Photométrie/Angle solide

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Définition de l'angle solide

Un angle solide est une région de l’espace limité par un cône non nécessairement circulaire. Le sommet du cône est le sommet de l’angle solide. L'unité de mesure de l'angle solide est le stéradian (sr).

Remarque

L'angle solide est, dans l'espace, l'équivalent de l'angle plan exprimé en radians (rad).

Angle solide élémentaire

Notations utilisées

Définition

$r$ étant la distance entre le sommet de l'angle solide et la surface élémentaire ${\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}$, l'angle solide élémentaire est défini par :

$\mathrm {d} ^{2}\Omega ={\frac {{\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {e} _{r}}}}{r^{2}}}.$

L'angle solide se calcule par intégration sur toute la surface S interceptée par l'angle solide :

$\Omega =\iint _{S}\mathrm {d} ^{2}\Omega =\iint _{S}{\frac {{\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {e} _{r}}}}{r^{2}}}.$

Approche simplifiée

Dans le cas où cette surface S est la surface de la portion de sphère de rayon R interceptée par l'angle solide Ω :

$\Omega ={\frac {1}{R^{2}}}\iint _{S}\mathrm {d} ^{2}S={\frac {S}{R^{2}}}.$

Remarque

On peut dire aussi, plus simplement, que la mesure d’un angle solide est la mesure de la surface découpée par celui-ci sur une sphère de centre le sommet de l’angle solide et de rayon unité.

Cas particuliers

Angle solide ouvert sur l’espace entier

Calculons à titre d’exemple l’angle solide ouvert sur l’espace entier. Considérons une sphère de rayon r et de centre le sommet de l’angle solide. L’angle solide étant ouvert sur l’espace entier, la surface interceptée sur la sphère sera la sphère complète. Son aire sera donc $S=4.\pi .r^{2}$ . La mesure de l’angle solide sera alors :

$\Omega ={\frac {S}{R^{2}}}={\frac {4\pi R^{2}}{R^{2}}}=4\pi .$

Angle solide ouvert sur l’espace entier

La mesure de l’angle solide ouvert sur l’espace entier est donc : $\Omega =4.\pi \ \mathrm {sr}$.

Cône de révolution

Notations utilisées

Notations utilisées

Angle solide d'ouverture d'un cône de révolution

L'angle solide d'ouverture d'un cône de révolution de demi-angle au sommet $\alpha$ est défini par :

$\Omega =2\pi \left(1-\cos \alpha \right).$

Début d'une démonstration

Démonstration

En coordonnées sphérique et en utilisant toujours les notations précédentes, la surface élémentaire s'exprime :

${\overrightarrow {\mathrm {d^{2}} S}}=r^{2}.\sin \theta '.\mathrm {d} \theta '.\mathrm {d} \phi .{\overrightarrow {e_{r}}}.$

(Voir le formulaire d'analyse vectorielle)

$\mathrm {d} ^{2}\Omega ={\frac {{\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {e} _{r}}}}{r^{2}}}=\sin \theta '.\mathrm {d} \theta '.\mathrm {d} \phi .$

On peut alors calculer l'angle solide en intégrant sur la surface de la sphère de rayon $r$ interceptée par le cône :

$\Omega =\iint _{S}\mathrm {d} ^{2}\Omega =\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\alpha }\sin \theta '\cdot \mathrm {d} \theta '=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\alpha },$

ainsi il vient :

$\Omega =2\pi \left(1-\cos \alpha \right).$

Fin de la démonstration

Surface inclinée et de petite taille

$\mathrm {d} ^{2}\Omega ={\frac {\mathrm {d} ^{2}S\cdot \cos \theta }{r^{2}}}$

Si la surface est petite devant la distance r, on peut considérer la distance constante. On obtient alors :

$\Omega ={\frac {S\cdot \cos \theta }{r^{2}}}$