Référentiel terrestre/Pesanteur vulgaire

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Rappel

constante de gravitation universelle

Selon la modélisation d'Isaac Newton et dans l'écriture vectorielle moderne, la force gravitationnelle s'écrit : ${\vec {F}}_{12}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}}_{12}$.

• ${\vec {F}}_{12}$ étant la force gravitationnelle exercée par le corps 1 sur le corps 2 (en newton ou m.kg.s^-2) ;
• G, la constante gravitationnelle, qui vaut 6,6742 × 10^-11 N.m².kg^-2 (ou m³.kg^-1.s^-2) ;
• $m_{1}$ et $m_{2}$, les masses des deux corps en présence (en kilogrammes) ;
• d, la distance entre les 2 corps (en mètres) ;
• ${\vec {u}}_{12}$ est un vecteur (En mathématiques, le vecteur est un objet véhiculant plus d'information que les nombres usuels, ou scalaires, et sur lequel on peut effectuer des opérations simples.) unitaire dirigé du corps 1 vers le corps 2 ;
• le signe – indique que le corps 2 est attiré par le corps 1.

La force d'inertie d'entraînement : pesanteur vulgaire

La pesanteur vulgaire est, comme on l'a dit, composée de la force de gravité due à la masse $M$ de la Terre et de la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terre avec une vitesse $\omega _{e}$. On se propose de calculer le poids ${\vec {P}}$ d'une masse $m$ en un point $O$ de la surface de Terre situé à la latitude $\lambda$. $C$ désigne le centre de la Terre ici assimilée à un corps de rayon $R$ à distribution sphérique de masse, $G$ est la constante de gravitation universelle. Le repère choisi est orthonormé et a pour origine $O$, pour axe $z$ la direction $CO$, pour axe $x$ une direction tangente au méridien terrestre, pour axe $y$ une direction tangente au parallèle terrestre.

Coordonnées terrestres

${\vec {P}}={\begin{Bmatrix}P_{x}\\P_{y}\\P_{z}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}m\omega _{e}^{2}Rcos\lambda sin\lambda \\0\\-G{\frac {Mm}{R^{2}}}+m\omega _{e}^{2}Rcos^{2}\lambda \end{Bmatrix}}$

La direction de ${\vec {P}}$ définit la verticale. On factorise l’expression de ${\vec {P}}$ par $m$ et on note ${\vec {g}}$ le vecteur résultant : ${\vec {g}}$ est l'accélération de la gravité commune, d'où l’expression ${\vec {P}}=m{\vec {g}}$

On peut tout de suite constater que ${\vec {g}}$ n’est pas colinéaire à ${\overrightarrow {CO}}$, en d’autre terme la verticale d'un point n’est pas confondue avec la direction de ce point au centre de la Terre. Ces deux directions forment un angle $\alpha$ certes petit mais néanmoins existant, et que l’on peut calculer.

$tan~\alpha =\left|{\frac {P_{x}}{P_{z}}}\right|={\frac {\omega _{e}^{2}Rsin\lambda cos\lambda }{GM/R^{2}-\omega _{e}^{2}Rcos^{2}\lambda }}$ <formule à vérifier>

À titre d'exemple, pour $\lambda =45^{\circ }$, $\alpha$ vaut environ 6 secondes d'arc.