Série et transformée de Fourier en physique/Série de Fourier

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**Série de Fourier**
Leçon : Série et transformée de Fourier en physique

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Harmoniques

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Sommaire

1 Série de Fourier
- 1.1 Dans le domaine des angles
2 Cas particuliers
- 2.1 Fonction paire
- 2.2 Fonction impaire

Théorème

Tout signal périodique peut se décomposer en somme de sinus en progression harmonique

[modifier] Série de Fourier

Dans le cas le plus courant, la série de Fourier est relative à la variable $t$ et à la période notée $T$ . Alors :

$y(t) = B_0 + A_1 sin (\omega t) + \ldots + A_n sin (n \omega t) + \ldots + B_1 cos (\omega t) + B_2 cos (2 \omega t) + \ldots + B_n cos (n \omega t) + \ldots$

Ou de façon condensée :

$y(t) = B_0 + \sum_{k=1}^\infty { \left[ A_k sin \left( k \omega t \right) + B_k cos \left( k \omega t \right) \right] }$

avec

$B_0 = \frac{1}{T} \int_0^T y(t) \mathrm dt$

$A_k = \frac{2}{T} \int_0^T y(t) sin (k \omega t ) \mathrm dt$

$B_k = \frac{2}{T} \int_0^T y(t) cos (k \omega t ) \mathrm dt$

[modifier] Dans le domaine des angles

On peut aisément transposer les formules précédentes pour travailler dans les angles. En effet, un signal sinusoïdal, de pulsation ω et de période T tel que θ = ωt et 2π = ωT transforme les formules suivantes en :

$y(\theta) = B_0 + A_1 sin \theta + \ldots + A_k sin (k \theta) + \ldots + B_1 cos \theta + B_2 cos (2 \theta) + \ldots + B_k cos (k \theta) + \ldots$