Rayonnement électromagnétique/Introduction et bases

**Introduction et bases**
Leçon : Rayonnement électromagnétique

Chapitre n^o 1
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Chap. suiv. :	Potentiels retardés

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Équations de Maxwell dans le vide[modifier | modifier le wikicode]

On considère des cas de propagation dans l'air. L'air possède les mêmes propriétés électromagnétiques que le vide, on peut donc utiliser les équations de Maxwell microscopiques classiques :

Équations de Maxwell microscopiques

$\mathrm {div} {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$
${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$
${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
$\mathrm {div} {\vec {B}}=0$

$\rho$ représente la distribution volumique de charge et ${\vec {j}}$ la densité volumique de courant électrique.

Potentiels[modifier | modifier le wikicode]

Les équations de Maxwell intrinsèques (sans les termes de source) nous permettent de définir le potentiel $({\vec {A}},V)$

L'équation de Maxwell-Thomson donne : $\mathrm {div} {\vec {B}}=0$ , ainsi il existe un champ vectoriel ${\vec {A}}$ tel que ${\vec {B}}={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {A}}$ . On appelle ${\vec {A}}$ un potentiel vecteur.

L'équation de Maxwell-Faraday donne ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$ ainsi :

${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {A}}}{\partial t}}$ d'où ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left({\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)={\vec {0}}$

Ainsi il existe un champ scalaire $V$ tel que ${\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}V$

Jauge de Lorentz[modifier | modifier le wikicode]

Le champ ${\vec {A}}$ est uniquement défini par son rotationnel, il n'est donc pas unique. Pour le fixer, on fait appelle à une jauge particulièrement pratique : la jauge de Lorentz.

Jauge de Lorentz

$\mathrm {div} {\vec {A}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0$

Propagation des potentiels[modifier | modifier le wikicode]

On a, d'après l'équation de Maxwell-Gauss :

$\mathrm {div} {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$ d'où $-\mathrm {div} \left({\frac {\partial A}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}V\right)={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$ ainsi $\Delta V-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

Ensuite, d'après l’équation de Maxwell-Ampère :

${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {B}}={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {A}}={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\mathrm {div} {\vec {A}}-{\vec {\Delta }}{\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Ainsi :

${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\mathrm {div} {\vec {A}}-{\vec {\Delta }}{\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {j}}-\mu _{0}\epsilon _{0}\left({\frac {\partial {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}V}{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}\right)$

Finalement :

${\vec {\Delta }}{\vec {A}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\vec {j}}+{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left(\mathrm {div} {\vec {A}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)$

Ainsi on constate que la jauge de Lorentz permet de découpler les deux équations finales obtenues, ce qui donne :

$\Delta V-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

${\vec {\Delta }}{\vec {A}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\vec {j}}$

Notation complexe et convention[modifier | modifier le wikicode]

Transformée de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

On se placera souvent en régime monochromatique dans le cadre de ce cours.

On va donc manipuler 4 variables : ${\vec {r}}$ (variable de position), $t$ (variable de temps), ${\vec {k}}$ (variable de vecteur d'onde), $\omega$ (variable de pulsation).

Les champs correspondant sont reliés par des transformations de Fourier :

${\vec {A}}({\vec {r}},t)=\int \int {\tilde {\vec {A}}}({\vec {k}},\omega )e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}{\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}$

${\tilde {\vec {A}}}({\vec {k}},\omega )=\int \int {\vec {A}}({\vec {r}},t)e^{-i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\mathrm {d} t\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}$

Par soucis de concision, on notera préférentiellement ${\vec {A}}({\vec {k}},\omega )$ sans le tilde.

"Fonction" de Dirac[modifier | modifier le wikicode]

On appelle "fonction" (plus précisément distribution) de Dirac, une "fonction" notée $\delta ({\vec {r}})$ telle que pour toute fonction $f({\vec {r}})$ on a :

$\int _{\mathbb {R} ^{3}}f({\vec {r}}')\delta ({\vec {r}}'-{\vec {r}}_{0})\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'=f({\vec {r}}_{0})$ (élément neutre pour le produit de convolution)