Ondes électromagnétiques/Exercices/Polarisation

Polarisation

Exercice no2
Leçon : Ondes électromagnétiques
Chapitre du cours :	Onde plane progressive monochromatique
Cet exercice est de niveau 15.
Exo préc. :	Onde sphérique
Exo suiv. :	Propagation dans un plasma

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Polarisation
Ondes électromagnétiques/Exercices/Polarisation  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Exercice

Partie 1

Décrire l'état de polarisation de chacune des 3 ondes représentées par les champs électriques suivants :

1. $\vec E_0=\begin{array}{|l} E_0\cos(\alpha)\cos(\omega t-kz)\\ E_0\sin(\alpha)\cos(\omega t-kz)\\ 0 \end{array}$
2. $\vec E_1=\begin{array}{|l} E_1\cos\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)\\ E_1\sin\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)\\ 0 \end{array}$
3. $\vec E_2=\begin{array}{|l} E_2\cos\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)\\ -E_2\sin\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)\\ 0 \end{array}$
4. Quel est l'état de polarisation de l'onde dont le champ électrique est $\vec E=\vec E_1+\vec E_2$ en supposant E₁=E₂ ?

Solution

1. Soit $\vec u_\alpha\begin{array}{|l}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\0\end{array}$.

L'onde 0 est polarisée rectilignement suivant $\vec u_\alpha$.

2. $E_{1,y}=E_1\sin\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)=E_1\cos\left(\omega\left(t-\frac zc\right)+\frac{3\pi}2\right)$

L'onde 1 est polarisée circulairement à gauche.

3. $E_{2,y}=-E_2\sin\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)=E_2\cos\left(\omega\left(t-\frac zc\right)+\frac{\pi}2\right)$

L'onde 2 est polarisée circulairement à droite.

4. $\vec E=\begin{array}{|l}2E_1\cos\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)\\0\\0\end{array}$

L'onde représentée par $\vec E$ est polarisée rectilignement suivant $\vec u_x$.

Partie 2

On associe à tout vecteur $\vec V\begin{array}{|l}V_x\\V_y\\V_z=0\end{array}$ de l'espace la grandeur complexe $\underline V=V_x+iV_y$.

1. Quelles sont les amplitudes complexes e₁ et e₂ associées aux champs électriques $\vec E_1$ et $\vec E_2$ ?
2. Montrer que la quantité complexe associée au champ $\vec E_0$ est de la forme $\underline E_1=\underline e_1\,e^{j\omega t}+\underline e_2\,e^{-j\omega t}$. Exprimer les amplitudes complexes e₁ et e₂. Conclure
3. Exprimer l'angle entre $\vec E_0$ et $(O,\vec x)$ en fonction de $\arg(\underline e_1\cdot\underline e_2)$

Solution

1. $\underline E_1=E_1\left[\cos\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)+j\sin\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)\right]=E_1e^{j\omega t}\exp\left(-j\omega\frac zc\right)$ $\underline E_2=E_2\left[\cos\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)-j\sin\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)\right]=E_2e^{-j\omega t}\exp\left(j\omega\frac zc\right)$

Donc $\begin{cases} \underline e_1=E_1 \exp\left(-j\omega\frac zc\right)\\ \underline e_2=E_2 \exp\left(j\omega\frac zc\right)\\ \end{cases}$

2. $\begin{align}\underline E_0&=E_0\cos(\omega t-kz)e^{j\alpha}\\ &=\frac12E_0\left(e^{j(\omega t-kz)}+e^{-j(\omega t-kz)}\right)e^{j\alpha}\\ &=\frac12E_0e^{j\alpha}e^{j\omega t}e^{-jkz} + \frac12E_0e^{j\alpha}e^{-j\omega t}e^{jkz}\\ \end{align}$

On pose alors : $\underline e_1=\frac12E_0e^{j(\alpha-kz)}$ $\underline e_2=\frac12E_0e^{j(\alpha+kz)}$

Ceci est possible car, pour toute valeur de α, on est capables de trouver E₁ et E₂ tels qu'il n'y ait pas d'incompatibilité entre ce qu'on vient de poser et les expressions obtenues question 1.

On en déduit que toute onde polarisée rectilignement peut se décomposer comme somme d'une onde polarisée circulairement à gauche et d'une onde polarisée circulairement à droite.

3. $\arg(\underline e_1\cdot\underline e_2)=\arg\left(\frac{E_0^2}4e^{2i\alpha}\right)=2\alpha$ $(\vec u_x,\vec E_0)=\arg(\underline E_0)=\alpha$

Finalement, $(\vec u_x,\vec E_0)=\frac12\arg(\underline e_1\cdot\underline e_2)$

Ondes électromagnétiques

Onde sphérique

Propagation dans un plasma