Mécanique du solide/Solide indéformable et centre d'inertie

Une page de Wikiversité.

Solide indéformable et centre d'inertie
Chapitre 1
Leçon : Mécanique du solide
Retour au Sommaire


En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique du solide : Solide indéformable et centre d'inertie
Mécanique du solide/Solide indéformable et centre d'inertie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Répartition continue de matière, solide

Définition
  • Une solide indéformable est un système de points matériels tel que la distance entre deux points quelconque du système est une constante du temps
  • On adopte pour la mécanique du solide le modèle de la répartition continue de matières.
Chaque élément \mathrm d\tau\, de matière contient un nombre infini de points.
  • On définit alors la masse volumique locale au point P du solide comme :
\rho(P)=\frac{\mathrm dm}{\mathrm d\tau}(P)\,

Remarques :

  • Le solide est homogène si \rho(P)\, ne dépend pas de P.

On adoptera aussi des modèles de répartition continue de matière sur une surface, ou sur une ligne, selon les solides à étudier.

[modifier] Masse et centre d'inertie

[modifier] Masse

Définition

La masse du solide est l'intégrale de ρ sur tout le solide :

M=\iiint \rho(P)\, \mathrm d \tau\,
  • Si le solide est homogène de volume V, alors M = \rho_0 \times V\,

[modifier] Centre d'inertie

Définition

Le centre d'inertie G du solide est le barycentre des points du solides pondérés par ρ. Il est défini par la formule :

\iiint \rho(P) \overrightarrow {GP} \, \mathrm d \tau=\overrightarrow {0}\,

En introduisant l'origine O, on obtient facilement la formule suivante pour calculer G :

Propriété

\overrightarrow {OG}=\frac{1}{M}\iiint \rho(P) \overrightarrow {OP} \, \mathrm d \tau\,

[modifier] Exemples

[modifier] Plaque triangulaire homogène

[modifier] Calcul

On désire calculer le centre d'inertie d'une plaque triangulaire à répartition surfacique de masse homogène \sigma_0\,.

On se place dans un repère (A,\vec{i},\vec{j}) où :

\vec{i}=\frac{\vec{AI}}{AI}\, et \vec{j}=\frac{\vec{BC}}{BC}\,.

On a alors :

\overrightarrow{AG}=\frac{1}{m}\iint \sigma_0 \overrightarrow{AP} \, \mathrm dS\,

On note \theta = (\vec{AI},\vec{BC})\,. L'aire du triangle vaut :

S = \frac{AI.BC.sin\theta}{2}\,

de plus l'élément d'aire vaut :

dS = dx.dy.sin\theta\,

donc avec m = S.\sigma_0\,

on obtient :

\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI.BC.sin\theta.\sigma_0}\iint \sigma_0 \overrightarrow{AP} \, \mathrm dx dy sin \theta ,
\overrightarrow{AG}=\frac{\sigma_0 sin \theta}{AI.BC.sin\theta.\sigma_0}\iint \overrightarrow{AP} \, \mathrm dx dy \,
\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI.BC}\iint (\vec{AM}+y\vec{j}) \, \mathrm dx dy \,

comme M est le milieu du segment [NL]\,, le second terme s'annule :

\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI.BC}\int (NL\times \vec{AM}) \, \mathrm dx \,

Or NL =AM.\frac{BC}{AI}\, par proportionnalité :

\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI.BC}\int (AM.\frac{BC}{AI}\times \vec{AM}) \, \mathrm dx \,

en écrivant \vec{AM}= x \vec{i}\,, on obtient :

\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI^2}\int (x^2\times \vec{i}) \, \mathrm dx \,
\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI^2} \times \frac{AI^3}{3}\times \vec{i}) \, \mathrm \,
\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3} \times AI \vec{i} \, \mathrm \,
\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3} \times \vec{AI} \, \mathrm \,

[modifier] Remarques

  • Le centre de gravité d'une plaque triangulaire homogène est donc le même que l'isobarycentre des trois sommets du triangle.

[modifier] Triangle à répartition linéique de masse sur les côtés

Dans ce cas le calcul intégral est inutile puisque le batycentre de chaque côté est son milieu affecté du poids correspondant à la longueur du côté. Le centre de gravité de ces trois points donne celui du triangle.

Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/M%C3%A9canique_du_solide/Solide_ind%C3%A9formable_et_centre_d%27inertie »