Relativité générale/Le tenseur de Riemann
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| Chapitre 4 | |||
| Leçon : Relativité générale | |||
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| Chap. préc. : | La métrique | ||
| Chap. suiv. : | Les équations d'Einstein dans le vide | ||
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Relativité générale/Le tenseur de Riemann », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Gauss a trouvé une formule de la courbure K d'une surface par un calcul assez compliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au tenseur de Riemann qui s'écrit alors, en deux dimensions[1].
Vérifions, pour le paraboloïde, que le tenseur de Riemann est bien égal à la courbure totale de Gauss K :
On a aussi, par dérivation partielle des coefficients de la métrique du paraboloïde :
On a bien zéro puisque gxx = 0. On dérive de même gyy :
On obtient une équation de Laplace triviale pour gxx et une équation de Poisson pour gyy.
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