Recherche:Étude de la qualité des harmoniques par un gradateur

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Sommaire

1 Étude d'une commande sur une charge résistive pure
2 Étude d'une commande sur une charge résistive pure
3 Étude d'une commande sur une charge résistive pure
4 Étude d'une commande sur une charge résistive pure

[modifier] Étude d'une commande $\left[ \alpha ; \pi \right] + \left[ \alpha + \pi ; 2 \pi \right]$ sur une charge résistive pure

[modifier] Introduction

On retrouve ce type de gradateur sur les simple variateur de lumière pour luminaire halogène le plus souvent. Le courant est mis en circulation à partir d'un certain instant de la sinusoïde et disparait naturellement à son passage à zéro, donc, pour une charge résisitve, au passage à zéro de la tension.

[modifier] Définition

La tension est définit par : $u (t)$ tel que :

$u(t) = U \sqrt 2 \sin \omega t$

Avec :

U = 230 V
$ω = 2π f$
f = 50 Hz

Le courant est définit par : $i (t)$ tel que :

$i(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{si } k \pi < \theta < k \pi + \alpha \\ I \sqrt 2 \sin \left ( \omega t \right) & \mbox{si } k \pi + \alpha < \theta < \left ( k+1 \right ) \pi \end{cases}$

Avec :

$θ = ω t$
$k \in \mathbb{Z}$
$U = R \times I$

[modifier] Décomposition en série de Fourier

On peut écrit le courant :

$i(t) = I_0 + \sum_{a=0}^{a=\infty} I_a \sqrt 2 \sin \left ( a \omega t - \varphi _a \right )$

Dans la suite de l'étude, $I 0 = 0$ , $I_a = \sqrt{A_a^2 + B_a^2}$ et $\tan \varphi_a = - \frac {B_a}{A_a}$

Décomposition en série de Fourier du courant :

[modifier] Élément premier de la série $A a$

$A_a = \frac {2}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \left[ i(t) \sin \left ( a \theta \right ) \right] d \theta$

$= \frac {2}{2 \pi} \left[ \int_{0}^{\pi} \left ( 2 \sqrt 2 \sin \theta \times \sin ( a \theta ) \right ) d \theta + \int_{\pi}^{2 \pi} \left ( 2 \sqrt 2 \sin \theta \times \sin ( a \theta ) \right ) d \theta \right ]$

$= \frac {2}{2 \pi} \left[ \int_{\alpha}^{\pi} \left ( 2 \sqrt 2 \sin \theta \times \sin ( a \theta ) \right ) d \theta + \int_{alpha +\pi}^{2 \pi} \left ( 2 \sqrt 2 \sin \theta \times \sin ( a \theta ) \right ) d \theta \right]$

$= \frac{I \sqrt 2}{2 \pi} \left \{ \int_{\alpha}^{\pi} \left [ \frac 12 \left ( \cos ( \theta - a \theta ) - \cos ( \theta + a \theta ) \right ) \right ] d \theta + \int_{\alpha + \pi }^{2 \pi} \left [ \frac 12 \left ( \cos ( \theta - a \theta ) - \cos ( \theta + a \theta ) \right ) \right ] d \theta \right \}$

$A_a= \frac{I \sqrt 2}{2 \pi} \left \{ \int_{\alpha}^{\pi} \left [ \frac 12 \left ( \cos \left ( ( 1-a )\theta \right ) - \cos \left ( (1+a) \theta \right ) \right ) \right ] d \theta + \int_{\alpha + \pi }^{2 \pi} \left [ \frac 12 \left ( \cos \left ( (1-a) \theta \right ) - \cos \left ( (1+a) \theta \right ) \right ) \right ] d \theta \right \}$

$\forall a \neq 1$

$A_a= \frac {I \sqrt 2}{2 \pi } \left \{ \left [ \frac {\sin \left ( ( 1-a) \theta \right)}{1-a}\right ]_{\alpha}^{\pi} - \left [ \frac {\sin \left ( ( 1+a) \theta \right)}{1+a} \right ]_{\alpha}^{\pi} + \left [ \frac {\sin \left ( ( 1-a) \theta \right)}{1-a} \right ]_{\alpha + \pi }^{ 2 \pi} - \left [ \frac {\sin \left ( ( 1+a) \theta \right)}{1+a} \right ]_{\alpha + \pi }^{2 \pi} \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{2 \pi } \left \{ \left [ \frac {\sin \left ( (1-a) \pi \right ) - \sin \left ( ( 1-a) \alpha \right ) } {1-a} \right ] - \left [ \frac {\sin \left ( (1+a) \pi \right ) - \sin \left ( ( 1+a) \alpha \right ) } {1+a} \right ] + \left [ \frac {\sin \left ( (1-a) 2 \pi \right ) - \sin \left ( ( 1-a)(\alpha + \pi) \right ) } {1-a} \right ] - \left [ \frac {\sin \left ( (1+a) 2 \pi \right ) - \sin \left ( ( 1-a) (\alpha + \pi) \right ) } {1+a} \right ] \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{2 \pi } \left \{ \left [ \frac { - \sin \left ( (1-a) \alpha \right ) } {1-a} \right ] - \left [ \frac { - \sin \left ( (1+a) \alpha \right ) } {1+a} \right ] + \left [ \frac { - \sin \left ( (1-a) (\alpha + \pi) \right ) } {1-a} \right ] - \left [ \frac { - \sin \left ( (1+a) (\alpha + \pi ) \right ) } {1+a} \right ] \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{2 \pi } \left \{ \left [ \frac { - \sin \left ( (1-a) \alpha \right ) - \sin \left ( (1-a) (\alpha + \pi) \right )} {1-a} \right ] - \left [ \frac { - \sin \left ( (1+a) \alpha \right ) + \sin \left ( (1+a) (\alpha + \pi ) \right )} {1+a} \right ] \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{2 \pi } \left \{ \frac {2}{1+a} \sin \left [ \frac {\left ((1+a) \alpha \right ) + \left ( (1+a) ( \alpha + \pi ) \right )}{2} \right ] \cos \left [ \frac {\left ((1+a) \alpha \right ) - \left ( (1+a) ( \alpha + \pi ) \right )}{2} \right ] - \frac {2}{1-a} \sin \left [ \frac {\left ((1-a) \alpha \right ) + \left ( (1-a) ( \alpha + \pi ) \right )}{2} \right ] \cos \left [ \frac {\left ((1-a) \alpha \right ) - \left ( (1-a) ( \alpha + \pi ) \right )}{2} \right ] \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{2 \pi } \left \{ \frac {2}{1+a} \sin \left [ \frac { \alpha + a \alpha + \alpha + \pi + a \alpha + a \pi } 2 \right ] \cos \left [ \frac { \alpha + a \alpha - \alpha - \pi - a \alpha - a \pi } 2 \right ] - \frac {2}{1-a} \sin \left [ \frac { \alpha - a \alpha + \alpha + \pi - a \alpha - a \pi } 2 \right ] \cos \left [ \frac { \alpha - a \alpha - \alpha - \pi + a \alpha + a \pi } 2 \right ] \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{ \pi } \left \{ \frac {1}{1+a} \sin \left [ \frac { \alpha \left ( 2 + 2a \right ) + \pi \left ( 1+a \right )} 2 \right ] \cos \left [ \frac { - \pi \left ( 1 + a \right ) } 2 \right ] - \frac {1}{1-a} \sin \left [ \frac { \alpha \left ( 2 - 2a \right ) + \pi \left ( 1-a \right )} 2 \right ] \cos \left [ \frac { - \pi \left ( 1 + a \right ) } 2 \right ] \right \}$

$= -1^{a+1} \frac {I \sqrt 2}{ \pi } \left \{ \frac {1}{1+a} \sin \left [ \frac { \alpha \left ( 2 + 2a \right ) + \pi \left ( 1+a \right )} 2 \right ] - \frac {1}{1-a} \sin \left [ \frac { \alpha \left ( 2 - 2a \right ) + \pi \left ( 1-a \right )} 2 \right ] \right \}$

$= -1^{a+1} \frac {I \sqrt 2}{ \pi } \left \{ \frac {1}{1+a} \left [ \sin \left ( \alpha (1+a) \right ) \cos \left ( \frac {\pi}{2} (1+a) \right ) + \cos \left ( \alpha (1+a) \right ) \sin \left ( \frac {\pi}{2} (1+a) \right ) \right ] - \frac {1}{1-a} \left [ \sin \left ( \alpha (1-a) \right ) \cos \left ( \frac {\pi}{2} (1-a) \right ) + \cos \left ( \alpha (1-a) \right ) \sin \left ( \frac {\pi}{2} (1-a) \right ) \right ] \right \}$

$= -1^{a+1} \frac {I \sqrt 2}{ \pi } \left \{ \frac {1}{1+a} \left [ \sin \left ( \frac {\pi}{2} (1+a) \right ) \cos \left ( \alpha (1+a) \right ) \right ] - \frac {1}{1-a} \left [ \sin \left ( \frac {\pi}{2} ( 1-a) \right ) \cos \left ( \alpha (1-a) \right ) \right ] \right \}$

$A_a = \begin{cases} ? & \mbox{si } a = 1 \\ 0 & \mbox{si } a = 2k+1\mbox{ avec } k \in\mathbb{N} \\ -\frac {I \sqrt 2}{\pi} \left \{ \frac {\cos \left ( \alpha (1+ \alpha) \right )}{1+a} + \frac {\cos \left ( \alpha (1+ \alpha) \right )}{1-a} \right \} & \mbox{si } a = 4k\mbox{ avec } k \in\mathbb{N} \\ \frac {I \sqrt 2}{\pi} \left \{ \frac {\cos \left ( \alpha (1+ \alpha) \right )}{1+a} + \frac {\cos \left ( \alpha (1+ \alpha) \right )}{1-a} \right \} & \mbox{si } a = 4k-2\mbox{ avec } k \in\mathbb{N}^* \end{cases}$

[modifier] Élément second de la série $B a$

$B_a = \frac {2}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \left [ i(t) \cos \left ( a \theta \right ) \right ] d \theta$

$= \frac {1}{\pi} \left \{ \int_{0}^{\pi} \left [ I \sqrt 2 \sin \theta \times \cos \left ( a \theta \right ) \right ] d \theta + \int_{\pi}^{2\pi} \left [ I \sqrt 2 \sin \theta \times \cos \left ( a \theta \right ) \right ] d \theta \right \}$

$= \frac {1}{\pi} \left \{ \int_{\alpha}^{\pi} \left [ I \sqrt 2 \sin \theta \times \cos \left ( a \theta \right ) \right ] d \theta + \int_{\alpha + \pi}^{2\pi} \left [ I \sqrt 2 \sin \theta \times \cos \left ( a \theta \right ) \right ] d \theta \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{\pi} \left \{ \int_{\alpha}^{\pi} \left [ \frac 12 \left ( \sin ( \theta + a \theta ) + \sin ( \theta - a \theta ) \right ) \right ] d \theta + \int_{\alpha + \pi}^{2\pi} \left [ \frac 12 \left ( \sin ( \theta + a \theta ) + \sin ( \theta - a \theta ) \right ) \right ] d \theta \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{\pi} \left \{ \int_{\alpha}^{\pi} \sin \left [ ( 1+a ) \theta \right ] d \theta + \int_{\alpha}^{\pi} \sin \left [ ( 1-a ) \theta \right ] d \theta + \int_{\alpha + \pi }^{2 \pi} \sin \left [ ( 1+a ) \theta \right ] d \theta + \int_{\alpha + \pi }^{2 \pi} \sin \left [ ( 1-a ) \theta \right ] d \theta \right \}$

$\forall a \in \mathbb{N}-\{1\}$

$= \frac {I \sqrt 2}{\pi} \left \{ \left [ \frac { - \cos ( 1+a) \theta }{1+a} \right]_{\alpha}^{\pi} + \left [ \frac { - \cos ( 1-a) \theta }{1-a} \right]_{\alpha}^{\pi} + \left [ \frac { - \cos ( 1+a) \theta }{1+a} \right]_{\alpha + \pi}^{ 2\pi} + \left [ \frac { - \cos ( 1-a) \theta }{1-a} \right]_{\alpha + \pi}^{ 2\pi} \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{\pi} \left \{ \left [ \frac {\cos \left ( ( 1+a) \alpha \right) - \cos \left ( ( 1+a) \pi \right) }{1+a} \right ] + \left [ \frac {\cos \left ( ( 1+a) ( \alpha + \pi) \right) - \cos \left ( ( 1+a) 2 \pi \right) }{1-a} \right ] + \left [ \frac {\cos \left ( ( 1+a) ( \alpha + \pi) \right) - \cos \left ( ( 1+a) 2 \pi \right) }{1+a} \right ] + \left [ \frac {\cos \left ( ( 1-a) ( \alpha + \pi) \right) - \cos \left ( ( 1-a) 2 \pi \right) }{1-a} \right ] \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{\pi} \left \{ \left [ \frac {\cos \left ( ( 1+a) \alpha \right) - \left ( -1 \right)^{a+1} }{1+a} \right ] + \left [ \frac {\cos \left ( ( 1+a) ( \alpha + \pi) \right) - \left ( -1 \right)^{a+1} }{1-a} \right ] + \left [ \frac {\cos \left ( ( 1+a) ( \alpha + \pi) \right) - 1 }{1+a} \right ] + \left [ \frac {\cos \left ( ( 1-a) ( \alpha + \pi) \right) - 1 }{1-a} \right ] \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{\pi} \left \{ \left [ \frac {\cos \left ( ( 1+a) \alpha \right) + \left ( -1 \right)^{a} + \cos \left ( ( 1+a) ( \alpha + \pi) \right) - 1 }{1+a} \right ] + \left [ \frac {\cos \left ( ( 1-a) \alpha \right) + \left ( -1 \right)^{a} + \cos \left ( ( 1-a) ( \alpha + \pi) \right) - 1 }{1-a} \right ] \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{\pi} \left \{ \frac {1}{1+a} \left [ 2 \cos \left ( \frac {(1+a) \alpha + (1+a)(\alpha + \pi)}{2} \right ) \cos \left ( \frac {(1+a) \alpha - (1+a)(\alpha + \pi)}{2} \right ) + \left ( -1 \right ) ^ a -1 \right ] + \frac {1}{1-a} \left [ 2 \cos \left ( \frac {(1-a) \alpha + (1-a)(\alpha + \pi)}{2} \right ) \cos \left ( \frac {(1-a) \alpha - (1-a)(\alpha + \pi)}{2} \right ) + \left ( -1 \right ) ^ a -1 \right ] \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{\pi} \left \{ \frac {1}{1+a} \left [ 2 \cos \left ( \frac {\alpha + a \alpha + \alpha + \pi + a \alpha + a \pi }{2} \right ) \cos \left ( \frac{\alpha + a \alpha - \alpha - \pi - a \alpha - a \pi }{2} \right ) + \left ( -1 \right ) ^ a -1 \right ] + \frac {1}{1-a} \left [ 2 \cos \left ( \frac {\alpha - a \alpha + \alpha + \pi - a \alpha - a \pi}{2} \right ) \cos \left ( \frac {\alpha - a \alpha - \alpha - \pi + a \alpha + a \pi}{2} \right ) + \left ( -1 \right ) ^ a -1 \right ] \right \}$

$= \frac {I \sqrt 2}{\pi} \left \{ \frac {1}{1+a} \left [ 2 \cos \left ( \frac { (2 \alpha + \pi)(1+a) }{2} \right ) \cos \left ( \frac{ - \pi(1+a) }{2} \right ) + \left ( -1 \right ) ^ a -1 \right ] + \frac {1}{1-a} \left [ 2 \cos \left ( \frac {(2 \alpha + \pi)(1-a)}{2} \right ) \cos \left ( \frac {- \pi(1-a)}{2} \right ) + \left ( -1 \right ) ^ a -1 \right ] \right \}$

$B_a = \frac {I \sqrt 2}{\pi} \left \{ \frac 1 {1+a} \left [ \left ( -1\right ) ^ a -1 \right ] + \frac 1 {1-a} \left [ \left ( -1\right ) ^ a -1 \right ] \right \}$

$B_a = \begin{cases} ? & \mbox{si } a = 1 \\ 0 & \mbox{si } a = 2k+1\mbox{ avec } k \in\mathbb{N}^* \\ -\frac {I \sqrt 2}{\pi} \left ( \frac 1 {a+1} + \frac 1 {a-1} \right )& \mbox{si } a = 2k\mbox{ avec } k \in\mathbb{N} \end{cases}$

[modifier] Puissance instantannée p(t)

$p(t) = u(t) \times i(t)$

[modifier] Puissance Moyenne P

$P = \overline{p(t)}$

$= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \left [ p(t) \right ] dt$

$= \frac{2}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \left [ u(t) \times i(t) \right ] dt$

$= \frac{1}{\pi} \int_{\alpha}^{\pi} \left [ u(t) \times i(t) \right ] dt$

$= \frac{1}{\pi} \int_{\alpha}^{\pi} \left [ \left ( U \sqrt 2 \sin \theta \right ) \times \left ( I \sqrt 2 \sin \theta \right ) \right ] d \theta$

$= \frac{2 UI}{\pi} \int_{\alpha}^{\pi} \left [ \sin^2 \theta \right ] d \theta$

$= \frac{2 UI}{\pi} \int_{\alpha}^{\pi} \left [ \frac{1- \cos \left ( 2 \theta \right )}{2} \right ] d \theta$

$= \frac{ UI}{\pi} \left [ \theta - \frac {\sin \left ( 2 \theta \right )}{2} \right ]_{\alpha}^{\pi}$

$= \frac{ UI}{\pi} \left [ \pi - \frac {\sin \left ( 2 \pi \right ) }{2} - \alpha - \frac {\sin \left ( 2 \alpha \right ) }{2}\right ]$

$P= \frac{ UI}{\pi} \left [ \pi - \alpha + \frac {\sin \left ( 2 \alpha \right ) }{2}\right ]$

[modifier] Cours de la puissance réduite en fonction de $α$

[modifier] Valeur efficace du courant $Y e f f$

$I_{eff} = \sqrt {\sum_{a=1}^{a=\infty}\left( I_a^2\right)}$

[modifier] Taux de rangd'harmonique $H a$

[modifier] Taux de distortion THD

[modifier] Puissance apparente S

[modifier] Facteur de puissace FP

[modifier] Facteur de déphasage $\cos \varphi$

[modifier] Étude d'une commande $\left[ 0 ; \alpha \right ] + \left [ \pi ; \pi + \alpha \right ]$ sur une charge résistive pure

[modifier] Introduction

[modifier] Définition

La tension est définit par : $u (t)$ tel que :

$u(t) = U \sqrt 2 \sin \omega t$

Avec :

U = 230 V
$ω = 2π f$
f = 50 Hz

Le courant est définit par : $i (t)$ tel que :

$i(t) = \begin{cases} I \sqrt 2 \sin \left ( \omega t \right) & \mbox{si } k \pi < \theta < k \pi + \alpha \\ 0 & \mbox{si } k \pi + \alpha < \theta < \left ( k+1 \right ) \pi \end{cases}$

Avec :

$θ = ω t$
$k \in \mathbb{Z}$
$U = R \times I$

[modifier] Décomposition en série de Fourier

[modifier] Puissance instantannée p(t)

[modifier] Puissance Moyenne P

[modifier] Cours de la puissance réduite en fonction de $α$

[modifier] Valeur efficace du courant $Y e f f$

[modifier] Taux de rangd'harmonique $H a$

[modifier] Taux de distortion THD

[modifier] Puissance apparente S

[modifier] Facteur de puissace FP

[modifier] Facteur de déphasage $\cos \varphi$

[modifier] Étude d'une commande $\left[ \frac \pi 2 - \alpha ; \frac \pi 2 + \alpha \right ] + \left[ \frac {3 \pi} 2 - \alpha ; \frac {3 \pi} 2 - \alpha \right ]$ sur une charge résistive pure

[modifier] Introduction

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[modifier] Étude d'une commande sur une charge résistive pure

[modifier] Introduction

[modifier] Définition

[modifier] Décomposition en série de Fourier

[modifier] Élément premier de la série Aa

[modifier] Élément second de la série Ba

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[modifier] Cours de la puissance réduite en fonction de α

[modifier] Valeur efficace du courant Yeff

[modifier] Taux de rangd'harmonique Ha

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