Résistance des matériaux/Torseur des forces extérieures de gauche et torseur des sollicitations

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Torseur des forces extérieures de gauche et torseur des sollicitations
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Chapitre 3
Leçon : Résistance des matériaux
Chap. préc. : Hypothèses générales de la R.D.M.
Chap. suiv. : Vecteur contrainte en un point


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Sommaire

[modifier] Définition de repérage de la coupure fictive

Soient (E) le solide assimilé à une poutre et (\overline E) l'ensemble extérieur à (E). Ro = (O,\vec{xo},\vec{yo},\vec{zo}) repère liée à (E), disposé de manière à ce que l'axe (O;\vec{xo}) par exemple, soit confondu avec la ligne moyenne.

Considérons (P) le plan de coupe perpendiculaire à (O;\vec{xo}) et soit (S) la section droite de (E) ainsi définie. Soit G d'abscisse x, le centre de surface (S), ainsi OG = x.\vec{xo} définit la position de la section droite fictive (S).

La coupure fictive par le plan (P) partage la coupure (E) en deux tronçons (E1) et(E2).

Tronçon.jpg

[modifier] Définition du torseur de cohésion

Les actions mécaniques que (E2) exerce sur (E1) à travers la section droite fictive (S) sont des efforts intérieurs à la poutre (E) : elles sont modélisées par un torseur appelé torseur de cohésion \begin{Bmatrix} T cohesion \end{Bmatrix} qui exprime ses éléments de réduction au point G, centre de la surface.


\begin{Bmatrix} T cohesion \end{Bmatrix}_G =\begin{Bmatrix} \overrightarrow{\mathcal{R}} \\ \overrightarrow{\mathcal{M}_G} \end{Bmatrix}_G


Interprétation : Supposons que le solide E ait été coupé en deux parties E1 et E2, et que ces deux éléments soient ensuite collés (liaison complète) les efforts intérieurs sont les efforts transmis par cette liaison fictive, et se calculent comme des actions de liaison, et traduisent l'équilibre de l'une ou l'autre partie.

[modifier] Éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion dans le repère de définition des sollicitations

[modifier] Équilibre de la poutre (E)

La poutre (E) étant en équilibre, le principe fondamental de la statique (P.F.S.) s'écrit donc en G :


\begin{Bmatrix} T (\overline E / E) \end{Bmatrix}_G =\begin{Bmatrix} \vec{0} \end{Bmatrix} => \begin{Bmatrix} R(\overline E/E)=\vec{0} \\ M_G (\overline E/E)=\vec{0} \end{Bmatrix}


Imaginons une coupure suivant une section (P) passant par G.

La coupure fictive (S) sépare la poutre (E) en deux parties (E1) et (E2), on peut donc écrire au point G :


\begin{Bmatrix} T (\overline E / E1) \end{Bmatrix}_G + \begin{Bmatrix} T (\overline E / E2) \end{Bmatrix}_G = \begin{Bmatrix} \vec{0} \end{Bmatrix}


Donc \overrightarrow R (\overline E/E1) + \overrightarrow R (\overline E/E2) = \vec 0


et \overrightarrow M_G (\overline E/E1) + \overrightarrow M_G (\overline E/E2) = \vec 0

[modifier] Relation entre le torseur des efforts extérieurs et le torseur des efforts de cohésion, sur le tronçon de poutre isolé

[modifier] Repère de définition des sollicitations

[modifier] Dénomination des composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion dans le repère R(G;x;y;z)

Crystal Clear action back.png Hypothèses générales de la R.D.M.
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