Relativité générale/Le tenseur de Riemann

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Gauss a trouvé une formule de la courbure K d'une surface par un calcul assez compliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au tenseur de Riemann qui s'écrit alors, en deux dimensions.

$R_{xyxy}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{xx}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{yy}}{\partial x^{2}}}\right)$

Vérifions, pour le paraboloïde, que le tenseur de Riemann est bien égal à la courbure totale de Gauss K :

$R_{xyxy}=-{\frac {1}{2}}(0-2K)=K$

On a aussi, par dérivation partielle des coefficients de la métrique du paraboloïde :

${\frac {\partial ^{2}g_{xx}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{xx}}{\partial y^{2}}}=0$

On a bien zéro puisque g_xx = 0. On dérive de même g_yy :

${\frac {\partial ^{2}g_{yy}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{yy}}{\partial y^{2}}}=-4K$

On obtient une équation de Laplace triviale pour g_xx et une équation de Poisson pour g_yy.