Ondes électromagnétiques/Exercices/Propagation dans un métal réel

Propagation dans un métal réel

Exercice no4
Leçon : Ondes électromagnétiques
Cet exercice est de niveau 15.
Exo préc. :	Propagation dans un plasma
Exo suiv. :	Énergie

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Propagation dans un métal réel
Ondes électromagnétiques/Exercices/Propagation dans un métal réel  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

On considère l'espace muni d'une base orthonormée directe $(\vec u_x,\vec u_y,\vec u_z)$.

Un métal homogène non magnétique de conductivité $\gamma=6\cdot10^7\,{\rm S.m}^{-1}$ occupe le demi-espace $z\geq0$.

Une onde plane monochromatique de fréquence $\nu=\frac\omega{2\pi}$, polarisée rectilignement suivant $\vec u_x$ se propage dans le vide vers les z croissants. Son champ électrique vaut $\vec E_i=E_{0i}e^{j(\omega t-kz)}\vec u_x$. Lorsque cette onde arrive sur le métal :

• une partie est transmise ; la forme de l'onde transmise dans le métal est $\vec E_t=E_{0t}e^{j(\omega t-k'z)}\vec u_x$
• une partie est réfléchie ; la forme de l'onde réfléchie est $\vec E_r=\vec E_{0r}e^{j(\omega t+kz)}e^{j\varphi_r}=\underline\vec E_{0r}e^{j(\omega t+kz)}$ avec $\underline\vec E_{0r}=\vec E_{0r} e^{j\varphi_r}$

1. Établir la relation de dispersion dans le métal.
2. Montrer que pour le domaine de fréquence $\nu <10^{16}{\rm Hz}\,$, on a $\frac\gamma{\epsilon_0\omega}\gg 1$.
3. En déduire que la relation de dispersion se réduit à $k'=\frac{1-j}\delta$. Exprimer δ en fonction de ω, ε₀, c et γ.
4. Quelle est la signification physique de δ ?
5. Les conditions ci-desus étant supposées remplies, calculer le rapport $\alpha=\frac{v_\varphi}{v_{\varphi,0}}$ des vitesses de phase de l'onde dans le métal et dans le vide en fonction de ω, ε₀ et γ.
6. Exprimer le champ magnétique $\vec B_t$ de l'onde transmise. Déterminer en tout point de cote z du métal :
   1. le déphasage entre les champs $\vec E_t$ et $\vec B_t$
   2. le rapport des amplitudes des champs $\vec E_t$ et $\vec B_t$ en fonction de α et c.
7. Déterminer en fonction de α les coefficients complexes de transmission $\underline \tau=\frac{\underline E_{0t}}{\underline E_{0i}}$ et de réflexion $\underline\rho=\frac{\underline E_{0r}}{\underline E_{0i}}$ en amplitude. On pourra supposer que, γ étant fini, on aura $\vec j_S\approx 0$.
8. Exprimer en fonction de α les facteurs de réflexion R et de transmission T, définis respectivement comme les fractions de puissance réfléchie et transmise moyenne.
   1. Examiner le cas $\alpha \ll 1$
   2. Calculer les valeurs numériques de λ, δ, α et T pour $\nu_1=100~{\rm Hz}$ et $\nu_2=10~{\rm GHz}$
9. Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans une portion de métal de section unité en fonction de ω, γ, c, E_0i et ε₀.

Solution

Question 1

Dans un métal conducteur, les équations de Maxwell deviennent : $\overrightarrow{\rm rot}(\vec E_t)=-\frac{\partial \vec B_t}{\partial t}$ ${\rm div}(\vec E_t)=0$ $\overrightarrow{\rm rot}(\vec B_t)=\mu_0\vec i+\frac1{c^2}\frac{\partial \vec E_t}{\partial t}$ ${\rm div}(\vec B_t)=0$

On effectue la manipulation standard pour éliminer $\vec B_t$ des expressions : $\begin{align} \overrightarrow{\rm rot}(\overrightarrow{\rm rot}(\vec E_t)) &= \vec\nabla({\rm div}(\vec E_t))-\vec\Delta\vec E_t = -\vec\Delta\vec E_t\\ &=\overrightarrow{\rm rot}\left(-\frac{\partial \vec B_t}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow{\rm rot}(\vec B_t)\right) = -\mu_0\frac{\partial\vec i}{\partial t}-\frac1{c^2}\frac{\partial^2 \vec E_t}{\partial t^2} \end{align}$

De plus, le laplacien vaut : $\vec\Delta\vec E_t=\left|\begin{array}{l} \Delta E_{xt}\\ \Delta E_{yt} \\ \Delta E_{zt}\end{array}\right.=\frac{\partial^2 E}{\partial z^2}\vec u_x=-k'^2\vec E_t$

Enfin, on suppose pouvoir appliquer la loi d'Ohm : $\vec i=\gamma\vec E_t$

Finalement, la relation de dispersion est $k'^2=\frac{\omega^2}{c^2}-j\omega\mu_0\gamma$

Si on revient à k', on aboutit à $k'\in\C$ :

• La partie réelle de k' joue son rôle habituel en jouant sur la parie oscillante de l'onde
• La partie imaginaire de k', elle, quantifie l'atténuation de l'onde qui est transmise dans le métal.

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Question 2

$\frac\gamma{\epsilon_0\omega}=\frac\gamma{2\pi\epsilon_0\nu}$

On calcule que $\nu<10^{16}{\rm Hz}\Rightarrow \frac\gamma{\epsilon_0\omega}>107$

Finalement $\nu<10^{16}{\rm Hz}\Rightarrow \frac\gamma{\epsilon_0\omega}\gg 1$

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Question 3

$\begin{align} k'^2&=\frac{\omega^2}{c^2}-j\omega\mu_0\gamma\\ &=\frac{\omega^2}{c^2}\left(1-j\frac{\mu_0\gamma c^2}\omega\right)\\ &=\frac{\omega^2}{c^2}\left(1-j\frac{\gamma}{\omega\epsilon_0}\right)\\ &\approx\frac{\omega^2}{c^2}\times\left(-j\frac{\gamma}{\omega\epsilon_0}\right)\\ &=\exp\left(\frac{3i\pi}2\right)\,\frac{\omega\gamma}{\epsilon_0 c^2}\\ \end{align}$

On revient à k' en prenant les racines carrées : $k'=\pm \exp\left(\frac{3i\pi}4\right)\sqrt{\frac{\omega\gamma}{\epsilon_0 c^2}} =\pm (1-j)\sqrt{\frac{\omega\gamma}{2\epsilon_0 c^2}}$

Finalement $k'=\frac{1-j}\delta$ avec $\delta=\sqrt{\frac{2\epsilon_0 c^2}{\omega\gamma}}$

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Question 4

Si on examine le champ électrique transmis, on s'aperçoit qu'on peut l'écrire sous la forme $\begin{matrix} \vec E_t=E_{0t} & \displaystyle{\underbrace{ \exp\left(j\left(\omega t-\frac z\delta\right)\right)}} & \displaystyle{\underbrace{\exp\left(-\frac z\delta\right)}} & \vec u_x\\ & \scriptstyle {\rm Propagation} &\scriptstyle {\rm Att\acute{e}nuation} & \end{matrix}$

Cela montre bien que le champ électrique transmis est présent essentiellement pour des faibles profondeurs par rapport à δ. On appelle cela l'effet de peau.

δ s'appelle alors l'épaisseur de peau et correspond à la cote à laquelle l'amplitude de l'onde subit un amortissement de e.

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Question 5

• Dans le vide, la vitesse de phase vaut $v_\varphi=c\,$
• Pour trouver la vitesse de phase dans le métal, il faut faire le même petit raisonnement que pour montrer que, dans le cas de l'onde plane progressive monochromatique dans le vide, les plans équiphase donc orthogonaux au vecteur d'onde.

À l'instant t et à la cote z, on a la phase φ. On cherche le couple $(t+{\rm d}t,z+{\rm d}z)\,$ tel que φ reste constante. $\varphi=\omega t-\frac z{\delta} \Rightarrow {\rm d}\varphi=\omega\,{\rm d}t-\frac1{\delta}\,{\rm d}z$

La vitesse de phase est $\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t}$ lorsque ${\rm d}\varphi=0\,$, c'est-à-dire $v_\varphi=\omega\delta$

$\alpha=\frac{\omega\delta}c=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\omega}\gamma}$

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Question 6

$\vec E_t$ est donné sous la forme d'une onde plane. On peut donc prendre la liberté d'exprimer le champ magnétique en utilisant la formule : $\begin{align} \vec B_t &= \frac{\vec{k'}\wedge\vec E_t}\omega\\ &= \frac{k'}\omega E_{0t} e^{j(\omega t-k'z)} \vec u_z \wedge \vec u_x\\ &= \exp\left(j\left(\omega t-\frac z{\delta}\right)\right) \exp\left(-\frac z{\delta}\right) \frac{E_{0t}}\omega \sqrt 2 \exp\left(-j\frac\pi 4\right)\frac1\delta \vec u_y\\ \end{align}$

$\vec B_t=E_{0t} \sqrt{\frac\gamma{\epsilon_0 c^2 \omega}} \exp\left(j\left(\omega t-\frac z{\delta}-\frac\pi 4\right)\right) \exp\left(-\frac z{\delta}\right)\vec u_y$

Question 6.1

$\vec B_t$ est en retard de phase sur $\vec E_t$ de $\frac\pi 4$

Question 6.2

$\frac{||\vec B_t||}{||\vec E_t||}=\frac{\sqrt 2}{\alpha c}$

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Question 7

À la cote $z=0\,$, on a la relation $\vec E_i+\vec E_r=\vec E_t$. On obtient ainsi les deux résultats suivants :

• $1+\underline\rho=\underline\tau$
• $\underline\vec E_r=\underline\vec E_r\vec u_x$

De plus, l'hypothèse $\vec j_S\approx 0$ implique la continuité des composantes tangentielles du champ magnétique. On peut ainsi écrire $\begin{align} \vec k\wedge(\vec E_i-\vec E_r)=\vec k'\wedge \vec E_t &\Leftrightarrow k (E_i-\underline E_r) \vec u_y=k'E_t \vec u_y\\ &\Leftrightarrow \frac\omega c (1-\underline\rho) = \underline\tau\frac{1-j}\delta \\ &\Leftrightarrow \alpha (1-\underline\rho) = (1+\underline\rho) (1-j) \\ &\Leftrightarrow (\alpha-1+j) = (\alpha+1-j)\underline\rho\\ \end{align}$

$\underline\rho=\frac{\alpha-1+j}{\alpha+1-j}$

$\begin{align} \underline\tau&=1+\underline\rho\\ &=1+\frac{\alpha-1+j}{\alpha+1-j} \end{align}$

$\underline\tau=\frac{2\alpha}{\alpha+1-j}$

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Question 8

On va calculer les moyennes temporelles des vecteurs de Poynting des ondes incidente et transmise au niveau de la surface : $\begin{align} \vec E_i\wedge \vec B_i^* &= \frac1{\omega}(\vec E_i\wedge (\vec k\wedge\vec E_i^*))\\ &= \frac{|E_{0i}|^2}{\omega} \vec k\\ \end{align}$

$\begin{align} \vec E_t\wedge \vec B_t^* &= E_{0t}e^{j\omega t}\vec u_x \wedge E_{0t}^* \sqrt{\frac\gamma{\epsilon_0 c^2 \omega}} \exp\left(-j\left(\omega t-\frac\pi 4\right)\right) \vec u_y\\ &= |E_{0t}|^2 \sqrt{\frac\gamma{\epsilon_0 c^2 \omega}} \exp\left(j\frac\pi 4\right) \vec u_z\\ \end{align}$

D'où : $\begin{align} \langle\vec \Pi_i \rangle &= \frac{\Re(\vec E_i\wedge \vec B_i^*)}{2\mu_0}\\ &= \frac{|E_{0i}^2|}{2\omega\mu_0}\vec k\\ \end{align}$

$\begin{align} \langle\vec \Pi_t \rangle &= \frac{\Re(\vec E_t\wedge \vec B_t^*)}{2\mu_0}\\ &= \frac{|E_{0t}|^2}{2\mu_0} \sqrt{\frac\gamma{2\epsilon_0 c^2 \omega}}\vec u_z\\ \end{align}$

$\begin{align} T &= \frac{||\langle\vec \Pi_t \rangle||}{||\langle\vec \Pi_i \rangle||}\\ &= \frac{\omega|E_{0t}|^2}{k|E_{0i}|^2} \sqrt{\frac\gamma{2\epsilon_0 c^2 \omega}}\\ &= |\underline\tau|^2 \sqrt{\frac\gamma{2\epsilon_0\omega}}\\ &= \frac{4\alpha^2}{(\alpha+1)^2+1}\cdot\frac1{\alpha}\\ \end{align}$

$T=\frac{4\alpha}{(\alpha+1)^2+1}$

De plus, supposer $\vec j_S\approx 0$ revient à supposer qu'il n'y a pas de pertes joule à l'interface entre les deux milieux. On a donc la relation $R+T=1\,$

$R=\frac{(\alpha-1)^2+1}{(\alpha+1)^2+1}$

Question 8.1

$\alpha\ll1 \Rightarrow \begin{cases} T \approx 2\alpha\\ R \approx\displaystyle{\frac{1-\alpha}{1+\alpha}}\approx1-2\alpha \\ \end{cases}$

Question 8.2

$\begin{array}{c|c|c|c|c|} &\lambda & \delta & \alpha & T\\ \hline \nu_1=100~{\rm Hz} & 300~{\rm km} & 6,5~{\rm nm} & 1,36\cdot 10^{-8} & 2,7\cdot 10^{-8}\\ \hline \nu_2=10~{\rm GHz} & 3~{\rm cm} & 65~{\rm nm} & 1,36\cdot 10^{-4} & 2,7\cdot 10^{-4}\\ \hline \end{array}$

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Question 9

La puissance surfacique moyenne perdue par effet joule est la puissance transmise dans le métal : $\begin{align} \langle\mathcal P_S\rangle &= T\,||\langle\vec\Pi_i\rangle||\\ &= \frac{|E_{0i}|^2}{2\omega\mu_0}||\vec k_i||\cdot 2\alpha\\ &=\frac{\alpha}{\mu_0c}E_{0i}^2\\ &=\frac{\epsilon_0c}{\epsilon_0\mu_0c^2} \sqrt{\frac{2\epsilon_0\omega}\gamma} E_{0i}^2 \end{align}$

$\langle\mathcal P_S\rangle = c\epsilon_0 \sqrt{\frac{2\epsilon_0\omega}{\gamma}} E_{0i}^2$

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