Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus

**Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Exercices n^o9
Chapitre du cours :	Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus
Exercices de niveau 14.
Exo préc. :	Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
Exo suiv. :	Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus
Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Loi de Malus[modifier | modifier le wikicode]

Méthode pour obtenir les directions de transmission privilégiées de deux polariseurs successifs perpendiculaires entre elles[modifier | modifier le wikicode]

On fait passer un faisceau laser non polarisé à travers deux polariseurs successifs « $\;(1)\;$ et $\;(2)\;$ ».
Comment obtenir que les directions de transmission privilégiées de ces polariseurs soient $\;\perp \;$ entre elles ?

Solution

Le faisceau laser à la sortie du 1^er polariseur «

\;(1)\;

» étant polarisé suivant la direction de transmission privilégiée «

\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;

»^[1],
on fait tourner le 2^ème polariseur «

\;(2)\;

» jusqu'à obtenir l'extinction complète du faisceau à la sortie de ce dernier, cela signifiant que
la direction de polarisation du faisceau laser à la sortie du polariseur «

\;(1)\;

» c'est-à-dire «

\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;

» est

\;\perp \;

à la direction de transmission privilégiée «

\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;

» du polariseur «

\;(2)\;

» ; on dit alors que les polariseurs sont croisés.

Conséquence de l'introduction d'un 3^ème polariseur entre les deux précédents à directions de transmission privilégiées perpendiculaires entre elles[modifier | modifier le wikicode]

Entre les polariseurs « $\;(1)\;$ et $\;(2)\;$ » à directions de transmission privilégiées $\;\perp \;$ entre elles, on introduit un polariseur « $\;(3)\;$ » dont la direction de transmission privilégiée fait un angle « $\;\alpha \;$ » avec celle du polariseur « $\;(1)\;$ », 1^er polariseur rencontré par la lumière.
Qu'observe-t-on a priori ?

Exprimer l'éclairement à la sortie du dispositif en fonction de « $\;\alpha \;$ » et de sa valeur maximale « $\;{\mathcal {E}}_{\text{max}}\;$ »^[2].

Solution

Insertion d'un polariseur « $\;(3)\;$ » entre deux polariseurs croisés « $\;(1)\;$ et $\;(2)\;$ », la direction de transmission privilégiée de « $\;(3)\;$ » c'est-à-dire « $\;{\vec {v}}_{P_{(3)}}\;$ » faisant l'angle algébrisé « $\;\alpha \;$ » avec celle de « $\;(1)\;$ » c'est-à-dire « $\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;$ » $\;{\big [}$ le sens $\;+\;$ étant choisi de « $\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;$ vers $\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;$ » ${\big ]}$

Le faisceau laser sortant du polariseur « $\;(1)\;$ » polarisé suivant « $\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;$ » $\;{\big [}$ voir figure ci-contre ${\big ]}$ a un champ électrique vibrant « $\;{\vec {E}}_{1}\;$ » d'amplitude « $\;E_{1,\,0}\;$ » pouvant être considéré comme la somme de deux composantes,

l'une polarisée suivant la direction de transmission privilégiée « $\;{\vec {v}}_{P_{(3)}}\;$ » du polariseur « $\;(3)\;$ » « $\;{\vec {E}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{P_{(3)}}=E_{1}\,\cos(\alpha )\;$ » et
l'autre suivant la direction directement $\;\perp \;$ ^[3] « $\;-E_{1}\,\sin(\alpha )\;$ » ;

à la sortie du polariseur « $\;(3)\;$ », le faisceau laser est donc polarisé suivant la direction de transmission privilégiée « $\;{\vec {v}}_{P_{(3)}}\;$ » et
à la sortie du polariseur « $\;\color {transparent}{(3)}\;$ », le faisceau laser est donc polarisé l'amplitude de son champ électrique est « $\;E_{3,\,0}=E_{1,\,0}\,\cos(\alpha )\;$ » ;

ce champ électrique « $\;{\vec {E}}_{3}\;$ » peut être considéré comme la somme de deux composantes,

l'une polarisée suivant la direction de transmission privilégiée « $\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;$ » du polariseur « $\;(2)\;$ » « $\;{\vec {E}}_{3}\cdot {\vec {v}}_{P_{(2)}}=E_{3}\,\cos \left({\dfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)=E_{3}\,\sin(\alpha )\;$ » et
l'autre suivant la direction directement $\;\perp \;$ ^[3] « $\;-E_{3}\,\cos(\alpha )\;$ » ;

     finalement à la sortie du polariseur « $\;(2)\;$ », le faisceau laser est polarisé suivant la direction de transmission privilégiée « $\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;$ » et
     finalement à la sortie du polariseur « $\;\color {transparent}{(2)}\;$ », le faisceau laser est donc polarisé l'amplitude de son champ électrique est « $\;E_{3,\,0}\,\sin(\alpha )=E_{1,\,0}\,\cos(\alpha )\,sin(\alpha )\;$
     finalement à la sortie du polariseur « $\;\color {transparent}{(2)}\;$ », le faisceau laser est donc polarisé l'amplitude de son champ électrique est « $\;\color {transparent}{E_{3,\,0}\,\sin(\alpha )}$ $={\dfrac {E_{1,\,0}}{2}}\,\sin(2\,\alpha )\;$ ».

     L'éclairement à la sortie du dispositif est donc, d'après la loi de Malus^[4]^,^[5] « $\;{\mathcal {E}}_{\text{sortie}}=K\,{\dfrac {E_{1,\,0}^{2}}{4}}\,\sin ^{2}(2\,\alpha )\;$ » soit,
     L'éclairement à la sortie du dispositif est donc, en posant « $\;{\mathcal {E}}_{\text{entrée}}=K\,E_{1,\,0}^{2}\;$ », « $\;{\mathcal {E}}_{\text{sortie}}={\dfrac {{\mathcal {E}}_{\text{entrée}}}{4}}\,\sin ^{2}(2\,\alpha )\;$ », ou,
     L'éclairement à la sortie du dispositif est donc, en introduisant sa valeur maximale « $\;{\mathcal {E}}_{\text{max}}={\dfrac {{\mathcal {E}}_{\text{entrée}}}{4}}\;$ », « $\;{\mathcal {E}}_{\text{sortie}}={\mathcal {E}}_{\text{max}}\,\sin ^{2}(2\,\alpha )\;$ »^[6].

Rotation d'une direction de polarisation[modifier | modifier le wikicode]

« $\;N+1\;$ » polariseurs sont placés les uns à la suite des autres.

La direction de transmission privilégiée de chaque polariseur fait un « $\;\alpha \;$ avec la direction de transmission privilégiée du polariseur précédent »^[7]. Ainsi la direction de transmission privilégiée du dernier polariseur fait un angle « $\;\theta =N\,\alpha \;$ avec celle du 1^er polariseur ».

On considère un faisceau lumineux incident caractérisé à l'entrée du système par un éclairement « $\;{\mathcal {E}}_{0}\;$ » et une polarisation rectiligne $\;\parallel \;$ à la direction de transmission privilégiée du 1^er polariseur.

Expression de l'éclairement du faisceau sortant en fonction de N entre autres, cas de N infini[modifier | modifier le wikicode]

En négligeant les pertes, exprimer l'éclairement « $\;{\mathcal {E}}\;$ » du faisceau sortant en fonction de « $\;{\mathcal {E}}_{0}$ , $\;N\;$ et $\;\theta \;$ ».

En négligeant les pertes, En donner une expression approchée pour « $\;N\gg 1\;$ »^[8].

En négligeant les pertes, Quel est l'intérêt de ce dispositif ?

Solution

Soit un faisceau lumineux polarisé rectilignement suivant la direction de transmission privilégiée du 1^er polariseur, d'éclairement à l'entrée de ce dernier «

\;{\mathcal {E}}_{0}\;

»,
Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant tourné d'un angle «

\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;

» à la sortie du 2^ème polariseur, y a un éclairement «

\;{\mathcal {E}}_{1}={\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{2}(\alpha )\;

»^[9] selon la loi de Malus^[4]^,^[5],
Soit un faisceau lumineux

\;\ldots

Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une nouvelle fois tourné d'un angle «

\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;

» à la sortie du (i + 1)^ème polariseur, y a un éclairement selon la loi de Malus^[4]^,^[5]
Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une nouvelle fois tourné d'un angle «

\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;

» à la sortie du (i + 1)^ème polariseur, y a un éclairement «

\;{\mathcal {E}}_{i}={\mathcal {E}}_{i-1}\,\cos ^{2}(\alpha )={\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,i)}(\alpha )\;

»^[9],
Soit un faisceau lumineux

\;\ldots

et
Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une dernière fois tourné d'un angle «

\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;

» à la sortie du (N + 1)^ème polariseur, y a un éclairement selon la loi de Malus^[4]^,^[5]
Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une dernière fois tourné d'un angle «

\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;

» à la sortie du (N + 1)^ème polariseur, y a un éclairement «

\;{\mathcal {E}}_{N}={\mathcal {E}}_{N-1}\,\cos ^{2}(\alpha )={\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,N)}(\alpha )\;

»^[9], soit finalement «

\;{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{N}={\mathcal {E}}_{0}\,\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{N}}\right)\right]^{(2\,N)}\;

». Pour «

\;N\gg 1\;

», «

\;{\dfrac {\theta }{N}}\;

est un infiniment petit définissant l'ordre un », et par suite «

\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{N}}\right)\simeq 1-{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\;

» par utilisation du D.L^[10]. de «

\;\cos(x)\;

» au voisinage de

\;0\;

à l'ordre deux^[11], d'où
Pour «

\;\color {transparent}{N\gg 1}\;

», «

\;{\mathcal {E}}\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\left[1-{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\right]^{(2\,N)}\;

» soit encore, en considérant «

\;{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\;

comme un nouvel infiniment petit d'ordre un »^[12] «

\;{\mathcal {E}}\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\left[1-(2\,N)\,{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\right]\;

»^[8] et finalement «

\;{\mathcal {E}}\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\left[1-{\dfrac {\theta ^{2}}{N}}\right]\;

» pour «

\;N\gg 1\;

».

Intérêt du dispositif : Le dispositif permet de faire tourner la direction de polarisation d'un angle « $\;\theta \;$ » fixé avec une perte minimale d'éclairement, perte d'autant plus faible que « $\;N\;$ est grand » car « $\;\lim \limits _{N\rightarrow \infty }{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{0}\;$ ».

Rectification de l'expression de l'éclairement du faisceau sortant tenant compte des pertes par réflexion et absorption sur chaque polariseur, étude d'un cas particulier[modifier | modifier le wikicode]

En fait les pertes par réflexion sur les surfaces des polariseurs et par absorption par les polariseurs font que l'éclairement à la sortie de chaque polariseur n'est égal qu'« à $\;\rho =80\,\%\;$ de ce qu'il serait si ce polariseur était idéal ». Quelle est l'expression de « $\;{\mathcal {E}}\;$ » si l'on tient compte de ces pertes ?

Dans le cas où « $\;\theta ={\dfrac {\pi }{2}}\;$ » calculer « $\;{\dfrac {\mathcal {E}}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;$ » pour $\;N\;$ allant de $\;1\;$ à $\;8$ .

Dans le cas où « $\;\color {transparent}{\theta ={\dfrac {\pi }{2}}}\;$ » Quel est alors le meilleur choix pour $\;N$ ?

Solution

Soit le faisceau lumineux étudié polarisé rectilignement suivant la direction de transmission privilégiée du 1^er polariseur, d'éclairement à la sortie de ce dernier «

\;\rho \;{\mathcal {E}}_{0}\;

»^[13]
Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant tourné d'un angle «

\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;

» à la sortie du 2^ème polariseur, y a un éclairement «

\;{\mathcal {E}}_{1}=\rho ^{2}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{2}(\alpha )\;

» selon la loi de Malus^[4]^,^[5]^,^[13],
Soit le faisceau lumineux

\;\ldots

Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une nouvelle fois tourné de «

\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;

» à la sortie du (i + 1)^ème polariseur, y a un éclairement selon la loi de Malus^[4]^,^[5]^,^[13]
Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une nouvelle fois tourné de «

\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;

» à la sortie du (i + 1)^ème polariseur, y a un éclairement «

\;{\mathcal {E}}_{i}=\rho \;{\mathcal {E}}_{i-1}\,\cos ^{2}(\alpha )=\rho ^{\,i+1}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,i)}(\alpha )\;

»,
Soit le faisceau lumineux

\;\ldots

et
Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une dernière fois tourné de «

\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;

» à la sortie du (N + 1)^ème polariseur, y a un éclairement selon la loi de Malus^[4]^,^[5]^,^[13]
Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une dernière fois tourné de «

\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;

» à la sortie du (N + 1)^ème polariseur, y a un éclairement «

\;{\mathcal {E}}_{N}=\rho \;{\mathcal {E}}_{N-1}\,\cos ^{2}(\alpha )=\rho ^{\,N+1}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,N)}(\alpha )\;

», soit finalement «

\;{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{N}=\rho ^{\,N+1}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{N}}\right)\right]^{(2\,N)}\;

».

Dans le cas où « $\;\theta ={\dfrac {\pi }{2}}\;$ » le calcul de « $\;{\dfrac {\mathcal {E}}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;$ » pour $\;N\;$ allant de $\;1\;$ à $\;8\;$ donne :

\;{\begin{array}{| c | c | c | c | c | c | c | c | c |}\hline \quad N\quad &\quad 1\quad &\quad 2\quad &\quad 3\quad &\quad 4\quad &\quad 5\quad &\quad 6\quad &\quad 7\quad &\quad 8\quad \\\hline \quad {\dfrac {\mathcal {E}}{{\mathcal {E}}_{0}}}\quad &\quad 0\quad &\quad 0,1280\quad &\quad 0,1728\quad &\quad 0,1739\quad &\quad 0,1587\quad &\quad 0,1383\quad &\quad 0,1176\quad &\quad 0,0984\quad \\\hline \end{array}}\;

Dans le cas où « $\;\color {transparent}{\theta ={\dfrac {\pi }{2}}}\;$ » le meilleur choix pour $\;N\;$ est donc « $\;N=4\;$ » qui correspond à un maximum d'éclairement transmis, ce dernier n'étant toutefois que de « $\;17,4\,\%\;$ ».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

↑ Il est inutile de faire tourner ce polariseur étant donné qu'il n'y a pas encore de direction de référence.
↑ Pour ce calcul on supposera les polariseurs idéaux.
↑ ^3,0 et ^3,1 C.-à-d. faisant un angle de « $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ » avec la direction par rapport à laquelle elle est $\;\perp$ .
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 ^4,4 ^4,5 et ^4,6 Étienne Louis Malus (1775 - 1812) ingénieur, physicien et mathématicien français, surtout connu pour ses travaux mathématiques liés à la lumière, a mis en évidence la polarisation de cette dernière par réflexion en $\;1809$ ; il fut de la 1^ère promotion de l’École centrale des travaux publics $\;{\big (}$ connue actuellement sous le nom d'École Polytechnique ${\big )}\;$ promotion $\;X1794\;$ et y devint brièvement directeur des études de $\;1811\;$ jusqu'à sa mort ; sa découverte la plus célèbre est la loi de Malus mais on lui doit aussi le théorème de Malus stipulant que les surfaces d'onde émises par une source ponctuelle sont $\;\perp \;$ aux rayons lumineux issus de cette source.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 ^5,5 et ^5,6 Voir le paragraphe « énoncé de la loi de Malus » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ L'éclairement de sortie est maximal pour « $\;\alpha ={\dfrac {\pi }{4}}\;$ et $\;\alpha ={\dfrac {3\,\pi }{4}}\;$ » et sa valeur maximale ne représente que le quart de la valeur d'éclairement du faisceau d'entrée.
↑ Toujours dans le même sens.
↑ ^8,0 et ^8,1 On rappelle le développement limité à l'ordre un de la fonction $\;(1+\varepsilon )^{N}\;$ au voisinage de zéro soit « $\;(1+\varepsilon )^{N}\simeq 1+N\,\varepsilon \;$ » nécessitant « $\;\varepsilon \ll 1\;$ », voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^9,0 ^9,1 et ^9,2 On suppose les polariseurs idéaux c'est-à-dire que l'on néglige toute perte d'éclairement.
↑ Développement Limité.
↑ Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » « $\;\cos(x)\simeq 1-{\dfrac {x^{2}}{2}}\;$ ».
↑ Lequel est un infiniment petit d'ordre deux relativement à l'infiniment petit d'ordre un « $\;{\dfrac {\theta }{N}}\;$ ».
↑ ^13,0 ^13,1 ^13,2 et ^13,3 En tenant compte des pertes par réflexion sur les surfaces des polariseurs et par absorption par les polariseurs.