Probabilités de l'ingénieur : algorithmes stochastiques et simulation/Autres méthodes de simulations

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Ce chapitre va présenter d'autres méthodes de simulation de lois de probabilités à densité définies sur un support infini.

Méthode de Box-Muller

Cette méthode classique et directe de simulation permet de créer un couple de variables aléatoires suivant une loi normale.

Méthode de Box-Muller : forme cartésienne

Soit $(U_{1},U_{2})$ un couple de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant toutes deux la loi uniforme standard ${\mathcal {U}}([0;1])$. On note $R=\lbrace U_{1}^{2}+U_{2}^{2}|U_{1}^{2}+U_{2}^{2}\leq 1\rbrace$

Alors les variables aléatoires $X=U_{1}{\sqrt {\frac {-2\ln(R)}{R}}}$ et $Y=U_{2}{\sqrt {\frac {-2\ln(R)}{R}}}$ sont indépendantes identiquement distribuées suivant toutes deux la loi normale centrée réduite ${\mathcal {N}}(0;1)$

Méthode de Box-Muller : forme polaire

Soit $(U_{1},U_{2})$ un couple de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant toutes deux la loi uniforme standard ${\mathcal {U}}([0;1])$

Alors les variables aléatoires $X={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\cos(2\pi U_{2})$ et $Y={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\sin(2\pi U_{2})$ sont indépendantes identiquement distribuées suivant toutes deux la loi normale centrée réduite ${\mathcal {N}}(0;1)$

Début d'une démonstration

Démonstration

Considérons la densité d'un couple de variables aléatoires $(X,Y)$ indépendantes identiquement distribuées suivant toutes deux la loi normale centrée réduite :

$f_{(X,Y)}(x,y)={\frac {1}{2\pi }}{\textrm {e}}^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}$

L'expression en coordonnées polaires donne :

$f_{(X,Y)}(x,y){\textrm {d}}x{\textrm {d}}y={\frac {1}{2\pi }}\rho \mathrm {e} ^{-{\frac {\rho ^{2}}{2}}}1_{[0,2\pi ]}(\theta )1_{\mathbb {R} _{+}}(\rho ){\textrm {d}}\rho {\textrm {d}}\theta$

On associe ainsi à $\Theta$ et R deux densités de probabilités :

• $\Theta \leftrightarrow {\frac {1}{2\pi }}1_{[0,2\pi ]}(\theta )$, qui est la densité d'une loi uniforme ${\mathcal {U}}([0,2\pi ])$
• $\rho {\textrm {e}}^{-{\frac {\rho ^{2}}{2}}}1_{\mathbb {R} _{+}}(\rho )$, qui est la densité d'une loi exponentielle ${\mathcal {E}}\left({\frac {1}{2}}\right)$ pour $R^{2}$.

Les simulations de R et $\Theta$ viennent de la transformée inverse.

Fin de la démonstration