Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux

Circuit linéaire constitué d'« un condensateur en série avec le modèle parallèle d'une bobine réelle » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité de courant traversant le circuit

Schéma d'un circuit constitué d'un condensateur en série avec l'association d'une bobine parfaite en parallèle sur un conducteur ohmique, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On se propose de déterminer la réponse en $\;i(t)\;$ intensité du courant traversant le circuit constitué d'un condensateur de capacité $\;C\;$ en série avec l'association d'une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ en parallèle sur un conducteur ohmique de résistance $\;R$, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension $\;e(t)=E_{0}\;Y(t)\;$ établi à partir de $\;t=0\;$ et d'amplitude $\;E_{0}\;$ (voir ci-contre) ;

......avant la fermeture de l'interrupteur $\;K\;$ réalisée à $\;t=0$, toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.

Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension

......Établir, pour tout $\;t$, l'équation différentielle en $\;i(t)$, intensité du courant de charge du condensateur, quand le circuit est soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=E_{0}\;Y(t)\;$ d'amplitude $\;E_{0}$.

Solution

Schéma d'un circuit constitué d'un condensateur en série avec l'association d'une bobine parfaite en parallèle sur un conducteur ohmique, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, avec définition des grandeurs utiles à la détermination de la réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On dispose d'une loi de nœuds $\;i(t)=i_{R}(t)+i_{L}(t)\quad ({\mathfrak {n}})\;$ et

......On dispose de deux lois de mailles dont

• la 1^ère est $\;E_{0}\,Y(t)-u(t)-u_{C}(t)=0\quad ({\mathfrak {m}})\;$ avec $\;u_{C}(t)\;$ telle que $\;i(t)=C\,{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$ et
• la 2^e $\;u(t)=L\,{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)=R\,i_{R}(t)\;$ ;

......pour trouver l'équation différentielle en $\;i(t)$, il faut expliciter $\;i_{R}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ [par exemple $\;i_{R}(t)\;$ en fonction de $\;u(t)\;$ laquelle, par loi de maille, s'exprime en fonction de $\;u_{C}(t)\;$ donc, en dérivant de $\;i(t){\big ]}\;$ et $\;i_{L}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ ${\bigg [}$en fait ce n'est pas $\;i_{L}(t)\;$ que l'on peut expliciter simplement mais $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ en fonction de $\;u(t)\;$ puis, par loi de maille, en fonction de $\;u_{C}(t)\;$ et, en dérivant, en fonction de $\;i(t){\bigg ]}\;$ soit :

......$\;i_{R}(t)={\dfrac {u(t)}{R}}\;$ et par $\;({\mathfrak {m}})\;$ on trouve $\;i_{R}(t)={\dfrac {E_{0}\,Y(t)-u_{C}(t)}{R}}$ ;

......$\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {u(t)}{L}}\;$ et par $\;({\mathfrak {m}})\;$ on trouve $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}\,Y(t)-u_{C}(t)}{L}}$ ;

......dérivant ces deux relations on obtient $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {di_{R}}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}\,\delta (t)}{R}}-{\dfrac {1}{R}}\,{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)&{\text{ ou }}&{\dfrac {di_{R}}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(t)\\{\dfrac {d^{2}i_{L}}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {E_{0}\,\delta (t)}{L}}-{\dfrac {1}{L}}\,{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)&{\text{ ou }}&{\dfrac {d^{2}i_{L}}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {E_{0}}{L}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{L\,C}}\,i(t)\end{array}}\right\rbrace$ ;

......on peut donc reporter la 1^ère équation dans la loi $\;({\mathfrak {n}})\;$ après avoir dérivé cette dernière une 1^ère fois soit $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {di_{R}}{dt}}(t)+{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ et, par report de la 1^ère équation, $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(t)+{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\quad ({\mathfrak {n}}')\;$ puis

......on peut donc reporter la 2^e équation dans la loi $\;({\mathfrak {n}}')\;$ après l'avoir dérivée une 2^e fois soit $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\dot {\delta }}(t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {d^{2}i_{L}}{dt^{2}}}(t)\;$ et, par report de la 2^e équation, $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\dot {\delta }}(t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {E_{0}}{L}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{L\,C}}\,i(t)\;$ soit finalement, en ordonnant $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{R\,C}}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\,C}}\,i(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\dot {\delta }}(t)+{\dfrac {E_{0}}{L}}\,\delta (t)\;\;\forall \,t$.

......La réduction canonique la plus utilisée nous conduit à définir

• la pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ et
• le cœfficient d'amortissement $\;\sigma >0\;$ tel que $\;2\,\sigma \,\omega _{0}={\dfrac {1}{R\,C}}\;$ soit $\;\sigma ={\dfrac {1}{2\,R\,C\,\omega _{0}}}={\dfrac {L\,\omega _{0}}{2\,R}}\;$ d'où,

......en factorisant par $\;{\dfrac {E_{0}}{R}}\;$ le 2^e membre et en transformant $\;{\dfrac {R}{L}}\;$ à l'aide de $\;\sigma ={\dfrac {L\,\omega _{0}}{2\,R}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {R}{L}}={\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}$, la forme canonique de l'équation différentielle en $\;i(t)\;$ suivante $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+2\,\sigma \,\omega _{0}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,i(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\left[{\dot {\delta }}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}\,\delta (t)\right]\;\;\forall \,t$.

 

À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif

......Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en $\;t=0$, celles de $\;i(t)\;$ et de $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ puis,

......déterminer les valeurs initiales $\;i(0^{+})\;$ et $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$ par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité (éventuelle).

Solution

......De l'excitation $\;{\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\dot {\delta }}(t)+{\dfrac {E_{0}}{L}}\,\delta (t)\;$ de l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ « “ discontinue de 3^e espèce en t = 0 ” » on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre, que $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$ est « “ discontinue de 3^e espèce ” », $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ discontinue de 2^e espèce et $\;i(t)\;$ discontinue de 1^ère espèce en t = 0 ;

......on trouvera donc $\;i(0^{+})\;$ par circuit à $\;0^{+}\;$ (à représenter réellement) dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert [continuité de $\;i_{L}(t)\;$ à l'instant 0 dans un circuit résistif $\;\Rightarrow i_{L}(0^{+})=i_{L}(0^{-})\;$ cette dernière étant nulle] et le condensateur par un court-circuit [continuité de $\;u_{C}(t)\;$ à l'instant 0 dans un circuit résistif $\;\Rightarrow u_{C}(0^{+})$ $=u_{C}(0^{-})\;$ cette dernière étant nulle], on retrouve alors $\;E_{0}\;$ aux bornes de $\;R$ d'où $\;i(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}$ ; ......$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$ peut se déterminer en prenant la dernière équation $\;({\mathfrak {n}}')\;$ avant la dérivation finale permettant d'aboutir à l'équation différentielle cherchée et en y faisant $\;t=0^{+}\;$ soit $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(t)+{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ dans laquelle on réintroduit la grandeur continue $\;u_{C}(t)\;$ en utilisant $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}\,Y(t)-u_{C}(t)}{L}}\;$ ce qui donne l'équation $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(t)+{\dfrac {E_{0}\,Y(t)-u_{C}(t)}{L}}\;$ où on y fait $\;t=0^{+}\;$ soit $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(0^{+})+{\dfrac {E_{0}}{L}}\;$ ou, en utilisant le résultat de $\;i(0^{+})\;$ précédemment trouvé $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {R}{L}}-{\dfrac {1}{R\,C}}\right)\;$, que l'on peut réécrire en reportant $\;{\dfrac {1}{R\,C\,\omega _{O}}}=2\,\sigma \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{R\,C}}=2\,\sigma \,\omega _{0}\;$ et $\;{\dfrac {R}{L}}={\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}$, $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-2\,\sigma \,\omega _{0}\right)$.

 

Détermination des réponses transitoires en intensité du courant suivant la valeur de la résistance et tracé du graphe de i(t) en fonction de t pour une résistance supérieure à la résistance critique

......En déduire, pour $\;t>0$, les réponses en $\;i(t)$, intensité du courant traversant le circuit soumis l'échelon de tension d'amplitude $\;E_{0}\;$ suivant les valeurs de $\;R$, on mettra en évidence une résistance critique $\;R_{c}\;$ que l'on exprimera en fonction de $\;L\;$ et $\;C$.

......Donner l'allure du graphe de $\;i(t)\;$ en fonction de $\;t\;$ dans le cas où $\;R>R_{c}$.

Solution

......L'équation différentielle, une fois l'interrupteur $\;K\;$ fermé, s'écrit : $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+2\,\sigma \,\omega _{0}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,i(t)=0\;$ pour $\;t>0$ ; il n'y a donc que la solution libre qui nécessite de résoudre l'équation caractéristique classique $\;s^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,s+\omega _{0}^{2}=0\;$ et on obtient, suivant la valeur de $\;\sigma$ :

• $\;\sigma >1\;$ ou $\;R<{\dfrac {1}{2\,C\,\omega _{0}}}={\dfrac {1}{2}}\,{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$ ou encore $\;R<R_{c}\;$ en définissant la résistance critique selon $\;R_{c}={\dfrac {1}{2}}\,{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}$ : régime apériodique, la solution s'écrivant $\;i(t)=$ $A\,\exp \!\left[s_{(+)}\,t\right]+B\,\exp \!\left[s_{(-)}\,t\right]$, avec $\;s_{(\pm )}=-\sigma \,\omega _{0}\pm \omega _{0}{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}$,
• $\;\sigma =1\;$ ou $\;R=R_{c}$ : régime apériodique critique, la solution s'écrivant $\;i(t)=(A+B\,t)\,\exp(-\omega _{0}\,t)$,
• $\;\sigma <1\;$ ou $\;R>R_{c}$ : régime pseudo-périodique, la solution s'écrivant $\;i(t)=A\,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$ avec $\;\omega =\omega _{0}\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$ la pseudo-pulsation.

......Précisons l'expression de $\;i(t)$, pour $\;t>0$, dans le cas où $\;R>R_{c}\;$ c'est-à-dire le régime pseudo-périodique, on obtient alors $\;i(t)=A\,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\cos(\omega \,t+\varphi )$, les constantes $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ étant déterminées par C.I. :

• 1^ère C.I. $\;i(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}\;$ donne ici $\;A\,\cos(\varphi )={\dfrac {E_{0}}{R}}\;\;({\mathfrak {1}})$,
• 2^e C.I. $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-2\,\sigma \,\omega _{0}\right)\;$ soit, en évaluant $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ selon $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=-\sigma \,\omega _{0}\,A\,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\cos(\omega \,t+\varphi )-A\,\omega \,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\sin(\omega \,t+\varphi )$, on obtient $\;A\,\cos(\varphi )\,\sigma \,\omega _{0}+A\,\sin(\varphi )\,\omega =-{\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-2\,\sigma \,\omega _{0}\right)\;$ ou, en y reportant $\;A\,\cos(\varphi )={\dfrac {E_{0}}{R}}\;$ de la 1^ère C.I., on obtient $\;A\,\sin(\varphi )\,\omega =$ $-{\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-2\,\sigma \,\omega _{0}\right)-{\dfrac {E_{0}}{R}}\,\sigma \,\omega _{0}=-{\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-\sigma \,\omega _{0}\right)$, soit encore, en remplaçant $\;\omega \;$ par $\;\omega _{0}\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$ et en simplifiant par $\;\omega _{0}$, on trouve $\;A\,\sin(\varphi )=$ $-{\dfrac {E_{0}}{R\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\left({\dfrac {1}{2\,\sigma }}-\sigma \right)\;$ ou encore $\;A\,\sin(\varphi )=-{\dfrac {E_{0}}{R}}{\dfrac {1-2\,\sigma ^{2}}{2\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\;\;({\mathfrak {2}})$ ;

Graphe, en fonction de t, de la réponse pseudo-périodique en i(t) du circuit constitué d'un condensateur en série avec l'association d'une bobine parfaite en parallèle sur un conducteur ohmique, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension

......de $\;{\sqrt {({\mathfrak {1}})^{2}+({\mathfrak {2}})^{2}}}$, on déduit $\;A={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\sqrt {1+{\dfrac {(1-2\,\sigma ^{2})^{2}}{4\,\sigma ^{2}\,(1-\sigma ^{2})}}}}={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\sqrt {\dfrac {4\,\sigma ^{2}-4\,\sigma ^{4}+1-4\,\sigma ^{2}+4\,\sigma ^{4}}{4\,\sigma ^{2}\,(1-\sigma ^{2})}}}\;$ soit $\;A=$ ${\dfrac {E_{0}}{2\,R\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}$ ;

......de $\;A\;\cos(\varphi )>0\;$ avec le choix de $\;A>0\;$ on déduit $\;\cos(\varphi )>0\;$ dont on tire $\;\varphi \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\;{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ et peut se mettre sous la forme d'un $\;\arctan()\;$ soit $\;\varphi =$ $-\arctan \!\left({\dfrac {1-2\,\sigma ^{2}}{2\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\right)$ ;

......avec les valeurs de $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ précédemment déterminées on obtient $\;i(t)={\dfrac {E_{0}}{2\,R\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\cos \!\left[\omega \,t-\arctan \!\left({\dfrac {1-2\,\sigma ^{2}}{2\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\right)\right]\;$ avec $\;\omega =\omega _{0}\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}$.

......L'allure de la courbe est rappelée ci-contre :

 

Circuit linéaire constitué d'« une bobine parfaite en série avec un conducteur ohmique de résistance R et une association parallèle d'un condensateur parfait sur un conducteur ohmique de même résistance R » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité de courant traversant le circuit

Schéma d'un circuit constitué d'une bobine parfaite en série avec un conducteur ohmique de résistance R et l'association d'un condensateur en parallèle sur un conducteur ohmique de même résistance R, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On se propose de déterminer la réponse en $\;i(t)\;$ intensité du courant traversant le circuit constitué d'une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ en série avec un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et l'association d'un condensateur de capacité $\;C\;$ en parallèle sur un conducteur ohmique de même résistance $\;R$, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ établi à partir de $\;t=0\;$ et d'amplitude $\;E\;$ (voir ci-contre) ;

......avant la fermeture de l'interrupteur $\;K\;$ réalisée à $\;t=0$, toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.

Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension

......Établir, pour tout $\;t$, l'équation différentielle en $\;i(t)$, intensité du courant traversant la bobine, quand le circuit est soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=$ $E\;Y(t)\;$ d'amplitude $\;E$.

Solution

Schéma d'un circuit constitué d'une bobine parfaite en série avec un conducteur ohmique de résistance R et l'association d'un condensateur en parallèle sur un conducteur ohmique de même résistance R, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, avec définition des grandeurs utiles à la détermination de la réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On dispose d'une loi de nœuds $\;i(t)=i_{R}(t)+i_{C}(t)\quad ({\mathfrak {n}})$,

......On dispose de deux lois de mailles dont

• la 1^ère est $\;E\,Y(t)-u_{L}(t)-u_{R}(t)-u(t)=0\;$ laquelle, avec $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ et $\;u_{R}(t)=R\;i(t)$, se réécrit en fonction de $\;i(t)\;$ et $\;u(t)\;$ selon $\;L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i(t)+u(t)=E\;Y(t)\quad (I)\;$ et
• la 2^e $\;u(t)=R\,i_{R}(t)\;$ dans laquelle $\;u(t)\;$ est aussi la tension aux bornes du condensateur avec $\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)$, permet d'exprimer $\;i_{R}(t)\;$ et $\;i_{C}(t)\;$ uniquement en fonction de $\;u(t)\;$ selon $\;i_{R}(t)={\dfrac {u(t)}{R}}\quad (II)\;$ et $\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\quad (II')$ ;

......pour trouver l'équation différentielle en $\;i(t)$, il faut expliciter $\;i_{R}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ [par $\;(II)\;$$\;i_{R}(t)\;$ est en fonction de $\;u(t)\;$ laquelle, par loi de maille $\;(I)$, s'exprime en fonction de $\;i(t){\big ]}\;$ et $\;i_{C}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ ${\bigg [}$par $\;(II')\;$$\;i_{C}(t)\;$ est en fonction de $\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ et, par loi de maille $\;(I)$, $\;u(t)\;$ s'exprime en fonction de $\;i(t)$, il suffit de dériver cette loi de maille $\;(I){\bigg ]}\;$ soit :

......$\;i_{R}(t)={\dfrac {u(t)}{R}}\;$ et par $\;(I)\;$ on trouve $\;i_{R}(t)={\dfrac {1}{R}}\,\left[E\;Y(t)-L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)-R\;i(t)\right]$ ;

......$\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ et par dérivation de $\;(I)\;$ on trouve $\;i_{C}(t)=C\,\left[E\;\delta (t)-L\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)-R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\right]$ ;

......le report dans la loi de nœuds $\;({\mathfrak {n}})\;$ conduit à $\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;Y(t)-{\dfrac {L}{R}}\;{\dfrac {di}{dt}}(t)-i(t)+C\;E\;\delta (t)-L\;C\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)-R\;C\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ soit finalement, en normalisant et en ordonnant $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+\left({\dfrac {R}{L}}+{\dfrac {1}{R\,C}}\right){\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {2}{L\,C}}\,i(t)={\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dfrac {1}{L\;C}}\,Y(t)+{\dfrac {R}{L}}\,\delta (t)\right]\;\;\forall \,t$.

 

À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif

......Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en $\;t=0$, celles de $\;i(t)\;$ et de $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ puis,

......déterminer les valeurs initiales $\;i(0^{+})\;$ et $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$ par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité (éventuelle).

Solution

......De l'excitation $\;{\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dfrac {1}{L\;C}}\,Y(t)+{\dfrac {R}{L}}\,\delta (t)\right]\;$ de l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ discontinue de 2^e espèce en t = 0, on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre, que $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$ est discontinue de 2^e espèce, $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ discontinue de 1^ère espèce et $\;i(t)\;$ continue en t = 0 ;

......on trouvera donc $\;i(0^{+})\;$ par continuité de l'intensité du courant traversant une bobine (parfaite) dans un circuit résisitif soit $\;i(0^{+})=i(0^{-})\;$ et, celle-ci étant initialement nulle on en déduit $\;i(0^{+})=0\;$ et ......on trouvera donc $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$ par circuit à $\;0^{+}\;$ (à représenter réellement) dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert [car $\;i(0^{+})=0{\big ]}\;$ et le condensateur par un court-circuit [continuité de $\;u(t)\;$ à l'instant 0 dans un circuit résistif $\;\Rightarrow u(0^{+})=u(0^{-})\;$ cette dernière étant nulle], on retrouve alors $\;E\;$ aux bornes de $\;L\;$ soit $\;u_{L}(0^{+})$ $=E\;$ avec $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ d'où $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E}{L}}$.

 

Détermination de la réponse transitoire en intensité du courant dans le cas où les dipôles L R série et R C parallèle ont même constante de temps et tracé du graphe de i(t) en fonction de t

......Supposant que l'inductance propre de la bobine et la capacité du condensateur sont telles que les dipôles L R série et R C parallèle ont même constante de temps notée $\;\tau$, réécrire l'équation différentielle en $\;i(t)$ pour tout t sous forme canonique ;

......en déduire, pour $\;t>0$, la réponse en $\;i(t)$, intensité du courant traversant le circuit soumis l'échelon de tension d'amplitude $\;E$, en fonction de $\;E$, $\;R$, $\;\tau \;$ et l'instant $\;t$.

......Donner l'allure du graphe de $\;i(t)\;$ en fonction de $\;t$.

Solution

......Compte-tenu que les dipôles L R série et R C parallèle ont même constante de temps $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}=R\;C\;$ $\Rightarrow$ $\;L\;C={\dfrac {L}{R}}\,\left(R\;C\right)=\tau ^{2}$, l'équation différentielle en i(t) a pour forme canonique : $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {2}{\tau }}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {2}{\tau ^{2}}}\,i(t)={\dfrac {E}{R\;\tau ^{2}}}\;$ pour $\;t>0$ ; il y a donc une solution forcée $\;i_{f}={\dfrac {E}{2\;R}}\;$ à ajouter à la solution libre, laquelle nécessite de résoudre l'équation caractéristique $\;s^{2}+{\dfrac {2}{\tau }}\,s+{\dfrac {2}{\tau ^{2}}}=0$, de discriminant réduit $\;\Delta '=\left({\dfrac {1}{\tau }}\right)^{2}-{\dfrac {2}{\tau ^{2}}}=-{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}<0$, n'admettant que des solutions complexes conjuguées $\;{\underline {s_{\pm }}}=-{\dfrac {1}{\tau }}\pm i\;{\dfrac {1}{\tau }}\;$ et par suite, donnant une solution libre pseudo-périodique $\;i_{l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+\varphi \right)\;$ de pseudo-pulsation $\;\omega ={\dfrac {1}{\tau }}\;$ soit finalement la solution transitoire de l'équation différentielle de la forme suivante : $\;i(t)=i_{f}+i_{l}(t)={\dfrac {E}{2\;R}}+A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+\varphi \right)$, les constantes $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ étant à déterminer par C.I. :

Graphe, en fonction de t, de la réponse en i(t) du circuit constitué d'une bobine parfaite en série avec un conducteur ohmique de résistance R et l'association d'un condensateur en parallèle sur un conducteur ohmique de même résistance R, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension et les dipôles R L série et R C parallèle étant de même constante de temps

• 1^ère C.I. $\;i(0^{+})=0\;$ donne ici $\;{\dfrac {E}{2\;R}}+A\,\cos(\varphi )=0\;$ soit $\;A\,\cos(\varphi )=-{\dfrac {E}{2\;R}}\;\;({\mathfrak {1}})$,
• 2^e C.I. $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E}{L}}\;$ soit, avec $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=-{\dfrac {1}{\tau }}\;A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+\varphi \right)-{\dfrac {1}{\tau }}\;A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\sin \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+\varphi \right)$, on obtient $\;A\,\cos(\varphi )+A\,\sin(\varphi )=$ $-{\dfrac {E\;\tau }{L}}=-{\dfrac {E}{R}}\;$ ou, en y reportant $\;A\,\cos(\varphi )=-{\dfrac {E}{2\;R}}\;$ de la 1^ère C.I., on obtient $\;A\,\sin(\varphi )=-{\dfrac {E}{2\;R}}\;\;({\mathfrak {2}})$ ;

......de $\;{\sqrt {({\mathfrak {1}})^{2}+({\mathfrak {2}})^{2}}}$, on déduit $\;A={\dfrac {E}{2\;R}}\;{\sqrt {2}}={\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;R}}$ ;

......de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A\;\cos(\varphi )<0\\A\;\sin(\varphi )<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec le choix de $\;A>0\;$ on déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi )<0\\\sin(\varphi )<0\end{array}}\right\rbrace \;$ dont on tire $\;\varphi \in \left]-\pi \;{\text{ ;}}-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$, établissant que seul $\;\varphi +\pi \;$ peut se mettre sous la forme d'un $\;\arctan()\;$ soit $\;\varphi =\arctan(1)-\pi =-{\dfrac {3\;\pi }{4}}$ ;

......avec les valeurs de $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ précédemment déterminées on obtient $\;i(t)={\dfrac {E}{2\,R}}\,\left[1+{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}-{\dfrac {3\;\pi }{4}}\right)\right]={\dfrac {E}{2\,R}}\,\left[1-{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right]$.

......L'allure de la courbe est rappelée ci-dessus à droite en traits pleins avec précision des enveloppes en tiretés :

 

Circuit de Wien court-circuité, le condensateur de l'association série étant initialement chargé et celui de l'association parallèle initialement déchargé, réponse en tension aux bornes de l'association parallèle

Schéma d'un circuit de Wien court-circuité c'est-à-dire formé d'un R' C' série fermé sur un R C parallèle, le condensateur de capacité C' étant initialement chargé et celui de capacité C étant déchargé

......À l'aide des conducteurs ohmiques de résistance $\;R\;$ et $\;R'\;$ ainsi que des condensateurs parfaits de capacité $\;C\;$ et $\;C'$, on réalise le montage ci-contre appelé circuit de Wien court-circuité.

......On ferme l'interrupteur $\;K\;$ à $\;t=0$, le condensateur de l'association série de capacité $\;C'\;$ étant initialement chargé et celui de l'association parallèle de capacité $\;C\;$ déchargé.

......Pour faire les applications numériques nous nous placerons dans le cas où les deux résistances sont égales et les deux capacités aussi, ceci permettant de poser $\;R\,C=R'\,C'=R\,C'=R'\,C=\tau$, et on prendra $\;R=R'=10\,k\Omega \;$ et $\;C=C'=0,1\,\mu F$.

......À l'instant $\;t\;$ on note $\;u(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du condensateur initialement chargé de capacité $\;C'\;$ et $\;v(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du condensateur initialement déchargé de capacité $\;C$, le but de cet exercice étant de déterminer l'évolution de la tension $\;v(t)\;$ en fonction du temps $\;t$.

Détermination des valeurs à l'instant 0⁺ et au bout d'un temps infini de v(t) et de sa dérivée temporelle

......À partir de considérations physiques préciser les valeurs de la tension $\;v(t)\;$ et de sa dérivée temporelle $\;{\dfrac {dv}{dt}}(t)\;$ lorsque $\;t=0^{+}\;$ et quand $\;t\rightarrow \infty$.

Solution

......Valeurs initiales de la tension v(t) et de sa dérivée temporelle :

......Utilisant la continuité de la tension aux bornes du condensateur de capacité $\;C$, le circuit étant résistif, on peut écrire $\;v(0^{+})=v(0^{-})\;$ et cette dernière étant nulle car le condensateur de capacité $\;C\;$ est initialement déchargé on en déduit $\;v(0^{+})=0\;$ c'est-à-dire que le condensateur de capacité $\;C\;$ est équivalent à un court-circuit dans le circuit à $\;0^{+}$ ; ......ayant aussi la continuité de la tension aux bornes du condensateur de capacité $\;C'\;$ à l'instant 0 c'est-à-dire $\;u(0^{+})=u(0^{-})\;$ et cette dernière étant égale à $\;U>0\;$ car le condensateur de capacité $\;C'\;$ est initialement chargé sous tension $\;U$, on en déduit $\;u(0^{+})=U\;$ c'est-à-dire que le condensateur de capacité $\;C'\;$ est équivalent à une source de tension parfaite de f.e.m. $\;U>0\;$ dans le circuit à $\;0^{+}$ ;

......pour déterminer $\;{\dot {v}}(0^{+})\;$ il convient de rechercher $\;i(0^{+})=C\,{\dfrac {dv}{dt}}(0^{+})\;$ et pour cela de tracer le circuit à $\;0^{+}\;$ en utilisant les équivalences déterminées ci-dessus ;

......on en déduit que la f.e.m. $\;U>0\;$ de la source de tension équivalente à $\;C'\;$ à l'instant $\;0^{+}\;$ se retrouve aux bornes de $\;R'\;$ $\Rightarrow$ $\;i'(0^{+})={\dfrac {U}{R'}}\;$ et la tension aux bornes de $\;R\;$ étant nulle à l'instant $\;0^{+}\;$ ${\big [}R\;$ étant en $\;\parallel \;$ sur le court-circuit équivalent à $\;C\;$ de à l'instant $\;0^{+}{\big ]}$, $\;i_{R}(0^{+})=0\;$ et par suite la loi des nœuds $\;i(0^{+})+i_{R}(0^{+})=$ $i'(0^{+})\;$ donne finalement $\;i(0^{+})=i'(0^{+})={\dfrac {U}{R'}}$ ; de l'utilisation de $\;i(t)=C\,{\dfrac {dv}{dt}}(t)$, on en déduit $\;{\dot {v}}(0^{+})={\dfrac {i(0^{+})}{C}}={\dfrac {U}{R'\,C}}$.

......Valeurs de la tension v(t) et de sa dérivée temporelle au bout d'un temps infini :

......Les charges des condensateurs étant terminées (régime permanent), on a donc $\;i'(\infty )=0\;$ ainsi que $\;i(\infty )=0\;$ et par loi des nœuds $\;i_{R}(\infty )=0\;$ dont on déduit, par utilisation de $\;v(t)=R\;i_{R}(t)$, $\;v(\infty )=0$, le condensateur de capacité $\;C\;$ étant finalement déchargé ; ......par utilisation de $\;i(t)=C\,{\dfrac {dv}{dt}}(t)$ et $\;i(\infty )=0$, on déduit aussi $\;{\dot {v}}(\infty )=0\;$ traduisant l'état d'équilibre du condensateur de capacité $\;C$ ; ......bien que cela ne soit pas demandé, l'utilisation de la loi de maille $\;u(t)=v(t)+R'\;i'(t)\;$ avec $\;v(\infty )=0\;$ et $\;i'(\infty )=0\;$ nous conduit à $\;u(\infty )=0$, le condensateur de capacité $\;C'\;$ étant finalement, lui aussi, déchargé.

 

Établissement de l'équation différentielle en v(t), tension aux bornes du dipôle R C parallèle

......Établir l'équation différentielle en $\;v(t)$, tension aux bornes du dipôle R C parallèle, pour tout instant $\;t>0$.

Solution

Schéma d'un circuit de Wien court-circuité c'est-à-dire formé d'un R C série fermé sur un R' C' parallèle, le condensateur de capacité C étant initialement chargé et celui de capacité C' déchargé, avec définition des grandeurs utiles à la détermination de la réponse en tension aux bornes du R' C' parallèle

......Sur le schéma ci-contre, nous avons introduit 9 inconnues $\;{\big (}4\;$ tensions, 3 intensités et 2 charges), il nous faudra donc 9 relations pour les éliminer progressivement en ne conservant que $\;v(t)$ ;

• loi des nœuds $\;i'(t)=i_{R}(t)+i(t)\quad ({\mathfrak {1}})$,
• lien entre tension aux bornes d'un condensateur et sa charge $\;u(t)={\dfrac {q'(t)}{C'}}\;\;({\mathfrak {a}})\;$ et $\;v(t)={\dfrac {q(t)}{C}}\;\;({\mathfrak {b}})\;$ d'où, en éliminant les charges au profit des tensions aux bornes des condensateurs, la diminution du nombre d'inconnues à 7 et par suite la nécessité de 7 relations (il en faut donc encore $\;6{\big )}$,
• loi d'Ohm appliqué au conducteur ohmique de résistance R' soit $\;u_{R'}(t)=R'\,i'(t)\;\;({\mathfrak {c}})\;$ d'où, en éliminant la tension aux bornes de $\;R'\;$ au profit l'intensité la traversant, la diminution du nombre d'inconnues à 6 c'est-à-dire les trois intensités $\;i'(t)$, $\;i_{R}(t)$, $\;i(t)\;$ et les trois tensions $\;u(t)$, $\;v(t)$, $\;u_{K}(t)\;$ et par suite la nécessité de 6 relations (il en faut donc encore $\;5{\big )}$,
• définition du courant de décharge du condensateur de capacité C' soit $\;i'(t)=-{\dot {q'}}(t)\;\;({\mathfrak {d}})\;$ ou, en remplaçant $\;q'(t)\;$ par $\;C'\,u(t)$, la 2^e relation utile $\;i'(t)=-C'\,{\dot {u}}(t)\quad ({\mathfrak {2}})\;$ et
• définition du courant de charge du condensateur de capacité C soit $\;i(t)={\dot {q}}(t)\;\;({\mathfrak {e}})\;$ ou, en remplaçant $\;q(t)\;$ par $\;C\,v(t)$, la 3^e relation utile $\;i(t)=C\,{\dot {v}}(t)\quad ({\mathfrak {3}})\;$,
• 1^ère loi de maille R fermé sur C [maille orientée dans le sens de v(t)] $\;v(t)-R\,i_{R}(t)=0\;$ ou $\;v(t)=R\,i_{R}(t)\quad ({\mathfrak {4}})$ et
• 2^e loi de maille C' R' K fermé sur C soit $\;v(t)+u_{K}(t)+R'\,i'(t)-u(t)=0\;$ ou $\;u(t)=R'\,i'(t)+u_{K}(t)+v(t)\quad ({\mathfrak {5}})$;
• enfin la caractérisation de l'interrupteur K $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{pour }}t>0,&u_{K}(t)=0&&\forall \,i'(t)\\{\text{pour }}t<0,&u_{K}(t)=U&{\text{et }}&i'(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ que l'on peut réécrire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{K}(t)&=&U\;Y(-t)\quad ({\mathfrak {6}})\\i'(t)&=&0\quad {\text{pour }}\,t<0\end{array}}\right\rbrace$ ;

......pour déterminer l'équation différentielle en $\;v(t)\;$ cherchée, il faut éliminer entre les 6 relations $\;i(t)$, $\;i'(t)$, $\;i_{R}(t)$, $\;u_{K}(t)\;$ et $\;u(t)\;$ au profit de $\;v(t)\;$ et de ses dérivées temporelles soit :

......$\;\succ \;$ par $\;({\mathfrak {4}})$, $\;i_{R}(t)={\dfrac {v(t)}{R}}\quad ({\mathfrak {4}}')$,

......$\;\succ \;$ on reporte alors $\;({\mathfrak {4}}')\;$ ainsi que $\;({\mathfrak {3}})\;$ dans $\;({\mathfrak {1}})\;$ et on obtient $\;i'(t)\;$ en fonction de $\;v(t)\;$ et $\;{\dot {v}}(t)\;$ soit $\;i'(t)={\dfrac {v(t)}{R}}+C\,{\dot {v}}(t)\quad ({\mathfrak {1}}')$ ;

......$\;\succ \;$ on reporte alors $\;({\mathfrak {1}}')\;$ ainsi que $\;({\mathfrak {6}})\;$ dans $\;({\mathfrak {5}})\;$ $\Rightarrow$ $\;u(t)\;$ en fonction de $\;v(t)\;$ et $\;{\dot {v}}(t)\;$ soit encore : $\;u(t)=R'\!\left[{\dfrac {v(t)}{R}}+C\,{\dot {v}}(t)\right]+U\;Y(-t)+v(t)\;$ ou $\;u(t)=\left(1+{\dfrac {R'}{R}}\right)v(t)+R'\,C\,{\dot {v}}(t)+U\;Y(-t)\quad ({\mathfrak {5}}')$ ;

......$\;\succ \;$ il reste alors à éliminer $\;u(t)\;$ à l'aide de $\;({\mathfrak {2}})\;$ utilisée simultanément à $\;({\mathfrak {1}}')\;$ soit : $\;{\dot {u}}(t)=-{\dfrac {i'(t)}{C'}}=-{\dfrac {1}{C'}}\left[{\dfrac {v(t)}{R}}+C\,{\dot {v}}(t)\right]\;$ que l'on réécrit selon $\;{\dot {u}}(t)=$ $-{\dfrac {v(t)}{R\,C'}}-{\dfrac {C}{C'}}{\dot {v}}(t)\quad ({\mathfrak {2}}')$ ;

......$\;\succ \;$ il suffit de dériver $\;({\mathfrak {5}}')\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {u}}(t)=\left(1+{\dfrac {R'}{R}}\right){\dot {v}}(t)+R'\,C\,{\ddot {v}}(t)-U\;\delta (-t)\quad ({\mathfrak {5}}'')\;$ et d'identifier à $\;({\mathfrak {2}}')\;$ pour éliminer $\;{\dot {u}}(t)\;$ et obtenir l'équation différentielle cherchée soit : $\;\left(1+{\dfrac {R'}{R}}\right){\dot {v}}(t)+R'\,C\,{\ddot {v}}(t)-U\;\delta (-t)=-{\dfrac {v(t)}{R\,C'}}-{\dfrac {C}{C'}}{\dot {v}}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;R'\,C\,{\ddot {v}}(t)+\left(1+{\dfrac {R'}{R}}+{\dfrac {C}{C'}}\right){\dot {v}}(t)+{\dfrac {v(t)}{R\,C'}}=U\;\delta (-t)\;$ ou encore sous forme normalisée : $\;{\ddot {v}}(t)+\left({\dfrac {1}{R'\,C}}+{\dfrac {1}{R\,C}}+{\dfrac {1}{R'\,C'}}\right){\dot {v}}(t)+{\dfrac {v(t)}{R\,R'\,C\,C'}}={\dfrac {U}{R'\,C}}\;\delta (-t)\;$ ou,
avec $\;R'\,C'=R'\,C=R\,C'=R\,C=\tau$, $\;{\ddot {v}}(t)+{\dfrac {3}{\tau }}\;{\dot {v}}(t)+{\dfrac {v(t)}{\tau ^{2}}}={\dfrac {U}{\tau }}\;\delta (-t)$.

......Remarque : L'équation différentielle en v(t( écrite pour tout t permet de retrouver les C.I. en effet l'excitation $\;{\dfrac {U}{\tau }}\;\delta (-t)\;$ étant discontinue de 2^e espèce pour t = 0, on en déduit que $\;{\dot {v}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce et $\;v(t)\;$ continue en t = 0 ;

......Remarque : la valeur de $\;{\dot {v}}(0^{+})\;$ peut être retrouvée en intégrant l'équation différentielle en v(t) écrite pour tout t entre $\;0^{-}\;$ et $\;0^{+}\;$ ce qui donne, compte-tenu de la nullité des valeurs de $\;v(t)\;$ et $\;{\dot {v}}(t)\;$ pour $\;0^{-}$, $\;{\dot {v}}(0^{+}+{\dfrac {3}{\tau }}\,v(0^{+})+{\cancel {{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}\,\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}v(t)\,dt}}={\dfrac {U}{\tau }}\;$ ;

......Remarque : la valeur de $\;v(0^{+})\;$ peut être retrouvée en utilisant la continuité de v(t) en t = 0 ce qui donne, compte-tenu de la nullité de la valeur de $\;v(t)\;$ pour $\;0^{-}$, la nullité de $\;v(t)\;$ pour $\;0^{+}$ ou $\;v(0^{+})=0\;$ ......Remarque : et par report dans la C.I. précédente $\;{\dot {v}}(0^{+})+{\cancel {{\dfrac {3}{\tau }}\,v(0^{+})}}={\dfrac {U}{\tau }}\;$ soit $\;{\dot {v}}(0^{+})={\dfrac {U}{\tau }}$.

 

Résolution de l'équation différentielle en v(t), tension aux bornes du dipôle R C parallèle, puis tracé de son graphe en fonction du temps t et détermination de l'instant pour lequel v(t) est maximale

......Exprimer $\;v(t)\;$ sachant que $\;u(0^{-})=3\,V$, puis

......donner le graphe correspondant et

......déterminer le temps au bout duquel $\;v(t)\;$ passe par un maximum.

Solution

......Pour t > 0 l'équation différentielle en v(t) étant linéaire à cœfficients réels constants homogène du 2^e ordre $\;{\ddot {v}}(t)+{\dfrac {3}{\tau }}\;{\dot {v}}(t)+{\dfrac {v(t)}{\tau ^{2}}}=0$, sa solution transitoire s'identifie à la solution libre qui se résout en cherchant les solutions de l'équation caractéristique $\;s^{2}+{\dfrac {3}{\tau }}s+{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}=0$ ; celle-ci étant de discriminant $\;\Delta ={\dfrac {9}{\tau ^{2}}}-4\,{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}={\dfrac {5}{\tau ^{2}}}>0\;$ admet deux solutions réelles distinctes $\;s_{\pm }=-{\dfrac {3}{2\tau }}\pm {\dfrac {\sqrt {5}}{2\tau }}\;$ et par suite la loi horaire d'évolution de v(t) s'écrit $\;v(t)=A_{(+)}\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)+A_{(-)}\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)$ ;

......on détermine $\;A_{(+)}\;$ et $\;A_{(-)}\;$ à l'aide des C.I. déterminées précédemment soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}v(0^{+})=0\\{\dot {v}}(0^{+})={\dfrac {U}{\tau }}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où :

• 1^ère C.I. $\;A_{(+)}+A_{(-)}=0\;$ et
• 2^e C.I. nécessitant d'exprimer $\;{\dot {v}}(t)=\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)A_{(+)}\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)+\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)A_{(-)}\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$ soit, en faisant t = 0⁺, $\;\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)A_{(+)}+\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)A_{(-)}={\dfrac {U}{\tau }}\;$ ou $\;\left(3-{\sqrt {5}}\right)A_{(+)}+\left(3+{\sqrt {5}}\right)A_{(-)}=-2\;U$,

Graphe, en fonction de t, de la réponse apériodique en v(t) tension aux bornes du R C parallèle du circuit de Wien court-circuité, le condensateur du R' C' série étant initialement chargé sous 3 V

Début de graphe, en fonction de t, de la réponse apériodique en v(t) tension aux bornes du R C parallèle du circuit de Wien court-circuité, le condensateur du R' C' série étant initialement chargé sous 3 V

......2^e C.I. dans laquelle on reporte $\;A_{-}=-A_{+}\;$ tiré de la 1^ère C.I. soit $\;\left[\left(3-{\sqrt {5}}\right)-\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]A_{(+)}=-2\;U\;$ d'où $\;A_{+}=$ ${\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\;$ et par suite $\;A_{-}=-{\dfrac {U}{\sqrt {5}}}$ ;

......finalement la loi horaire de variation de v(t) s'écrit selon $\;v(t)={\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\left[\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)-\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$ ou
numériquement, avec $\;U=3\;V\;$ et $\;\tau =R\;C=10^{4}\times 10^{-7}=10^{-3}\;s=1\;ms\;$
$\;v_{{\text{en }}\,V}(t_{{\text{en }}\,ms})\simeq 1,34\;\left[\exp \!\left(-0,382\,t_{{\text{en }}\,ms}\right)-\exp \!\left(-2,618\,t_{{\text{en }}\,ms}\right)\right]$,
le tracé du diagramme horaire de v(t) étant représenté ci-contre ainsi que
celui du début de courbe à la suite du précédent.

......Détermination du temps au bout duquel v(t) passe par un maximum : graphiquement on trouve $\;t_{m}\simeq 0,85\;ms$ ;

......Détermination du temps au bout duquel v(t) passe par un maximum : analytiquement on cherche $\;t_{m}\;$ tel que $\;{\dot {v}}(t_{m})=0\;$, ce qui donne, avec $\;{\dot {v}}(t)={\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\left[\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)-\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]$, l'équation suivante $\;\left(3-{\sqrt {5}}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t_{m}}{\tau }}\right)=\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t_{m}}{\tau }}\right)\;$ ou $\;\exp \!\left({\sqrt {5}}\;{\dfrac {t_{m}}{\tau }}\right)={\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{3-{\sqrt {5}}}}\;$ soit, en inversant, $\;{\sqrt {5}}\;{\dfrac {t_{m}}{\tau }}=\ln \!\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{3-{\sqrt {5}}}}\right)\;$ ou, en multipliant haut et bas l'argument du logarithme par l'expression conjuguée de son dénominateur, $\;{\sqrt {5}}\;{\dfrac {t_{m}}{\tau }}=\ln \!\left[{\dfrac {(3+{\sqrt {5}})^{2}}{4}}\right]\;$ soit finalement $\;t_{m}={\dfrac {2\;\tau }{\sqrt {5}}}\;\ln \!\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\simeq 0,86\;\tau =0,86\;ms\;$.

......Commentaires : on a donc montré que

• sur l'intervalle $\;\left[0\;;\,t_{m}\simeq 0,86\;\tau \right[\;$ le condensateur de capacité C se chargeait jusqu'à atteindre une charge maximale associée à une tension $\;v_{\text{max}}=v(t_{m})={\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\left\lbrace \exp \!\left[-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{\sqrt {5}}}\;\ln \!\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right]-\exp \!\left[-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{\sqrt {5}}}\;\ln \!\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right]\right\rbrace \;$ ou $\;v_{\text{max}}$ $={\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\left[\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{\sqrt {5}}}}-\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{-{\frac {3+{\sqrt {5}}}{\sqrt {5}}}}\right]\simeq 0,275\;U=0,825\;V\;$ et
• sur l'intervalle $\;\left]t_{m}\simeq 0,86\;\tau \;;\,+\infty \right[\;$ il se déchargeait à travers le conducteur ohmique monté en parallèle sur lui jusqu'à être totalement déchargé.

 

Établissement du courant dans un circuit bouchon quand ce dernier est soumis, à travers un conducteur ohmique, à un échelon de tension

Schéma d'un circuit constitué d'un conducteur ohmique en série avec un circuit bouchon (association d'une bobine parfaite en parallèle sur un condensateur), l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On se propose de déterminer la réponse en $\;i(t)\;$ intensité du courant traversant le circuit constitué d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ en série avec l'association d'un condensateur de capacité $\;C\;$ en parallèle sur une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ (association parallèle appelée circuit bouchon), l'ensemble étant soumis à un échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ établi à partir de $\;t=0\;$ et d'amplitude $\;E\;$ (voir ci-contre) ;

......on pose $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ et $\;2\;\lambda ={\dfrac {1}{R\;C}}\;$, la résistance étant choisie suffisamment grande pour que $\;\lambda \;$ soit inférieur à $\;\omega _{0}\;$ c'est-à-dire $\;\lambda <\omega _{0}$ ;

......avant la fermeture de l'interrupteur $\;K\;$ réalisée à $\;t=0$, toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.

Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension

......Établir, pour tout $\;t$, l'équation différentielle en $\;i(t)$, intensité du courant traversant le circuit bouchon, quand le circuit complet est soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ d'amplitude $\;E$.

Solution

Schéma d'un circuit constitué d'un conducteur ohmique en série avec un circuit bouchon (association d'une bobine parfaite en parallèle sur un condensateur), l'ensemble étant soumis à un échelon de tension, avec définition des grandeurs utiles à la détermination de la réponse en intensité du courant traversant le circuit

......On dispose d'une loi de nœuds $\;i(t)=i_{C}(t)+i_{L}(t)\quad ({\mathfrak {n}})$,

......On dispose de deux lois de mailles dont

• la 1^ère est $\;E\,Y(t)-R\;i(t)-{\dfrac {q_{C}(t)}{C}}=0\quad (I)\;$ dans laquelle $\;q_{C}(t)\;$ est liée à $\;i_{C}(t)\;$ par $\;i_{C}(t)={\dfrac {dq_{C}}{dt}}(t)\;$ (convention de charge du condensateur), ce qui permet d'éliminer $\;q_{C}(t)\;$ au profit de $\;i_{C}(t)\;$ par dérivation temporelle de cette 1^ère équation de maille soit $\;{\dfrac {i_{C}(t)}{C}}+R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\;\delta (t)$, cette dernière équation permettant d'expliciter $\;i_{C}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ selon $\;i_{C}(t)=$ $C\;E\;\delta (t)-R\;C\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\quad (I')\;$ et
• la 2^e $\;{\dfrac {q_{C}(t)}{C}}-L\,{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)=0\quad (II)\;$ dans laquelle on peut éliminer $\;q_{C}(t)\;$ au profit de $\;i(t)\;$ à l'aide de la 1^ère loi de maille reportée dans $\;(II)$, ceci donnant $\;E\,Y(t)-R\;i(t)=L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ qui permet d'expliciter $\;i_{L}(t)\;$ ${\bigg [}$plus exactement $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t){\bigg ]}\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ selon $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {E}{L}}\;Y(t)-{\dfrac {R}{L}}\;i(t)\quad (II')$ ;

......pour trouver l'équation différentielle en $\;i(t)$, il faut dériver l'équation de nœud $\;({\mathfrak {n}})\;$ pour faire apparaître $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ soit $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ dans laquelle on peut reporter l'expression de $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ selon la relation $\;(II')\;$ ce qui donne $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {E}{L}}\;Y(t)-{\dfrac {R}{L}}\;i(t)\quad (II'')\;$ puis dériver la relation $\;(I')\;$ pour expliciter $\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ selon $\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)=C\;E\;{\dot {\delta }}(t)-R\;C\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$ et reporter cette expression dans $\;(II'')\;$ ce qui donne finalement $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)$ $=C\;E\;{\dot {\delta }}(t)-R\;C\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {E}{L}}\;Y(t)-{\dfrac {R}{L}}\;i(t)\;$ ou, en ordonnant et normalisant $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dot {\delta }}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;Y(t)\right]$.

 

À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif

......Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en $\;t=0$, celles de $\;i(t)\;$ et de $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ puis,

......déterminer les valeurs initiales $\;i(0^{+})\;$ et $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$ par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité (éventuelle).

Solution

......De l'excitation $\;{\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dot {\delta }}(t)+\omega _{0}^{2}\,Y(t)\right]\;$ de l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ « “ discontinue de 3^e espèce en t = 0 ” » on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre, que $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$ est « “ discontinue de 3^e espèce ” », $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ discontinue de 2^e espèce et $\;i(t)\;$ discontinue de 1^ère espèce en t = 0 ;

......on trouvera donc $\;i(0^{+})\;$ par circuit à $\;0^{+}\;$ (à représenter réellement) dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert [continuité de $\;i_{L}(t)\;$ à l'instant 0 dans un circuit résistif $\;\Rightarrow i_{L}(0^{+})=i_{L}(0^{-})\;$ cette dernière étant nulle] et le condensateur par un court-circuit $\;{\bigg [}$continuité de $\;u_{C}(t)={\dfrac {q(t)}{C}}\;$ à l'instant 0 dans un circuit résistif $\;\Rightarrow u_{C}(0^{+})$ $=u_{C}(0^{-})\;$ cette dernière étant nulle${\bigg ]}$, on retrouve alors $\;E\;$ aux bornes de $\;R\;$ d'où $\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}$ ; ......l'intensité $\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}\;$ se retrouve traversant le court-circuit modélisant le condensateur à l'instant $\;0^{+}$, compte-tenu du fait que la bobine est modélisée, à ce même instant, par un interrupteur ouvert d'où $\;i_{C}(0^{+})={\dfrac {E}{R}}\;$ que l'on reporte dans la relation $\;(I')\;$ prise à l'instant $\;0^{+}\;$ soit $\;i_{C}(0^{+})={\cancel {C\;E\;\delta (0^{+})}}-R\;C\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\quad (I')_{0^{+}}\;$ d'où $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {i_{C}(0^{+})}{R\;C}}\;$ et finalement $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {E}{R^{2}\;C}}\;$.

 

Détermination de la réponse transitoire en intensité du courant et tracé du graphe de i(t) en fonction de t

......Réécrire l'équation différentielle en $\;i(t)$ pour tout t sous forme canonique ;

......en déduire, pour $\;t>0$, la réponse en $\;i(t)$, intensité du courant traversant le circuit complet soumis l'échelon de tension d'amplitude $\;E$, en fonction de $\;E$, $\;R$, $\;\lambda$, $\;\omega _{0}\;$ et l'instant $\;t$.

......Donner l'allure du graphe de $\;i(t)\;$ en fonction de $\;t$.

Solution

......La réduction canonique imposée nous conduit à définir

• la pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ et
• un cœfficient d'amortissement $\;\lambda >0\;$ tel que $\;2\,\lambda ={\dfrac {1}{R\,C}}\;$ d'où,

......la forme canonique de l'équation différentielle en $\;i(t)\;$ suivante $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+2\,\lambda \,{\dfrac {di}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,i(t)={\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dot {\delta }}(t)+\omega _{0}^{2}\,Y(t)\right]\;\;\forall \,t$.

......Compte-tenu de l'introduction de ces grandeurs canoniques la 2^e C.I. $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {E}{R^{2}\;C}}\;$ se réécrit selon $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-2\;\lambda \;{\dfrac {E}{R}}$, la 1^ère C.I. restant $\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}$.

......L'équation différentielle en i(t) ayant pour forme canonique : $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+2\,\lambda \,{\dfrac {di}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,i(t)={\dfrac {E}{R}}\;\omega _{0}^{2}\;$ pour $\;t>0$, la solution transitoire est la somme d'une solution forcée $\;i_{f}={\dfrac {E}{R}}\;$ et de la solution libre, laquelle nécessite de résoudre l'équation caractéristique $\;s^{2}+2\,\lambda \,s+\omega _{0}^{2}=0$, de discriminant réduit $\;\Delta '=\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}<0\;$ d'après l'énoncé, n'admettant que des solutions complexes conjuguées $\;{\underline {s_{\pm }}}=-\lambda \pm i\;{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}}\;$ d'où une solution libre pseudo-périodique $\;i_{l}(t)=A\;\exp \!\left(-\lambda \;t\right)\;\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$ dans laquelle on définit la pseudo-pulsation $\;\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}}\;$ soit finalement la solution transitoire de l'équation différentielle de la forme suivante :

Graphe, en fonction de t, de la réponse en i(t) du circuit constitué d'un conducteur ohmique en série avec un circuit bouchon (association d'une bobine parfaite en parallèle sur un condensateur), l'ensemble étant soumis à un échelon de tension et la résistance suffisamment grande pour que le régime soit pseudo-périodique

$\;i(t)=i_{f}+i_{l}(t)={\dfrac {E}{R}}+A\;\exp \!\left(-\lambda \;t\right)\;\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)$, les constantes $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ étant à déterminer par C.I. :

• 1^ère C.I. $\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}\;$ donne ici $\;{\dfrac {E}{R}}+A\,\cos(\varphi )={\dfrac {E}{R}}\;$ soit $\;A\,\cos(\varphi )=0\;\;({\mathfrak {1}})$,
• 2^e C.I. $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-2\,\lambda \,{\dfrac {E}{R}}\;$ soit, avec $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=-\lambda \,A\;\exp \!\left(-\lambda \;t\right)\;\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)-\omega \,A\;\exp \!\left(-\lambda \;t\right)\;\sin \!\left(\omega \;t+\varphi \right)$, on obtient $\;{\cancel {\lambda \,A\,\cos(\varphi )}}+\omega \,A\,\sin(\varphi )=$ $-2\,\lambda \,{\dfrac {E}{R}}\;$ soit $\;A\,\sin(\varphi )=-{\dfrac {2\,\lambda }{\omega }}\,{\dfrac {E}{R}}\;\;({\mathfrak {2}})$ ;

......de $\;{\sqrt {({\mathfrak {1}})^{2}+({\mathfrak {2}})^{2}}}$, on déduit $\;A={\dfrac {2\,\lambda }{\omega }}\,{\dfrac {E}{R}}={\dfrac {2\,\lambda }{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}}}\,{\dfrac {E}{R}}$ ;

......de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A\;\cos(\varphi )=0\\A\;\sin(\varphi )<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec le choix de $\;A>0\;$ on déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi )=0\\\sin(\varphi )<0\end{array}}\right\rbrace \;$ dont on tire $\;\varphi =-{\dfrac {\pi }{2}}\;$ ;

......avec les valeurs de $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ précédemment déterminées on obtient $\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\,\left[1+{\dfrac {2\,\lambda }{\omega }}\,\exp \!\left(-\lambda \;t\right)\;\cos \!\left(\omega \;t-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\right]={\dfrac {E}{R}}\,\left[1-{\dfrac {2\,\lambda }{\omega }}\,\exp \!\left(-\lambda \;t\right)\;\sin \!\left(\omega \;t\right)\right]$.

......L'allure de la courbe est rappelée ci-dessus à droite en traits pleins avec précision des enveloppes en tiretés :

 

Détermination expérimentale du cœfficient de viscosité d'un fluide à partir de la période propre et de la pseudo-période d'un P.E.V.A. dont le solide se déplace dans le fluide précité

......Une sphère de rayon $\;r\;$ et de masse $\;m\;$ est suspendue à un ressort de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}$.

......Déplacée dans un liquide de cœfficient de viscosité dynamique $\;\eta$, la sphère est soumise, à l'instant $\;t$, à une force de frottement fluide linéaire donnée par la formule de Stokes $\;{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=-6\,\pi \,\eta \,r\,{\vec {v}}(t)\;$ où $\;{\vec {v}}(t)\;$ est la vitesse de la sphère au même instant $\;t$.

Détermination de l'équation différentielle du mouvement de la sphère et expression de la pseudo-période

......Écrire l'équation différentielle du mouvement de la sphère plongée dans le liquide et

......en déduire, dans l'hypothèse d'un régime pseudo-périodique, l'expression de la pseudo période $\;{\mathcal {T}}$.

Solution

......Trois schémas côtes à côtes avec forces exercées sont bien sûr indispensables [ressort suspendu à vide fixant la longueur à vide, pendule élastique vertical à l'équilibre fixant l'allongement à l'équilibre $\;\Delta l_{\text{éq}}\;$ et pendule élastique vertical à l'instant $\;t\;$ fixant l'allongement supplémentaire par rapport à l'équilibre $\;x(t)\;$], le référentiel d'étude étant supposé galiléen.

......Ayant choisi un axe $\;x'x\;$ vertical descendant et de repérer $\;M\;$ relativement à sa position d'équilibre, la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ s'écrit $\;{\vec {T}}(t)+m\,{\vec {g}}+{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=$ $m\,{\vec {a}}(t)\;$ et projetée sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ nous conduit à : $\;-k\,\left[\Delta l_{\text{éq}}+x(t)\right]+m\,g-h\,{\dot {x}}(t)=m\,{\ddot {x}}(t)\;$ avec $\;h=6\,\pi \,\eta \,r\;$ d'où l'équation différentielle du 2^e ordre en $\;x(t)\;$ cherchée $\;m\,{\ddot {x}}(t)+6\,\pi \,\eta \,r\,{\dot {x}}(t)+k\,x(t)=m\,g-k\,\Delta l_{\text{éq}}$ ;

......la condition nécessaire d'équilibre de $\;M\;$ correspondant à la résultante des forces nulle c'est-à-dire $\;{\vec {T}}_{\text{éq}}+m\,{\vec {g}}={\vec {0}}\;$, projetée sur $\;{\vec {u}}_{x}$, s'écrit $\;-k(\Delta l_{\text{éq}})+m\,g=0\;$, on en déduit l'équation différentielle du 2^e ordre en $\;x(t)\;$ sous forme normalisée $\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {6\,\pi \,\eta \,r}{m}}\,{\dot {x}}(t)+{\dfrac {k}{m}}\,x(t)=0$ ;

......la réduction canonique s'obtient en définissant

• la pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ et
• le cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ par $\;2\,\sigma \,\omega _{0}={\dfrac {6\,\pi \,\eta \,r}{m}}\;$ ou $\;\sigma ={\dfrac {3\,\pi \,\eta \,r}{m\,\omega _{0}}}\;$ qui s'écrit encore, en reportant l'expression de $\;\omega _{0}$, selon $\;\sigma ={\dfrac {3\,\pi \,\eta \,r}{\sqrt {k\,m}}}$ ;

......dans le cas où le mouvement est faiblement amorti $\;\sigma <1$, il est pseudo-périodique de pseudo-pulsation $\;\omega =\omega _{0}\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$ et de pseudo-période $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$ avec $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\,\pi }{\omega _{0}}}\;$ définissant la période propre, soit encore, en reportant l'expression de $\;\sigma$, la relation suivante $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-{\dfrac {9\,\pi ^{2}\,\eta ^{2}\,r^{2}}{k\,m}}}}}$.

 

Détermination du cœfficient de viscosité dynamique à partir de l'expression, entre autres, de la pseudo-période

......En supposant les frottements fluides linéaires négligeables dans l'air, la période des oscillations y est mesurée égale à $\;{\mathcal {T}}_{0}$ ;

......déduire, de la pseudo-période et de la période dans l'air, le cœfficient de viscosité dynamique $\;\eta \;$ du liquide en fonction de $\;m$, $\;r$, $\;{\mathcal {T}}\;$ et $\;{\mathcal {T}}_{0}$.

Solution

......De l'expression de $\;{\mathcal {T}}\;$ précédente, on tire $\;{\mathcal {T}}^{2}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}^{2}}{1-{\dfrac {9\,\pi ^{2}\,\eta ^{2}\,r^{2}}{k\,m}}}}\;$ soit en inversant $\;1-{\dfrac {9\,\pi ^{2}\,\eta ^{2}\,r^{2}}{k\,m}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}^{2}}{{\mathcal {T}}^{2}}}\;$ ou $\;{\dfrac {9\,\pi ^{2}\,\eta ^{2}\,r^{2}}{k\,m}}=1-{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}^{2}}{{\mathcal {T}}^{2}}}\;$ d'où le cœfficient de viscosité dynamique $\;\eta ={\sqrt {{\dfrac {k\,m}{9\,\pi ^{2}\,r^{2}}}\left(1-{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}^{2}}{{\mathcal {T}}^{2}}}\right)}}\;$ soit encore $\;\eta ={\dfrac {\sqrt {k\,m}}{3\,\pi \,r}}{\sqrt {1-{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}^{2}}{{\mathcal {T}}^{2}}}}}$ ;

......l'énoncé nous demandant d'éliminer $\;k\;$ nous utilisons pour cela $\;{\mathcal {T}}_{0}=2\,\pi \,{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;k={\dfrac {4\,\pi ^{2}\,m}{{\mathcal {T}}_{0}^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\sqrt {k\;m}}={\dfrac {2\,\pi \,m}{{\mathcal {T}}_{0}}}\;$ que l'on reporte dans l'expression de $\;\eta \;$ soit $\;\eta ={\dfrac {2\,\pi \,m}{3\,\pi \,r\,{\mathcal {T}}_{0}}}{\sqrt {1-{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}^{2}}{{\mathcal {T}}^{2}}}}}\;$ ou enfin $\;\eta ={\dfrac {2\,m}{3\,r}}{\sqrt {{\dfrac {1}{{\mathcal {T}}_{0}^{2}}}-{\dfrac {1}{{\mathcal {T}}^{2}}}}}$.

 

Décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le premier se déplace

Schéma de présentation du pendule élastique vertical amorti (P.E.V.A.)

Diagramme horaire de z' cote du solide d'un P.E.V.A. relativement à sa position d'équilibre en fonction du temps

......Un solide de masse $\;m\;$ est attaché à un ressort d'axe vertical, de raideur $\;k=10\,N\cdot m^{-1}\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}=$ $10\,cm\;$ fixé au point fixe $\;O\;$ (voir figure ci-contre).

......En plus de son poids et de la force élastique du ressort, le solide est soumis à une force de frottement fluide $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)=$ $-h\,{\vec {v}}(t)$, où $\;{\vec {v}}(t)\;$ est le vecteur vitesse instantané du solide à l'instant $\;t\;$ et $\;h\;$ une constante dite de « frottement fluide linéaire » dans les conditions de l'expérience.

......Un capteur fournit l'évolution, au cours du temps, de la cote $\;z'(t)\;$ du solide par rapport à sa position d'équilibre (voir figure ci-dessous).

Établissement de l'équation différentielle en z(t) cote du solide relativement à O, détermination de la cote à l'équilibre et de la loi de variation de z'(t) cote du solide relativement à sa position d'équilibre

......Établir l'équation différentielle en $\;z(t)\;$ cote du solide relativement à l'extrémité supérieure $\;O\;$ du ressort ;

......en déduire la position d'équilibre du solide c'est-à-dire sa cote $\;z_{\text{éq}}\;$ à l'équilibre puis

......en déduire l'équation différentielle en $\;z'(t)=z(t)-z_{\text{éq}}\;$ cote du solide relativement à sa position d'équilibre.

Solution

Schéma de présentation du pendule élastique vertical amorti (P.E.V.A.) avec forces appliquées à l'instant t

......On applique la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel d'étude supposé galiléen, $\;M\;$ étant soumis aux trois forces représentées ci-contre :

• son poids $\;m\,{\vec {g}}=m\,g\;{\vec {u}}_{z}$,
• la tension du ressort $\;{\vec {T}}(t)=-k\,\Delta l(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;\Delta l(t)=z(t)-l_{0}\;$ allongement du ressort relativement à sa position à vide et
• la force de frottement fluide linéaire $\;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=-h\,{\vec {v}}(t)\;$ où $\;{\vec {v}}(t)={\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ est le vecteur vitesse instantané de $\;M$ ;

......la r.f.d.n. s'écrivant $\;m\,{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=m\,{\vec {a}}(t)$, on la projette sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et on obtient $\;m\,g-k\,\left[z(t)-l_{0}\right]-h\,{\dot {z}}(t)=$ $m\,{\ddot {z}}(t)\;$ soit encore, en ordonnant $\;m\,{\ddot {z}}(t)+h\,{\dot {z}}(t)+k\,z(t)=k\,l_{0}+m\,g$. ......À l'équilibre, la force de frottement fluide linéaire est nulle, la vitesse l'étant et il n'y a pas d'accélération d'où la condition d'équilibre obtenue en insérant ces informations dans l'équation différentielle ci-dessus $\;k\,z_{\text{éq}}=k\,l_{0}+m\,g\;$ ou encore $\;z_{\text{éq}}=l_{0}+{\dfrac {m\,g}{k}}$. ......Pour obtenir l'équation différentielle en cote relativement à la position d'équilibre, il suffit de remplacer $\;k\,l_{0}+m\,g\;$ par $\;k\,z_{\text{éq}}\;$ dans l'équation différentielle en $\;z(t)\;$ précédemment trouvée et on obtient $\;m\,{\ddot {z}}(t)+h\,{\dot {z}}(t)+k\,z(t)=k\,z_{\text{éq}}\;$ ou, en transposant le 2^e membre dans le 1^er et, en introduisant $\;z'(t)=z(t)-z_{\text{éq}}\;$ cote relativement à la position d'équilibre $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {z'}}(t)={\dot {z}}(t)\\{\ddot {z'}}(t)={\ddot {z}}(t)\end{array}}\right\rbrace$, on obtient la nouvelle équation différentielle cherchée $\;m\,{\ddot {z'}}(t)+h\,{\dot {z'}}(t)+k\,z'(t)=0$.

 

Définition de la pulsation propre et du facteur de qualité du P.E.V.A.

......Dans le but de faire une réduction canonique, définir, en fonction des données

• la pulsation propre $\;\omega _{0}\;$ du P.E.V.A. ainsi que
• son facteur de qualité $\;Q\;$ puis

......réécrire l'équation différentielle en $\;z'(t)\;$ sous sa forme canonique.

Solution

......La réduction canonique proposée nous impose de définir

• la pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ dont le carré est le cœfficient de $\;z'(t)\;$ dans l'équation différentielle normalisée et
• le facteur de qualité $\;Q>0\;$ tel que $\;{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}={\dfrac {h}{m}}\;$ cœfficient de $\;{\dot {z'}}(t)\;$ dans l'équation différentielle normalisée soit encore $\;Q={\dfrac {m\;\omega _{0}}{h}}={\dfrac {k}{h\;\omega _{0}}}\;$ ou, en éliminant $\;\omega _{0}$, l'expression (moins utilisée) $\;Q={\dfrac {\sqrt {m\;k}}{h}}$ ;

......on en déduit la forme canonique normalisée de l'équation différentielle en $\;z'(t)\;$ suivante $\;{\ddot {z'}}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,{\dot {z'}}(t)+\omega _{0}^{2}\,z'(t)=0$.

 

Résolution de l'équation différentielle en z'(t)

......Déterminer, par résolution de l'équation différentielle précédente, la loi de variation de $\;z'(t)\;$ en fonction du temps $\;t$ ;

......préciser la pseudo-période $\;{\mathcal {T}}\;$ en fonction de la période propre $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\,\pi }{\omega _{0}}}\;$ et du facteur de qualité $\;Q$.

Solution

......On se place dans les conditions de « faible amortissement » le discriminant de l'équation caractéristique étant $\;\Delta ={\dfrac {\omega _{0}^{2}}{Q^{2}}}-4\,\omega _{0}^{2}=-4\,\omega _{0}^{2}\left(1-{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}\right)<0\;$ correspondant à $\;Q>{\dfrac {1}{2}}$, et les solutions complexes conjuguées de l'équation caractéristique sont $\;{\underline {s_{(\pm )}}}=-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\pm i\,\omega \;$ avec $\;\omega =\omega _{0}\,{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}}}\;$ définissant la pseudo-pulsation d'où la forme de la solution $\;z'(t)=A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$. ......La pseudo-période s'écrit $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {2\,\pi }{\omega }}\;$ soit, en réinjectant l'expression de la pseudo-pulsation et en définissant la période propre $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\,\pi }{\omega _{0}}}$, $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}}}}>{\mathcal {T}}_{0}$.

 

Définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité

......Montrer que le décrément logarithmique $\;\delta \;$ défini par $\;\delta =\ln \!\left[{\dfrac {z'(t)}{z'(t+{\mathcal {T}})}}\right]\;$ est indépendant du temps et

......l'exprimer en fonction du facteur de qualité.

Solution

......Le décrément logarithmique étant défini selon $\;\delta =\ln \!\left[{\dfrac {z'(t)}{z'(t+{\mathcal {T}})}}\right]$ se réécrit, avec l'expression de $\;z'(t)\;$ précédemment établie, sous la forme suivante $\;\delta =$ $\ln \!\left\lbrace {\dfrac {A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega \,t+\varphi )}{A\,\exp \left[-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,\left(t+{\mathcal {T}}\right)\right]\,\cos \left[\omega \,\left(t+{\mathcal {T}}\right)+\varphi \right]}}\right\rbrace \;$ ou, en utilisant que $\;{\mathcal {T}}\;$ est la période de $\;\cos(\omega \,t+\varphi )$, $\;\delta =\ln \!\left\lbrace {\dfrac {1}{\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,{\mathcal {T}}\right)}}\right\rbrace \;$ indépendant de t ......soit encore $\;\delta ={\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,{\mathcal {T}}\;$ et, en remplaçant $\;{\mathcal {T}}\;$ par son expression en fonction de $\;Q\;$ entre autres, $\;\delta ={\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}}}}\;$ ou, avec $\;\omega _{0}\,{\mathcal {T}}_{0}=2\,\pi$, $\;\delta ={\dfrac {2\,\pi }{\sqrt {4\,Q^{2}-1}}}$.

 

Comparaison des données expérimentales à la modélisation précédente

......En utilisant les positions du solide à chaque passage au maximum, comparer les données expérimentales à la modélisation précédente ;

......Commenter les résultats obtenus et estimer à l'aide des données expérimentales le décrément logarithmique ainsi que son incertitude de répétabilité (ou de type A).

Solution

Diagramme horaire de z' cote du solide d'un P.E.V.A. relativement à sa position d'équilibre en fonction du temps

......À l'aide du diagramme horaire rappelé ci-contre nous déterminons le tableau de valeurs ci-dessous

n° du maximum	n° 1	n° 2	n° 3	n° 4	n° 5	n° 6
$\;z'_{\text{max}}\;$ (en $\;cm$)	$\;2,8\;$	$\;2,0\;$	$\;1,45\;$	$\;1,1\;$	$\;0,8\;$	$\;0,6\;$
$\;\delta _{i,\,i+1}\;$		$\;0,336\;$	$\;0,321\;$	$\;0,276\;$	$\;0,318\;$	$\;0,288\;$

......On vérifie que le décrément logarithmique est quasi indépendant de t, il reste en effet constant à $\;10\;\%\;$ près ; cela peut paraître important comme écart à la constance mais les mesures d'amplitudes sur le diagramme présenté étant faites au mieux au $\;mm\;$ près, cela entraîne une imprécision de $\;{\dfrac {1}{28}}\simeq 3,5\;\%\;$ sur l'amplitude la plus grande et de $\;{\dfrac {1}{6}}\simeq 16,5\;\%\;$ sur l'amplitude la plus petite d'où une imprécision d'autant plus grande que le décrément logarithmique est évalué entre des amplitudes successives prises à des instants éloignés de l'instant initial.

......Si on admet la modélisation on peut améliorer l'évaluation du décrément logarithmique en prenant la variation entre le 1^er et le 6^e maximum selon $\;\delta ={\dfrac {1}{5}}\,\ln \!\left[{\dfrac {z'(t)}{z'(t+5\,{\mathcal {T}})}}\right]$, on trouve alors en faisant cela $\;\delta _{\text{moy}}\simeq 0,308\;$ avec une précision cinq fois meilleure.

......La meilleure estimation du décrément logarithmique étant sa valeur moyenne elle vaut $\;{\overline {\delta }}\simeq 0,308$ ;

......le calcul de l'« écart-type expérimental » nous conduit à $\;s(\delta )={\sqrt {{\dfrac {1}{4}}\left[(0,028)^{2}+(0,023)^{2}+(-0,032)^{4}+(0,010)^{2}+(0,020)^{2}\right]}}\simeq 0,027\;$ et celui de l'« écart-type expérimental sur la moyenne » nous conduit à $\;s({\overline {\delta }})={\dfrac {s(\delta )}{\sqrt {5}}}\simeq 0,012$ ; c'est cette dernière que nous prenons comme « incertitude de répétabilité (ou de type A) sur le décrément logarithmique » soit $\;u_{\text{rép}}(\delta )\simeq 0,012\;$ et finalement la valeur du décrément logarithmique est $\;\delta =0,308\pm 0,012$.

 

Par étude des données expérimentales estimation du facteur de qualité et de la pseudo-pulsation

......Estimer à l'aide des données expérimentales le facteur de qualité $\;Q\;$ puis

......Estimer à l'aide des données expérimentales la pseudo-pulsation $\;\omega ={\dfrac {2\;\pi }{\mathcal {T}}}\;$.

Solution

......Compte-tenu de $\;\delta ={\dfrac {2\,\pi }{\sqrt {4\,Q^{2}-1}}}\;$ dont on tire $\;Q={\sqrt {{\dfrac {\pi ^{2}}{\delta ^{2}}}+{\dfrac {1}{4}}}}$, on trouve pour meilleure estimation de $\;Q\;$ la valeur moyenne $\;{\overline {Q}}={\sqrt {{\dfrac {\pi ^{2}}{{\overline {\delta }}^{2}}}+{\dfrac {1}{4}}}}\simeq 10,21\;$ et on en déduit l'incertitude de répétabilité (ou de type A) sur $\;Q\;$ par $\;u_{\text{rép}}(Q)={\bigg \vert }{\dfrac {dQ}{d\delta }}({\overline {\delta }}){\bigg \vert }\;u_{\text{rép}}(\delta )={\Bigg \vert }\!\left[{\dfrac {-2\,\pi ^{2}}{{\overline {\delta }}^{3}}}\right]\left[2\,{\sqrt {{\dfrac {\pi ^{2}}{{\overline {\delta }}^{2}}}+{\dfrac {1}{4}}}}\right]^{-1}\!{\Bigg \vert }\;u_{\text{rép}}(\delta )\;$ soit finalement $\;u_{\text{rép}}(Q)=$ ${\dfrac {\pi ^{2}}{{\overline {\delta }}^{3}\,{\sqrt {{\dfrac {\pi ^{2}}{{\overline {\delta }}^{2}}}+{\dfrac {1}{4}}}}}}\;u_{\text{rép}}(\delta )\;$ et numériquement $\;u_{\text{rép}}(Q)={\dfrac {\pi ^{2}}{(0,308)^{3}\,{\sqrt {{\dfrac {\pi ^{2}}{(0,308)^{2}}}+{\dfrac {1}{4}}}}}}\times 0,01\simeq 0,33\;$ d'où la valeur du facteur de qualité estimée à $\;Q=10,2\pm 0,3$. ......Il reste à déterminer la pseudo-période sachant que le 1^er maximum est repéré à $\;0,4\,s\;$ et le 6^e à $\;9,8\,s\;$ soit 5 pseudo-périodes pour une durée de $\;9,4\,s\;$ et par suite la meilleure estimation pour la pseudo-période est $\;{\overline {\mathcal {T}}}\simeq {\dfrac {9,4}{5}}\simeq 1,880\,s\;$ ; pour évaluer l'incertitude-type sur la pseudo-période nous allons estimer l'incertitude de résolution (ou de type B) en considérant une loi de probabilité uniforme, la résolution de lecture sur les $\;9,4\,s\;$ étant estimée à $\;0,2\,s$, sur $\;{\mathcal {T}}\;$ elle est de $\;{\dfrac {0,2}{5}}=0,04\,s\;$ et l'incertitude de résolution vaut alors $\;u_{\text{rés}}({\mathcal {T}})={\dfrac {0,04}{2\,{\sqrt {3}}}}\simeq 0,012\,s\;$ d'où la valeur de la pseudo-période estimée à $\;{\mathcal {T}}=1,880\pm 0,012\;$ en $\;s$ ; ......on en déduit la pseudo-pulsation $\;\omega ={\dfrac {2\,\pi }{\mathcal {T}}}\;$ de meilleure estimation $\;{\overline {\omega }}\simeq {\dfrac {2\,\pi }{1,880}}\simeq 3,342\,rad\cdot s^{-1}\;$ et l'incertitude-type relative de résolution sur $\;\omega \;$ étant la même que celle sur $\;{\mathcal {T}}\;$ on en déduit $\;{\dfrac {u_{\text{rés}}(\omega )}{\overline {\omega }}}={\dfrac {u_{\text{rés}}({\mathcal {T}})}{\overline {\mathcal {T}}}}\simeq {\dfrac {0,012}{1,880}}\simeq 0,0064\;$ d'où $\;u_{\text{rés}}(\omega )\simeq {\overline {\omega }}\times 0,0064\simeq 0,0215\,rad\cdot s^{-1}$ ; finalement la valeur de la pseudo-pulsation est estimée à $\;\omega =3,34\pm 0,02\;$ en $\;rad\cdot s^{-1}$.

 

Déduction des résultats estimés précédents de la masse du solide et du cœfficient de frottement fluide linéaire entre le solide et le fluide

......En déduire la valeur de la masse $\;m\;$ du solide et

......En déduire la valeur du cœfficient de frottement fluide linéaire $\;h\;$ entre le solide et le fluide.

Solution

......Vu le facteur de qualité élevé on peut confondre la pseudo-pulsation et la pulsation propre d'où $\;\omega _{0}\simeq 3,34\pm 0,02\;$ en $\;rad\cdot s^{-1}\;$ avec $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ dont on tire $\;m=$ ${\dfrac {k}{\omega _{0}^{2}}}\;$ soit, avec $\;k=10\,N\cdot m^{-1}\;$, la meilleure estimation de la masse $\;{\overline {m}}={\dfrac {k}{{\overline {\omega _{0}}}^{2}}}\simeq {\dfrac {10}{(3,34)^{2}}}\simeq 896\,10^{-3}\,kg\;$ ou $\;{\overline {m}}\simeq 896\,g$ ; l'incertitude-type relative sur $\;m\;$ étant le double de celle sur $\;\omega \;$, on en déduit $\;{\dfrac {u(m)}{\overline {m}}}=2\times {\dfrac {u(\omega )}{\overline {\omega }}}\simeq 2\times {\dfrac {0,02}{3,34}}\simeq 0,012\;$ d'où $\;u(m)\simeq {\overline {m}}\times 0,012\simeq 10,8\,g$ ; finalement la valeur de la masse est estimée à $\;m=896\pm 11\;$ en $\;g$. ......Enfin le cœfficient de frottement fluide linéaire $\;h\;$ se détermine à l'aide de $\;h={\dfrac {m\ \omega _{0}}{Q}}={\dfrac {k}{Q\,\omega _{0}}}\;$ soit la meilleure estimation sur ce cœfficient de frottement fluide linéaire $\;{\overline {h}}={\dfrac {k}{{\overline {Q}}\,{\overline {\omega }}_{0}}}\simeq {\dfrac {10}{10,2\times 3,34}}\;$ soit $\;{\overline {h}}\simeq 0,294\,kg\cdot s^{-1}$ ; l'incertitude-type relative sur $\;h\;$ étant la somme de celle sur $\;Q\;$ et de celle sur $\;\omega \;$, nous en déduisons $\;{\dfrac {u(h)}{\overline {h}}}={\dfrac {u(Q)}{\overline {Q}}}+{\dfrac {u(\omega )}{\overline {\omega }}}\simeq {\dfrac {0,3}{10,2}}+{\dfrac {0,02}{3,34}}\simeq 0,035\;$ d'où l'incertitude-type sur $\;h\;$ vaut $\;u(h)\simeq 0,294\times 0,035\simeq 0,010\,kg\cdot s^{-1}$ ; finalement la valeur du cœfficient de frottement fluide linéaire est estimée à $\;h=0,294\pm 0,010\;$ en $\;kg\cdot s^{-1}$.

 

Couplage de deux circuits L C série identiques par condensateur

Schéma du couplage de deux circuits L C série identiques montés tous deux en parallèle sur un condensateur initialement chargé, les deux L C série étant initialement au repos

......À l'aide de deux circuits oscillants identiques L C série initialement au repos on réalise un couplage entre eux par condensateur c'est-à-dire qu'on les monte parallèlement à un condensateur (voir schéma ci-contre), ce condensateur de capacité $\;\Gamma \;$ est initialement chargé, sa charge initiale étant égale à $\;Q\;$ ;

......nous supposons que l'instant de réalisation du couplage est pris comme origine des temps $\;t=0$.

Établissement du système d'équations différentielles couplées en i₁(t) et i₂(t), respectivement intensité du courant circulant dans les circuits oscillants de gauche et de droite

......Déterminer le système d'équations différentielles couplées en $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$, respectivement intensité du courant circulant dans les circuits oscillants de gauche et de droite.

Solution

Schéma du couplage de deux circuits L C série identiques montés tous deux en parallèle sur un condensateur initialement chargé, les deux L C série étant initialement au repos, avec définition des grandeurs utiles à la détermination des réponses en intensité

......On dispose d'une loi de nœuds $\;i(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)\quad ({\mathfrak {n}})$,

......On dispose de deux lois de mailles dont

• la 1^ère est $\;u_{K}(t)+{\dfrac {q(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {di_{1}}{dt}}(t)-{\dfrac {q_{1}(t)}{C}}=0\;$ dans laquelle $\;u_{K}(t)\;$ étant la tension aux bornes de l'interrupteur est égale à $\;u_{K}(t)=-{\dfrac {Q}{\Gamma }}\;Y(-t)\;$, avec $\;i_{1}(t)={\dfrac {dq_{1}}{dt}}(t)\;$ (convention de charge du condensateur), cette 1^ère loi de maille se réécrivant selon $\;{\dfrac {q(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {di_{1}}{dt}}(t)-{\dfrac {q_{1}(t)}{C}}={\dfrac {Q}{\Gamma }}\;Y(-t)\quad (I)\;$ et
• la 2^e $\;u_{K}(t)+{\dfrac {q(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {di_{2}}{dt}}(t)-{\dfrac {q_{2}(t)}{C}}=0\;$ dans laquelle $\;u_{K}(t)=-{\dfrac {Q}{\Gamma }}\;Y(-t)\;$ avec $\;i_{2}(t)={\dfrac {dq_{2}}{dt}}(t)\;$ (selon la convention de charge du condensateur), cette 2^e loi de maille se réécrivant selon $\;{\dfrac {q(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {di_{2}}{dt}}(t)-{\dfrac {q_{2}(t)}{C}}={\dfrac {Q}{\Gamma }}\;Y(-t)\quad (II)\;$ ;

......pour trouver les équations différentielles en $\;i_{1}(t)\;$ et en $\;i_{2}(t)$, il faut éliminer les charges dans les relations $\;(I)\;$ et $\;(II)\;$ en utilisant $\;i(t)=-{\dfrac {dq}{dt}}(t)\;$ [convention de décharge du condensateur] ainsi que les deux relations déjà présentées liant $\;i_{1}t)\;$ et $\;q_{1}(t)\;$ ainsi que $\;i_{2}t)\;$ et $\;q_{2}(t)\;$ donc en dérivant par rapport au temps les relations $\;(I)\;$ et $\;(II)\;$ soit :

• $\;-{\dfrac {i(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {d^{2}i_{1}}{dt^{2}}}(t)-{\dfrac {i_{1}(t)}{C}}=-{\dfrac {Q}{\Gamma }}\;\delta (-t)\quad (I')\;$ et
• $\;-{\dfrac {i(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {d^{2}i_{2}}{dt^{2}}}(t)-{\dfrac {i_{2}(t)}{C}}=-{\dfrac {Q}{\Gamma }}\;\delta (-t)\quad (II')\;$ ;

......il suffit alors d'éliminer $\;i(t)\;$ au profit de $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ par loi des nœuds $\;i(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)\quad ({\mathfrak {n}})$, ce qui donne :

• $\;-{\dfrac {i_{1}(t)+i_{2}(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {d^{2}i_{1}}{dt^{2}}}(t)-{\dfrac {i_{1}(t)}{C}}=-{\dfrac {Q}{\Gamma }}\;\delta (-t)\;$ ou, en ordonnant $\;L\;{\dfrac {d^{2}i_{1}}{dt^{2}}}(t)+\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{1}(t)={\dfrac {Q}{\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{2}(t)}{\Gamma }}\quad (I'')\;$ et
• $\;-{\dfrac {i_{1}(t)+i_{2}(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {d^{2}i_{2}}{dt^{2}}}(t)-{\dfrac {i_{2}(t)}{C}}=-{\dfrac {Q}{\Gamma }}\;\delta (-t)\;$ ou, en ordonnant $\;L\;{\dfrac {d^{2}i_{2}}{dt^{2}}}(t)+\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{2}(t)={\dfrac {Q}{\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{1}(t)}{\Gamma }}\quad (II'')$ ;

......finalement, en normalisant, on obtient le système d'équations différentielles couplées en $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ suivant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d^{2}i_{1}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\,\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{1}(t)={\dfrac {Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{2}(t)}{L\;\Gamma }}\quad ({\mathfrak {1}})\;\;\forall \,t\\{\dfrac {d^{2}i_{2}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\,\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{2}(t)={\dfrac {Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{1}(t)}{L\;\Gamma }}\quad ({\mathfrak {2}})\;\;\forall \,t\end{array}}\right\rbrace$.

 

Découplage du système d'équations différentielles couplées en i₁(t) et i₂(t)

......Montrer que l'on découple le système en formant $\;\left({\mathfrak {1}}\right)+\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {1}}\right)-\left({\mathfrak {2}}\right)$, obtenant ainsi deux équations différentielles découplées

• $\;\left({\mathfrak {a}}\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ en $\;s(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)\;$ et
• $\;\left({\mathfrak {b}}\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)-\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ en $\;d(t)=i_{1}(t)-i_{2}(t)$.

Solution

......Formant $\;\left({\mathfrak {1}}\right)+\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ on obtient $\;\left[{\dfrac {d^{2}i_{1}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{1}(t)\right]+\left[{\dfrac {d^{2}i_{2}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{2}(t)\right]=\left[{\dfrac {Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{2}(t)}{L\;\Gamma }}\right]+\left[{\dfrac {Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{1}(t)}{L\;\Gamma }}\right]\;$ soit encore $\;{\dfrac {d^{2}\!\left[i_{1}+i_{2}\right]}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {2}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\left[i_{1}+i_{2}\right](t)={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)\;$ ou, en posant $\;s(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)$, l'équation différentielle découplée en $\;s(t)\;$ suivante $\;{\dfrac {d^{2}s}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {2}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)s(t)={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)\;\;\forall t\quad \;\left({\mathfrak {a}}\right)$ ; ......formant $\;\left({\mathfrak {1}}\right)-\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ on obtient $\;\left[{\dfrac {d^{2}i_{1}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{1}(t)\right]-\left[{\dfrac {d^{2}i_{2}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{2}(t)\right]=\left[{\dfrac {Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{2}(t)}{L\;\Gamma }}\right]-\left[{\dfrac {Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{1}(t)}{L\;\Gamma }}\right]\;$ soit encore $\;{\dfrac {d^{2}\!\left[i_{1}-i_{2}\right]}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {1}{C}}\right)\left[i_{1}-i_{2}\right](t)=0\;$ ou, en posant $\;d(t)=i_{1}(t)-i_{2}(t)$, l'équation différentielle découplée en $\;d(t)\;$ suivante $\;{\dfrac {d^{2}d}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\,d(t)=0\;\;\forall t\quad \;\left({\mathfrak {b}}\right)$.

 

Détermination des lois de variation de s(t) = i₁(t) + i₂(t) et de d(t) = i₁(t) - i₂(t) en fonction du temps t

......Résoudre chaque équation différentielle découplée $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ pour en déduire les lois de variation de $\;s(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)\;$ et de $\;d(t)=$ $i_{1}(t)-i_{2}(t)\;$ avec le temps $\;t$.

Solution

......Résolution de l'équation différentielle en d(t) c'est-à-dire l'équation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$ : sa forme canonique définit une première pulsation propre $\;\omega _{0,\,({\mathfrak {b}})}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}$, l'équation différentielle sous forme canonique s'écrivant $\;{\dfrac {d^{2}d}{dt^{2}}}(t)+\omega _{0,\,({\mathfrak {b}})}^{2}\,d(t)=0\;\;\forall t\quad \;\left({\mathfrak {b}}\right)$ ; l'absence d'excitation conduit d'une part à la continuité de $\;d(t)\;$ et de sa dérivée temporelle en $\;t=0$, avec des valeurs initialement nulles, soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d(0^{+})&=&d(0^{-})&=&0\\{\dot {d}}(0^{+})&=&{\dot {d}}(0^{-})&=&0\end{array}}\right\rbrace \;$ et d'autre part à l'absence de réponse forcée, la réponse transitoire s'identifiant à la réponse libre soit $\;d(t)=d_{l}(t)=A\;\cos[\omega _{0,\,({\mathfrak {b}})}\,t]+B\;\sin[\omega _{0,\,({\mathfrak {b}})}\,t]\;$, $\;A\;$ et $\;B\;$ se déterminant à l'aide des C.I. c'est-à-dire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}d(0^{+})&=&A&=&0\\{\dot {d}}(0^{+})&=&B\;\omega _{0,\,({\mathfrak {b}})}&=&0\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A=0\\B=0\end{array}}\right\rbrace \;$ et finalement $\;d(t)=0\quad \forall t$. ......Résolution de l'équation différentielle en s(t) c'est-à-dire l'équation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$ : sa forme canonique définit une deuxième pulsation propre $\;\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}={\sqrt {{\dfrac {2}{L\;\Gamma }}+{\dfrac {1}{L\;C}}}}$, l'équation différentielle sous forme canonique s'écrivant $\;{\dfrac {d^{2}s}{dt^{2}}}(t)+\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}^{2}\,s(t)={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)\;\;\forall t\quad \;\left({\mathfrak {b}}\right)$ ; la présence d'excitation discontinue de 2^e espèce conduit à la continuité de $\;s(t)\;$ et à la discontinuité de 1^ère espèce de sa dérivée temporelle en $\;t=0$, avec des valeurs initialement nulles, soit $\;s(0^{+})=s(0^{-})=0\;$ pour la 1^ère C.I., la 2^e s'obtenant en intégrant l'équation différentielle écrite pour tout t entre 0^- et 0⁺ soit $\;{\dfrac {ds}{dt}}(0^{+})+{\cancel {\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}^{2}\,\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}s(t)\,dt}}={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (-t)\,dt\;$ ${\bigg [}$car $\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}s(t)\,dt=0$, $\;s(t)\;$ étant continue $\Rightarrow$ la continuité des primitives de s(t)${\bigg ]}\;$ ou $\;{\dfrac {ds}{dt}}(0^{+})={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}\,\left[-Y(-t)\right]_{0^{-}}^{0^{+}}\;$ soit finalement $\;{\dfrac {ds}{dt}}(0^{+})={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}$ ; l'équation différentielle en s(t) pour t > 0 s'écrivant $\;{\dfrac {d^{2}s}{dt^{2}}}(t)+\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}^{2}\,s(t)=0\;$ correspondant à l'absence de réponse forcée, la réponse transitoire s'identifie à la réponse libre soit $\;s(t)=s_{l}(t)=$ $A'\;\cos[\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}\,t]+B'\;\sin[\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}\,t]\;$, $\;A'\;$ et $\;B'\;$ se déterminant à l'aide des C.I. c'est-à-dire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}s(0^{+})&=&A'&=&0\\{\dot {s}}(0^{+})&=&B'\;\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}&=&{\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A'=0\\B'={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma \;\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et finalement $\;s(t)={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma \;\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}}}\;\sin[\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}\,t]\quad \forall t\;$ avec $\;\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}={\sqrt {{\dfrac {2}{L\;\Gamma }}+{\dfrac {1}{L\;C}}}}\;$ ou
$\;s(t)={\dfrac {2\;Q}{\sqrt {L\;\Gamma \left(2+{\dfrac {\Gamma }{C}}\right)}}}\;\sin[\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}\,t]\quad \forall t$.

 

Déduction, de ce qui précède, des lois de variation de i₁(t) et de i₂(t)

......Déduire, des expressions de $\;s(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)\;$ et de $\;d(t)=i_{1}(t)-i_{2}(t)$, celles de $\;i_{1}(t)\;$ et de $\;i_{2}(t)$.

Solution

......De $\;d(t)=i_{1}(t)-i_{2}(t)=0\;\;\forall t\;$ on déduit $\;i_{1}(t)=i_{2}(t)\;\;\forall t$ ;

......reporté dans $\;s(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)={\dfrac {2\;Q}{\sqrt {L\;\Gamma \left(2+{\dfrac {\Gamma }{C}}\right)}}}\;\sin[\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}\,t]\;\;\forall t\;$ on tire $\;i_{1}(t)=i_{2}(t)={\dfrac {Q}{\sqrt {L\;\Gamma \left(2+{\dfrac {\Gamma }{C}}\right)}}}\;\sin[\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}\,t]\;\;\forall t\;$ avec $\;\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;\Gamma }}}\;{\sqrt {2+{\dfrac {\Gamma }{C}}}}$.

 

Interprétation énergétique du facteur de qualité d'un R L C série court-circuité, le condensateur étant initialement chargé et le conducteur ohmique étant de faible résistance

Schéma d'un circuit R L C série fermé sur un interrupteur K, le condensateur étant initialement chargé et K étant fermé à l'instant t = 0

......Un circuit électrique est composé d'un interrupteur $\;K$, d'un conducteur ohmique de résistance $\;R$, d'un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ initialement chargé sous la tension $\;U_{0}\;$ et d'une bobine également parfaite d'inductance propre $\;L$, le tout monté en série (voir figure ci-contre) ;

......on ferme l'interrupteur $\;K\;$ à l'instant $\;t=0$.

Établissement de l'équation différentielle en charge q(t) du condensateur et de sa réduction canonique

......Établir l'équation différentielle satisfaite par la charge $\;q(t)\;$ du condensateur quand l'interrupteur est fermé ;

......définir, en fonction de $\;R$, $\;L\;$ et $\;C$,

• la pulsation propre $\;\omega _{0}\;$ et
• le facteur de qualité $\;Q\;$ du $\;R,\,L,\,C\;$ série, puis

......réécrire l'équation différentielle sous forme canonique.

Solution

......On écrit la loi de maille (le sens + étant choisi dans le sens + du courant) soit $\;{\dfrac {q(t)}{C}}-R\,i(t)-L\,{\dfrac {di}{dt}}(t)-u_{K}(t)=0$ avec $\;i(t)=-{\dfrac {dq}{dt}}(t)\;$ (convention de décharge du condensateur) et $\;u_{K}(t)=-U_{0}\;Y(-t)\;$ soit finalement $\;L\,{\ddot {q}}(t)+R\,{\dot {q}}(t)+{\dfrac {1}{C}}\,q(t)=-U_{0}\;Y(-t)\quad \forall t$.

......On normalise l'équation différentielle $\;{\ddot {q}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\,{\dot {q}}(t)+{\dfrac {1}{L\,C}}\,q(t)=-{\dfrac {U_{0}}{L}}\;Y(-t)\quad \forall t\;$ puis on pratique la réduction canonique en définissant

• la pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {1}{L\,C}}}\;$ et
• le facteur de qualité $\;Q>0\;$ tel que $\;{\dfrac {R}{L}}={\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\;$ $\Rightarrow$ $\;Q={\dfrac {L\,\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\;C\;\omega _{0}}}\;$, ce dernier que l'on peut réécrire en éliminant $\;\omega _{0}\;$ selon $\;Q={\dfrac {L}{R\,{\sqrt {L\,C}}}}\;$ soit, après simplification $\;Q={\dfrac {1}{R}}\,{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}$ ;

......la forme canonique de l'équation différentielle en $\;q(t)\;$ s'écrit donc selon $\;{\ddot {q}}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,{\dot {q}}(t)+\omega _{0}^{2}\,q(t)=-\omega _{0}^{2}\;C\;U_{0}\;Y(-t)\quad \forall t\;$ ou encore
$\;{\ddot {q}}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,{\dot {q}}(t)+\omega _{0}^{2}\,q(t)=0\quad {\text{pour }}t>0\;$.

 

......On se place pour la suite dans le cas d'un amortissement très faible correspondant à $\;Q\gg 1$.

Détermination de la variation de la charge du condensateur en fonction du temps

......Exprimer la variation de la charge $\;q(t)\;$ du condensateur en fonction des données (on posera $\;q_{0}=C\;U_{0}{\big )}$, des grandeurs canoniques et du temps.

Solution

......En absence d'excitation dans l'équation différentielle pour $\;t>0$, la réponse transitoire se limite à la réponse libre et pour obtenir cette dernière il suffit de résoudre l'équation caractéristique $\;s^{2}+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,s+\omega _{0}^{2}=0\;$ de discriminant $\;\Delta ={\dfrac {\omega _{0}^{2}}{Q^{2}}}-4\,\omega _{0}^{2}<0\;$, d'où les zéros de l'équation caractéristique s'écrivant dans $\;\mathbb {C} \;$ selon $\;{\underline {s_{\pm }}}=-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\pm j\,\omega \;$ avec la pseudo-pulsation $\;\omega =\omega _{0}\,{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}}}\simeq \omega _{0}$ compte-tenu de $\;Q\gg 1$, la forme de la solution libre $\;q_{l}(t)=A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$ et donc de la solution transitoire $\;q(t)=A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega \,t+\varphi )\simeq A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega _{0}\,t+\varphi )$ ;

......il reste à déterminer $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ à l'aide des C.I. sachant qu'il y a continuité de la charge $\;q(t)\;$ d'un condensateur ainsi que de l'intensité $\;i(t)=-{\dfrac {dq}{dt}}(t)\;$ du courant traversant une bobine (parfaite) dans un circuit résistif d'où

• $\;q(0^{+})=q(0^{-})=q_{0}\;$ donnant la 1^ère C.I. $\;A\ \cos(\varphi )=q_{0}\;$ et
• $\;i(0^{+})=i(0^{-})=0\;$ avec $\;i(t)=-{\dot {q}}(t)={\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega \,t+\varphi )+\omega \,A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\sin(\omega \,t+\varphi )\;$ soit, en y faisant $\;t=0^{+}\;$ la 2^e C.I. $\;{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,A\,\cos(\varphi )+\omega \,A\,\sin(\varphi )=0\;$ ou, en y reportant l'expression de $\;A\,\cos(\varphi )=q_{0}$, la réécriture de la 2^e C.I. selon $\;\omega \,A\,\sin(\varphi )=-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,q_{0}\;$ soit, avec $\;\omega \simeq \omega _{0}$, l'expression approchée de $\;A\,\sin(\varphi )\simeq -{\dfrac {q_{0}}{2\,Q}}\;$ dont la valeur étant très petite en valeur absolue car $\;Q\gg 1\Rightarrow {\dfrac {1}{Q}}\ll 1\;$ peut être assimilée à 0 soit $\;\sin(\varphi )\simeq 0$ ;

......de ces deux C.I. on tire donc $\;\varphi \simeq 0\;$ et $\;A={\dfrac {q_{0}}{\cos(\varphi )}}\simeq q_{0}\;$ et finalement

$\;q(t)\simeq q_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega _{0}\,t)$.

 

Évaluation de la pseudo-période et de la durée du régime transitoire

......Évaluer la pseudo-période $\;T$, ainsi que l'ordre de grandeur de la durée $\;\Delta t_{\text{transit}}\;$ du régime transitoire.

Solution

......La pseudo-période s'identifie à la période propre car la pseudo-pulsation est quasiment la pulsation propre soit $\;T\simeq T_{0}={\dfrac {2\,\pi }{\omega _{0}}}$ ; ......posant $\;\tau ={\dfrac {Q}{\omega _{0}}}\;$ la décroissance exponentielle se réécrit $\;\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)=\exp \left(-{\dfrac {t}{2\,\tau }}\right)\;$ s'amortissant en $\;5\times 2\,\tau =10\,\tau \;$ soit $\;\Delta t_{\text{transit}}=10\,\tau ={\dfrac {10\,Q}{\omega _{0}}}\;$ ou, en introduisant la période propre, $\;\Delta t_{\text{transit}}={\dfrac {5\,Q}{\pi }}\,T_{0}\gg T_{0}$.

 

Tracé du diagramme horaire et du portrait de phase de la charge du condensateur

......Représenter le diagramme horaire de la charge du condensateur ainsi que

......Représenter son portrait de phase.

Solution

......Ci-dessous à gauche, le diagramme horaire construit avec un facteur de qualité $\;Q=50\;$ permettant d'affirmer que $\;\omega \simeq \omega _{0}\;$ à $\;0,005\;\%\;$ près donnant $\;T\simeq T_{0}\;$ à $\;0,005\;\%\;$ près et $\;\tau ={\dfrac {Q}{2\,\pi }}\,T_{0}\simeq 8\,T_{0}\;$ d'où $\;\Delta t_{\text{transit}}=10\,\tau \simeq 80\,T_{0}$ ;

......ci-dessous à droite, le portrait de phase construit avec le même facteur de qualité $\;Q=50$, on rappelle que $\;i(t)=-{\dot {q}}(t)$.

Diagramme horaire de la charge du condensateur d'un circuit R L C série fermé sur un interrupteur K, le condensateur étant initialement chargé et le facteur de qualité du R L C série supposé très grand (K étant fermé à l'instant t = 0)

Portrait de phase de la charge du condensateur d'un circuit R L C série fermé sur un interrupteur K, le condensateur étant initialement chargé et le facteur de qualité du R L C série supposé très grand (K étant fermé à l'instant t = 0)

 

Détermination de l'énergie stockée dans le L C série à l'instant t ainsi que le signe de son taux horaire de variation

......Évaluer l'énergie $\;{\mathcal {E}}(t)\;$ contenue dans le circuit à l'instant $\;t$.

......Que dire du signe de $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)$ ?

Solution

......L'énergie du circuit à l'instant $\;t\;$ est stockée sous forme électromagnétique et s'exprime selon $\;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {\left[q(t)\right]^{2}}{2\,C}}+{\dfrac {1}{2}}\,L\,\left[i(t)\right]^{2}\;$ avec $\;i(t)=-{\dot {q}}(t)\simeq$ ${\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,q_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega _{0}\,t)+\omega _{0}\,q_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$ soit encore, avec $\;Q\gg 1\;$, $\;i(t)\simeq \omega _{0}\,q_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$ ; le report des expressions de $\;q(t)\;$ et de $\;i(t)\;$ nous conduisent à $\;{\mathcal {E}}(t)\simeq {\dfrac {q_{0}^{2}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,t\right)\,\cos ^{2}(\omega _{0}\,t)}{2\,C}}+{\dfrac {1}{2}}\,L\,\omega _{0}^{2}\,q_{0}^{2}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,t\right)\,\sin ^{2}(\omega _{0}\,t)\;$ ou, en factorisant par $\;{\dfrac {q_{0}^{2}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,t\right)}{2}}\;$ et en utilisant $\;L\,\omega _{0}^{2}={\dfrac {1}{C}}$, l'expression $\;{\mathcal {E}}(t)\simeq {\dfrac {q_{0}^{2}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,t\right)}{2\,C}}\,\left[\cos ^{2}(\omega _{0}\,t)+\sin ^{2}(\omega _{0}\,t)\right]\;$ ce qui donne finalement $\;{\mathcal {E}}(t)\simeq {\dfrac {q_{0}^{2}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,t\right)}{2\,C}}={\mathcal {E}}_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,t\right)\;$ avec $\;{\mathcal {E}}_{0}={\dfrac {q_{0}^{2}}{2\,C}}\;$ l'énergie initialement stockée dans le circuit. ......la variation de l'énergie stockée dans le circuit étant décroissante exponentiellement avec comme constante de temps $\;{\dfrac {Q}{\omega _{0}}}=\tau \;$ correspondant à $\;{\mathcal {E}}(t)\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)$, on en déduit que $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)<0$ ; ......une autre explication du signe de la dérivée temporelle provient du bilan de puissance $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)=-{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=-R\,\left[i(t)\right]^{2}<0$.

 

Détermination de la variation relative d'énergie perdue dans le L C série pendant une pseudo-période

......Évaluer la variation relative $\;\alpha \;$ d'énergie perdue dans le circuit pendant une pseudo-période soit $\;\alpha ={\dfrac {{\mathcal {E}}(t)-{\mathcal {E}}(t+T)}{{\mathcal {E}}(t)}}$.

Solution

......La variation relative d'énergie perdue dans le circuit pendant une pseudo-période est $\;\alpha ={\dfrac {{\mathcal {E}}(t)-{\mathcal {E}}(t+T)}{{\mathcal {E}}(t)}}\simeq 1-{\dfrac {{\mathcal {E}}(t+T_{0})}{{\mathcal {E}}(t)}}=1-{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {t+T_{0}}{\tau }}\right)}{{\mathcal {E}}_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)}}=$ $1-\exp \left(-{\dfrac {T_{0}}{\tau }}\right)$ ou encore, avec $\;\tau ={\dfrac {Q}{\omega _{0}}}={\dfrac {Q}{2\,\pi }}\,T_{0}\gg T_{0}$, ce qui implique que $\;{\dfrac {T_{0}}{\tau }}={\dfrac {2\,\pi }{Q}}\ll 1\;$ permettant de faire un « D.L. à l'ordre 1 » de l'exponentielle en l'infiniment petit d'ordre 1 $\;{\dfrac {T_{0}}{\tau }}\;$ [voir chap. 14 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »] d'où $\;\exp \left(-{\dfrac {T_{0}}{\tau }}\right)\simeq 1-{\dfrac {T_{0}}{\tau }}\;$ et finalement $\;\alpha \simeq {\dfrac {T_{0}}{\tau }}={\dfrac {2\,\pi }{Q}}$.

 

Caractérisation énergétique du facteur de qualité

......Déduire de ce qui précède une caractérisation énergétique du facteur de qualité $\;Q\;$ dans le cas d'un régime pseudo-périodique très faiblement amorti.

Solution

......De l'expression précédente nous déduisons $\;{\dfrac {Q}{2\,\pi }}={\dfrac {1}{\alpha }}\;$ soit, en reportant la définition de $\;\alpha$, la relation suivante $\;Q=2\,\pi \,{\dfrac {{\mathcal {E}}(t)}{{\mathcal {E}}(t)-{\mathcal {E}}(t+T)}}$ ;

......le bilan d'énergie sur une pseudo-période conduisant à $\;{\mathcal {E}}(t+T)-{\mathcal {E}}(t)=-W_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,T}\;$, nous pouvons transformer la relation précédente selon $\;Q=2\,\pi \,{\dfrac {{\mathcal {E}}(t)}{W_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,T}}}\;$ d'autant plus grand que
la proportion d'énergie perdue par effet Joule dans le conducteur ohmique sur une pseudo-période $\;{\dfrac {W_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,T}}{{\mathcal {E}}(t)}}=\alpha \;$ est faible.

......Remarque : cette interprétation énergétique du facteur de qualité n'est valable qu'à grand facteur de qualité, quand ce dernier est plus faible nous n'avons d'ailleurs plus une décroissance simplement exponentielle de l'énergie stockée, la variation étant plus compliquée …