe), de et boule euclidienne de

et

donc

Comme on sait que

et que

,

on a

Je crois que , mais je n'en suis pas certain.

Partant de là :

En quelque sorte, comme :

et donc

et comme

donc ,

et comme strictement croissante,

et comme

et comme ,

on a :

c-à-d

donc

(et on peut peut-être supprimer les guillemets concernant la ligne ci-dessus),

et donc

c-à-d

car

car donc

et strictement croissante.

Remarque :

Dans ce qui suit, il y a vraisemblablement quelques mises au point à faire.

(*) Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et si , sont des familles de parties compactes, convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et si et si et , on préfère les notations plus précises et dépendantes des familles et  : et .

De fait, on peut avoir : .

De plus, il semble qu'on ait : .

(1) Si de plus par rapport à (*), et , alors on a

(2) Si de plus par rapport à (*), , alors on a

(et on peut peut-être supprimer les guillemets concernant les 2 lignes ci-dessus).

(3) Si de plus par rapport à (*), ,

alors on a et ,

(4) Si de plus par rapport à (*), , alors on a ,

donc, en particulier, si de plus par rapport à (*), et ,

alors on a

De fait, contrairement avec la notation de limite usuelle, le fait d'avoir ne pose pas de problème et n'entraîne aucune contradiction.

Définitions de , , , , , et

N'oubliez pas de consulter : philo-et-societe-2-0.com (voir supra)

Remarque importante préliminaire :

On prolonge , par une infinité continue de nombres infinis positifs.

On pourra construire, de même, le prolongement de et donc aussi de .

Ensuite, il faudra étendre les mesures de Lebesgue, en remplaçant l'ensemble d'arrivée, par ledit prolongement :

On pourra alors, mesurer et distinguer, lorsque tel est le cas, les longueurs de 2 courbes infinies, les aires de 2 surfaces infinies, les volumes de 2 espaces tridimensionnels infinis, etc, .

A) Définition :

1) a) , soit , continue, strictement croissante telle que

et pour laquelle , telles que ,

avec continue, strictement croissante, telle que , et continue, oscillante.

Ce qui se note

ou bien , s'il n' y a aucune confusion possible.

b) Soit , continue, strictement croissante telle que

et pour laquelle , telles que , avec continue, strictement croissante, telle que , et continue, oscillante.

Ce qui se note

ou bien , s'il n' y a aucune confusion possible.

c) Soit et , continue, strictement croissante telle que

et pour laquelle , telles que ,

avec continue, strictement croissante, telle que , et continue, oscillante.

Ce qui se note

ou bien , s'il n' y a aucune confusion possible.

B)

1)Axiome :

On pose

(en remplaçant, algèbriquement, dans l'expression élémentaire "" au voisinage de , où , "" par "", même si ),

si a une expression élémentaire au voisinage de , dans ,

où .

2) a)

et telles que ,

avec continue, strictement croissante, telle que , et continue, oscillante .

b) ,

et telles que ,

avec continue, strictement croissante, telle que , et continue, oscillante .

c)

d)

3) Définition ou axiome (l'un ou l'autre) (relation d'équivalence et relation d'ordre totale):

Ma relation d'équivalence entre 2 fonctions réelles est définie par :

Soient

et dans ce cas, on identifie les nombres infinis positifs et resp. aux fonctions et ,

et on leur impose de vérifier la relation

et on peut même définir une relation d'ordre, totale, pour laquelle la relation d'ordre stricte est définie par :

et dans ce cas on identifie les nombres infinis positifs et resp. aux fonctions et ,

et on leur impose de vérifier la relation

C) Remarque importante :

J'ai besoin de fonctions , à minima continues, strictement croissantes, tendant vers , quand leurs variables tendent vers ,

définies sur des intervalles du type ,

où

(resp. sur ),

pour lesquelles il n'existe pas de fonctions et , telles que ,

avec continue, strictement croissante, tendant vers , quand sa variable tend vers , et continue, oscillante :

(Remarque : J'ai un peu de mal à me dépatouiller dans le paragraphe suivant)

En effet, par exemple, si et sont définies sur , par et ,

on aurait alors dans ce cas :

(car , est un singleton)

(car , ensemble borné dans )

,

qui est un ensemble infini, donc de plus de élément

(et serait, en quelque sorte, un infini positif "oscillant" qui serait fonction des valeurs de , quand ),

qui est, ici, borné par une constante infinie positive : ,

mais qui ne se réduit pas à un singleton, comme je le voudrais.

D)

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .


On a(axiome)(sous réserve):

,

Remarque :

On a .

Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement à l'infini de autour de l'origine du repère orthonormé de ) :

On pose : .

Définitions :

Cf. aussi : Série de remarques 3 de la Discussion associée.

, réunion non disjointe,

où

et .

Dans cette conception :

.

et par analogie

où

et on a

et .

Remarque :

Le fait que : semble poser problème :

En effet, il semble que : .

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble qui est l'ensemble , en remplaçant , par , et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a :

Remarque :

Remarque :

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de Lebesgue généralisées ou de Haussdorf, qui mesurent chacune des volumes de dimension , on peut construire et comparer les cardinaux quantitatifs d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de Lebesgue, en remplaçant le point usuel par un ensemble infini de nombres infinis positifs

(ici, je pense [vraisemblablement dans le cas où ]


Remarques et notations :

Si on considère , la fonction identité définie sur

et

Peut-être qu'une grande partie de ce qui est entre parenthèses dans le paragraphe suivant est inutile dans ma théorie :

[Il faudra, auparavant, faire correspondre , qui correspond à la longueur de l'intervalle ,

qui est strictement inclus dans ,

qui est strictement inclus dans ,

et qui n'est pas un intervalle de ,

mais un intervalle borné de ,

au cardinal d'une certaine partie infinie bornée de ,

par exemple, l'intervalle borné .

Mais, si on fait ça, alors, le cardinal quantitatif de et tous les cardinaux quantitatifs des parties non bornées équipotentes à , vaudront tous :

 :

On réservera donc la valeur ,

au cardinal quantitatif d'une partie d'un 1er niveau concernant les parties bornées de

et on réservera une autre valeur au cardinal d'une partie d'un 2nd niveau concernant les parties non bornées, pour laquelle on pourra distinguer les cardinaux quantitatifs ou une partie des cardinaux quantitatifs de ses parties.

Peut-être même qu'il y aura une infinité de niveaux à considérer concernant les parties non bornées.

Il faudra tenir compte aussi des et commencer par les parties dénombrables de .

Remarque : Le contenu de ce qui est, dans la parenthèse qui suit, est peut-être faux :

(Tous les , ne sont pas éligibles pour devenir des cardinaux quantitatifs d'ensembles, qui correspondent à des quantités d'éléments, car chaque élément est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

Le cardinal quantitatif d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier" (ou transfini), contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)]

Enfin, on pourra construire et étendre, le cardinal quantitatif et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de et qui fait appel aux mesures de Lebesgue, au cas de parties non bornées de , en tenant compte du "plafonnement sphérique à l'infini".

Définitions de , , , et

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Soit

Définition :

a) Soit

où est la distance euclidienne sur

c-à-d

b) Soit

où est la distance euclidienne sur

c-à-d

Dans la suite, on se restreint aux parties bornées de .

Proposition :

chaîne exhaustive de parties de pour l'inclusion, allant de à , est strictement croissante pour l'inclusion.

.

.

Si , partie non bornée de et appartient à un de ces 2 premiers ensembles, on a pour la première égalité et on pose pour la seconde égalité :

Si , partie bornée de ,

alors

Par ailleurs, on remarque que :

Définition :

et

et (axiome) :

et donc

Axiome ou proposition (ou bien l'un ou bien l'autre) :

.

Définition des "mesures" de Hausdorff sur

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Tout ce qui a été dit concernant , est aussi valable

concernant leurs homologues

c-à-d les parties ou

Sous réserve : c-à-d comme ,

si admet le plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct  :

,

alors

ou

.

,

avec ,

on pourra généraliser la notion de cardinal quantitatif, aux ensembles non bornés(') de , et même à tous les ensembles de .

Définition :

La "mesure" de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension , sur , est la "mesure" définie par :

est définie de manière analogue à la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension , , sur , à la différence qu'il faut remplacer par .

Remarque :

1) On peut avoir :

c-à-d ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de , mais dans (C'est une sous-classe des parties bornées de ),

par exemple la partie car .

2)

Définition :

La "mesure" de Lebesgue généralisée ou "de Hausdorff", de dimension , sur est la "mesure" de comptage définie par :

est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur , à la différence qu'il faut remplacer par

Si (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de .

Utilisation des "mesures" de Hausdorff sur , de et

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

On se place dans un repère orthonormé de .

Proposition :

Soit telle que

Remarque :

Soit , alors :

1) a) Dans ma théorie, on peut avoir , et dans ce cas on a et on peut avoir

b) Dans ma théorie, on peut avoir et dans ce cas on a et on peut avoir

2) Soit

et est une partition de , telle que

et telle que

a) En particulier, en posant et , intervalle donc partie connexe de

et  :

est une partition de

et , intervalle donc partie connexe de

et .

Remarque importante : Dans ma théorie , on définit .)

donc

[Définition de , de manière analogue à avec et , , ]

et

b) Si on pose et , intervalle donc partie connexe de

et  :

Dans ma théorie à construire, est une partition de

et , intervalle donc partie connexe de

et .

donc

[Définition de , de manière analogue à avec et , , ]

donc

et

donc

Dans , il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de , mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.

3) Les ensembles non bornés de ont tous le même plafonnement à l'infini qui est le point et il est précédé de nombres réels, alors que les ensembles bornés ou non, de , de diamètre infini ont des plafonnement à l'infini, chacun constitué d'un point à l'infini où ou , qui lui est précédé d'un ensemble de points à l'infini.

Remarque :

Comme

On a, dans ma théorie :

Attention :

n'est pas ici l'ensemble usuel que nous connaissons :

Ce n'est pas l'ensemble où sont considérés comme des points :

De fait, ma notion de cardinal quantitatif, dépend du repère orthonormé dans lequel on se place.

et n'est pas considéré, comme , comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles non bornés

(une infinité : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

)

et pouvant être, strictement, inclus dans d'autres ensembles non bornés

(une infinité : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

).

étant le nouvel espace-univers.

Attention : Dans ma théorie : , en fait on considère que va au delà de , à droite, ce qui n'est pas le cas de .

Par ailleurs : On a et

Mais

et .

Compléments

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Soit .

Dans ce qui suit, on peut remplacer et , par et .

L'ensemble que j'ai déjà "défini" ou "construit" ou du moins dont j'ai déjà parlé,

est une sorte de prolongement continu de , par une infinité de nombres infinis, dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté ,

et sert, d'abord, à construire les "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension , sur , pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"

(Le cas étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),

,

Compléments :

Mesures de Hausdorff [de dimension ], généralisant celle de Lebesgue (de dimension ), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"

(Le cas étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension )] :

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2013/poly_integration_mai2013.pdf

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de Hausdorff

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de Hausdorff

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue

/II.1 Mesures de Haussdorf/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue

/II.3 DDC3éfinition alternative de la mesure de Lebesgue/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue

/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.

puis ces dernières servent à construire la "mesure" cardinal quantitatif relatif à un repère orthonormé , dans ,

et en particulier à construire pour tout

en utilisant une formule du type ,

où est une suite de produits d'intervalles de

telle que

où est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de

et où est un intervalle non vide de , réduit à un singleton,

et où dépend de , et ,

avec , avec et

ou peut-être, mais, si cela est possible, en utilisant une formule du type ,

où est un intervalle non borné de ,

et où dépend de , et ,

avec , avec et

ou peut-être, mais, si cela est possible, pour tout , en utilisant une formule du type ,

où est un intervalle non borné de ,

et où dépend de , et ,

avec , avec et

ou peut-être, mais, si cela est possible, pour tout , en utilisant une formule du type ,

où est un intervalle borné de ,

et où dépend de , et ,

avec , avec et

Compléments :

Rappel : Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) de est dite ou est dit de classe ou de régularité (par exemple de classe ou de régularité pour un ), si son bord est de classe ou de régularité (par exemple de classe ou de régularité pour le même précédent).

Rappel :

Le bord d'une partie est défini par .

Le "bord" d'une partie est défini par .

Attention :

La dimension d'une partie de ,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de Hausdorff d'une partie de ,

Dimension de Hausdorff (Wikipedia)

c-à-d celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c-à-d celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe , connexes",

c-à-d celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe , et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non " (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non ") (si elles existent),

c-à-d celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

Variété topologique (Wikipedia)

Variété (géométrie) (Wikipedia)

J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe , (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages :

Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :

Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.

D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe ou non , plus générale que celle de sous-variété topologique c-à-d de sous-variété (dont le bord est) de classe , n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur

Partie 1

Soit .

Remarques :

Remarque :

Soit un repère orthonormé direct de , d'origine .

On a : , sous-variété compacte, convexe, (connexe) de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux])

et partie convexe, (connexe) de , (non bornée)

et on a : .

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Et plus généralement, soit un repère orthonormé direct de , d'origine .

comme partie convexe, (connexe) de , (non bornée),

si , non bornée à droite

et sous-variété compacte, convexe, (connexe) de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) telle que ,

est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de , sans bord, et , est une famille de parties compactes (donc fermées bornées), convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .

alors .

Mais, étant donné le plafonnement sphérique à l'infini, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille définie précédemment.

Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre , ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble .

Il faut mieux choisir dénombrable infini.

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)".

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Remarque :

Soit un repère orthonormé direct de , d'origine .

Soient .

Soit .

Si on considère la densité quantitative, relative au repère orthonormé , de l'ensemble par rapport à l'ensemble , , on a :

.

En particulier, si , on a :

.

Remarque : Un singleton de est une partie compacte, convexe, (connexe) de .

Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et , est une famille de parties compactes (donc fermées bornées), convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .

Remarque :

Soit un repère orthonormé direct de , d'origine .

Soient , réunions (dénombrables [voire, nécessairement, infinies, non bornées]) de parties ou de sous-variétés

Option classique : compactes, convexes, (connexes), disjointes, de

(éventuellement, des sous-variétés de classe [] et [ par morceaux])

ou Option spéculative : convexes, (connexes), disjointes, de ,

.

Soit (ou telle que et ).

Si , réunions finies de parties Option classique : compactes, convexes, (connexes), disjointes, de (éventuellement, des sous-variétés de classe [] et [ par morceaux]) ou Option spéculative : bornées, convexes, (connexes), disjointes, de ,

telles que

et telles que et

(c-à-d telles que et ),

alors

.

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Je pense que le cas d'une partie bornée, convexe, (connexe), de , peut se ramener au cas de la sous-variété compacte, convexe, (connexe) de ,

grâce à la formule c-à-d ,

sachant que , avec .

Donc, comme , réunions (dénombrables infinies, non bornées) de sous-variétés compactes, convexes, (connexes), disjointes, de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux])

et et ,

et

et

et , réunions finies de sous-variétés compactes, convexes, (connexes), disjointes, de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]),

et

et et

(c-à-d et ),

on a bien :

,

donc ,

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

donc

et comme ,

on a :

et plus généralement,

et

et .

L'ensemble est non borné, mais est dénombrable.

Si ,

alors

et

et si de plus, ,

alors

et .

Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : , mais comme , on est obligé d'imposer que ,

et plus généralement, si , on devrait, normalement, avoir : , mais comme , on est obligé d'imposer que ,

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.

L'ensemble qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même.

Mais, Cantor dirait, sans problème, dans ce cas, que .

Je pense, dans le cas des parties non bornées de , que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c-à-d une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est sous réserve : insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose|constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme .

Partie 2 ("Suite 2 Cardinal quantitatif de parties de (10)")

Hypothèses, axiomes ou conjectures sur le cardinal quantitatif d'une partie dénombrable infinie de

Soit .

Soit un repère orthonormé direct de dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine .

On pose, pour simplifier, , où désigne le cardinal quantitatif relatif au repère .

est le cardinal classique ou le cardinal de Cantor noté habituellement , que je nomme aussi cardinal équipotentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif , qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de , on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de de classe par morceaux.

Soient et des ensembles.

, bijection.

On pose usuellement et

On a par exemple et

La notion de cardinal quantitatif se veut une notion qui affine celle de cardinal équipotentiel et qui se veut la notion optimale de quantité d'éléments.

Dans la suite, on suppose .

Soient telles que :

et .

Il sera peut-être nécessaire de supposer .

Soit .

On appelle est le ème terme de

On pose

et

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de et .

On suppose de plus que (resp. )

(resp. )

ou que (resp. )

et (resp. ).

On définit

C'est la moyenne des pas de compris entre le ème et le ème terme.

Remarque : Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :

On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de compris entre ces 2 termes inclus.

On pose si cette limite existe dans .

C'est la limite de la moyenne des pas de compris entre son ème et son ème terme, quand , donc c'est la moyenne de tous les pas de sur .

Conjecture :

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang , , si la moyenne des pas de compris entre son ème et son ème terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de compris entre son ème et son ème terme, alors la cardinal quantitatif de l'ensemble est strictement plus grand que celui de l'ensemble .

Cela signifie que si est strictement plus dense quantitativement que , à partir d'un certain rang , alors

Si

alors et

En particulier si ,

et ,

Remarque : La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir

et .

Que pensez, par exemple, du cas où  ?

A t-on bien  ?

Réponse : Non, car

et .

Plus, généralement

Avec les mêmes hypothèses sur , qu'initialement :

Si

alors

Avec les mêmes hypothèses sur , qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période

alors

Remarque :

, telle que , avec à variations décroissantes, à variations croissantes et

Soient telles que :

et

Soit

On appelle est le ème terme de

On pose

et

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de et .

On suppose de plus que (resp. )

On définit

C'est la moyenne des pas de compris entre le ème et le ème terme.

Remarque : Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :

On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de $R$ compris entre ces 2 termes inclus.

On pose si cette limite existe dans .

C'est la limite de la moyenne des pas de compris entre son ème et son ème terme, quand , donc c'est la moyenne de tous les pas de sur .

Conjecture :

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang , , si la moyenne des pas de compris entre son ème et son ème terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de compris entre son ème et son ème terme, alors la cardinal quantitatif de l'ensemble est strictement plus grand que celui de l'ensemble .

Cela signifie que si est strictement plus dense quantitativement que , à partir d'un certain rang , alors

Conjecture :

en particulier (sous réserve) :

et on a ,

on a

Idée pour généraliser la notion de cardinal quantitatif aux parties non convexes de , donc aux parties quelconques de

Conjecture

Toute partie non convexe, connexe, de est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de ,

donc toute partie non convexe, de est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de ,

donc toute partie de est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de .

Post propos (redondant)

Il est vrai que Michel COSTE a finalement très peu explicité les outils nécessaires pour qu'on puisse comprendre, pleinement, son article informel de vulgarisation, il n'a même pas précisé l'ensemble d'arrivée du cardinal quantitatif restreint à une "petite" classe de parties bornées de , alors que c'est une difficulté de taille, voire l'une des principales.

Puisque lui-même de façon mesquine et à cause d'un égo parfois exacerbé, craint et refuse que je mentionne son nom, dans mes écrits, lorsque ceux-ci ne sont pas rigoureux ou sont farfelus (du moins sur les-mathematiques.net), afin de préserver sa réputation, à laquelle il tient, apparemment, beaucoup, même s'il est un jour intervenu à ma rescousse sur Les-mathematiques.net, en 2007 et que depuis il s'est fait beaucoup plus discret sur ces dernières et m'a délaissé :

Michel COSTE est uniquement responsable de ses propres propos dans ses propres PDF et rien de plus. Si j'ai commis et si je commets, par ailleurs, des erreurs, des déboires, des divagations, des élucubrations voire des régressions (néanmoins et malgré tout nécessaires), il n'en est nullement responsable.

La différence entre Michel COSTE et moi, c'est que lui s'il en commet, ce sera, dans la plus totale discrétion et il prendra, longuement, au préalable, la précaution de vérifier ses résultats, seul ou avec ses collègues, jusqu'à tant qu'ils soient parfaitement exacts, avec une très grande probabilité, avant d'en parler publiquement ou avant de les publier ou de les divulguer.

C'est un luxe que je ne peux me permettre ou m'offrir et auquel je ne peux prétendre, autant que lui :

Je dois d'une façon ou d'une autre ou à un moment à un autre, m'avancer et prendre plus de risques que lui (et ce ne sera pas faute d'avoir essayé et d'avoir revu mes travaux et mes textes, en m'y reprenant à de très nombreuses reprises et au cours de très nombreuses tentatives), faute d'être aussi encadré et soutenu que lui et faute d'avoir son niveau et son expérience, en mathématiques.

Par ailleurs, un certain Denis FELDMANN (ou Dfeldmann) contributeur de Wikipedia, normalien, professeur en classe préparatoire, très bon joueur de Go et ayant fait 10 ans de recherche en théorie des ensembles et en analyse non standard), a expérimenté et sait, apparemment, beaucoup de choses, qui lui ont fait renoncer et qui lui ont, personnellement, dissuadé de l'idée même de trouver, raisonnablement, seul, par ses propres moyens et par ses propres forces, une définition convenable du cardinal quantitatif, dans le cas général, mais comme je l'ai déçu, lors de ma prestation, avec lui, il a cessé de discuter avec moi et il ne m'en a pas fait part ou très peu.

Je crois que s'il m'a qualifié de "mathematical crank", c'est parcequ'il croit, d'une part, compte tenu de ma prestation de l'époque, avec lui, que je n'ai pas un niveau suffisant et, d'autre part, compte tenu de ma non pleine compréhension et de ma non pleine conscience de ses dires de l'époque, sur le moment, que je continue à m'obstiner à poursuivre des travaux, sur des notions ou des concepts illusoires, contredits et démentis, par les faits, comme le fait de penser que ma notion de cardinal quantitatif, dans le cas général, si elle existe, serait une mesure sur , alors que j'ai abandonné, cette idée, depuis longtemps, et alors qu'il m'a montré qu'il n'existe pas de mesure uniforme sur , donc que si ma notion de cardinal quantitatif était une mesure sur , alors ce serait, nécessairement, une mesure uniforme, puisque , ce qui aboutirait à une contradiction.

Mais il m'a quand même berné, intentionnellement, en faisant appel à son autorité dans le domaine, en réussissant à me faire croire que si l'on suppose qu'elle est définissable dans ZFC, dans le cas général, alors cela aboutit, nécessairement, à une contradiction, en argumentant sur une soi-disante non invariance de mon cardinal quantitatif par certaines rotations particulières d'angles irrationnels, du fait même que ces dernières transformaient des parties, en leur faisant perdre des éléments et que cela était un cas particulier du paradoxe de Banach-Tarski :

Qu'à cela ne tienne, il suffit, désormais, de considérer que, dans le cas général, la notion de cardinal quantitatif concernée, si elle existe, ne peut, en aucun cas, être une mesure sur (mais pouvant être une mesure sur le nouvel espace ) et de ne pas considérer le cas où il m'a berné.

Mieux, il considérait que si je ne savais pas ce qu'était une mesure uniforme ou que si cela était peu clair, dans ma tête, c'est que, nécessairement, je ne savais pas ce qu'était une mesure, alors que je savais ce qu'était une mesure, mais que je ne savais pas ou que je ne savais plus, ce qu'était une mesure uniforme, aussi simple que cette notion puisse être (Cf. cas des probabilités discrètes uniformes).

Puisque la notion de cardinal quantitatif, dans le cas général, si elle existe, n'est pas une mesure sur , considérer que la notion de cardinal quantitatif est une mesure, comme cela a été et a pu être le cas dans le travail précédent, conduira, nécessairement, à une impasse, dans le cas non borné.

Sans l'aide de Michel COSTE et de Denis FELDMANN, je me sens, un peu, seul, livré à moi-même, car ils sont parmi les rares à savoir où se trouve et où trouver de la littérature pertinente, sur le sujet, qui me donnerait de la matière, à me mettre sous la dent et me permettant (peut-être) d'avancer, au lieu de stagner.

Que Michel COSTE et Denis FELDMANN me disent et me montrent, clairement, pourquoi, je ne pourrais, raisonnablement, pas définir {de|par} moi-même, la notion de cardinal quantitatif, même si elle est définissable humainement :

Cette notion est définissable concernant une classe de parties bornées de .

En dehors de cette classe de parties de , ou bien elle n'est pas définissable et n'existe pas mathématiquement, ou bien elle n'est pas définissable humainement et elle existe, ou bien elle est définissable humainement et elle n'existe pas, mathématiquement (cas ayant peu d'intérêt), ou bien elle est définissable humainement et elle existe, mathématiquement, mais pas encore à notre époque et/ou pas par moi-même.

Ma notion de cardinal quantitatif reste-t-elle définissable pour autant, en dehors de cette classe de parties de  ?

Peut-on envisager raisonnablement de la définir, en dehors de cette classe de parties de  ?

Cardinaux négatifs ou complexes


Soient

Soient

telles que et

et

Alors on définit la relation suivante :

(1)

(2)

De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

et


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Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/

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