En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Une tige rigide , de masse négligeable, de longueur constante, mobile autour d'un point fixe , tourne autour d'un axe vertical passant par avec une vitesse angulaire constante la vitesse angulaire est comptée positivement dans le sens indiqué sur le schéma, ce sens correspondant à l'orientation de l'axe par vertical ascendant.
À l'extrémité de la tige est fixée une boule assimilable à un point matériel de masse , l'ensemble « tige rigide - boule » étant placé dans le champ de pesanteur terrestre uniforme.
On désigne par l'angle que la tige fait avec l'axe vertical orienté dans le sens descendant.
Démonstration de l'invariabilité de l'inclinaison de la tige rigide relativement à l'axe vertical de rotation dans la mesure où le mouvement de cette dernière est uniforme[modifier | modifier le wikicode]
Montrer que le caractère constant de la vitesse angulaire du « pendule conique » [1] entraîne celui de son inclinaison [2].
Solution
Rappelons, pour commencer, le caractère galiléen du référentiel par rapport auquel la vitesse angulaire du pendule est mesurée ;
choisissant de repérer le point matériel assimilant la boule fixée en en cylindro-polaire d'axe orienté par [2], ses coordonnées cylindro-polaires sont , la base cylindro-polaire associée étant choisie « directe » [3]voir schéma ci-contre ;
bilan des forces appliquées au pointvoir ci-contre : son poids vertical descendant soit encore «» et bilan des forces appliquées au pointvoir ci-contre : le vecteur tension de la tige rigide porté par et usuellement de sens contraire à [4] dans le demi-plan méridien repéré par , soit «» [5] ;
application de la r.f.d.n. [6] au point : «» avec « vecteur accélération du point dans le référentiel galiléen », donnant ici application de la r.f.d.n. au point : «» et, comme aucune des forces n'a de composantes sur , on en déduit «» ;
application de la r.f.d.n. au point : la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale étant «» [7]applicable si , application de la r.f.d.n. au point : on déduit de l'intégration de , une intégrale 1ère du mouvement du pendule application de la r.f.d.n. au point : on déduit de l'intégration de , «» ou, avec « constante », application de la r.f.d.n. au point : on déduit de l'intégration de , «» c.-à-d. la nature circulaire du mouvement de ou encore,
application de la r.f.d.n. au point : on déduit de l'intégration de , «» compte tenu de «» c.-à-d. la constance de l'angle d'inclinaison de la tige rigide par rapport à la verticale descendante dans la mesure où le mouvement de rotation de autour de la verticale reste à vitesse angulaire constante [8] soit
Détermination de la relation entre l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire de rotation autour de l'axe vertical[modifier | modifier le wikicode]
Déterminer la relation liant l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire de rotation autour de l'axe vertical ;
on précisera la valeur critique à partir de laquelle l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu est possible c.-à-d. telle que peut être .
Solution
Pour trouver la relation demandée nous allons projeter la r.f.d.n. [6] sur les deux autres vecteurs unitaires non encore utilisés soit :
sur , «» avec «» [10] donnant, dans le cas présent où ainsi que constante, «» ou encore, avec , l'équation suivante «» [11] soit finalement «» et
sur , «» avec «» [10] donnant, dans le cas présent où avec donc constante, l'équation suivante «».
Détermination de la relation cherchée : En supposant la tige rigide effectivement inclinée par rapport à la verticale nous avons et par suite les deux équations «», la 1ère imposant le caractère strictement positif de et la 2nde celui de c.-à-d. imposant [12] d'où, de on tire «» alors que s'écrit «», l'élimination de entre les deux donnant finalement la relation cherchée «» ou encore «» ;
Détermination de la relation cherchée : remarque : la relation ci-dessus n'est valide que si son 2nd membre est strictement inférieur à c.-à-d. si «», « cette limite inférieure étant donc la vitesse angulaire critique à partir de laquelle la position inclinée du pendule conique relativement à la verticale est possible » soit «» la solution «» nécessite donc «».
Détermination de la relation cherchée : « Si », la solution ci-dessus n'étant pas possible, nous avons nécessairement « et », Détermination de la relation cherchée : « Si », la 1ère équation conduisant à «» et Détermination de la relation cherchée : « Si », la 2nde équation à «» [5] impliquant est possible car est une tige rigide [13] mais Détermination de la relation cherchée : « Si », la 2nde équation à «» si la tige rigide était remplacée par un fil idéal, seule resterait possible [14] Détermination de la relation cherchée : « Si », la 2nde équation à «» comme seul mouvement satisfaisant au caractère tendu du fil c.-à-d. à .
Pendule cycloïdal, traitement par utilisation de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.)[modifier | modifier le wikicode]
Un point matériel de masse est assujetti à se déplacer dans le plan vertical sur la portion de cycloïde dont les équations paramétriques sont :
avec [18]voir ci-contre.
À la date , on lâche de sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur uniforme et À la date , on lâche de sans vitesse initiale ; il se déplace en liaison bilatérale sans frottement sur la portion de cycloïde.
Expression de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M[modifier | modifier le wikicode]
Déterminer l'expression de en fonction de il s'agit d'une question de géométrie voire de cinématique si on fait intervenir le temps mais nous ne le ferons pas indépendante des forces appliquées ;
ci-après on rappelle la méthode d'obtention du vecteur unitaire tangentiel de Frenet [16] en un point d'une courbe continue, ci-après déterminer les « composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire » en fonction de puis ci-après déterminer la « valeur absolue de la variation élémentaire de l'abscisse curviligne » suivi de après choix de l'orientation de la courbe [19] et enfin ci-après déterminer le « vecteur unitaire tangentiel de Frenet [16] au point défini par » [20] en fonction de dont on peut tirer «» en fonction de
Solution
À partir des équations cartésiennes paramétriques de la portion de cycloïdevoir schéma ci-contre, on détermine le vecteur déplacement élémentaire par différenciation de «» soit «» avec «» d'où «», puis
on détermine la valeur absolue de la variation élémentaire de l'abscisse curviligne repérant le point , l'origine du repérage ayant été choisie en [19] on utilisant l'expression du « vecteur déplacement élémentaire dans la base locale de Frenet [16]» [21] dont on tire «» soit, après simplification évidente «» ou, en « utilisant la formule de trigonométrie », l'expression finale «», ensuite
on détermine la variation élémentaire de l'abscisse curviligne repérant le point sachant que et par suite , d'où, orientant la portion de cycloïde dans le sens des, «» et enfin
on détermine le vecteur unitaire tangentiel de Frenet [16] au point «» [20] se déduisant de [21] d'où «» dans lequel on utilise la simplification suivante «» et par suite «» ;
on détermine le vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point constatant sur le schéma que « comme » et que « est quand », on en déduit que le lien de l'angle ayant une signification directe sur la portion de cycloïde avec le paramètre sans signification directe sur la portion de cycloïde[18] est «».
Expression, en fonction de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M, de l'abscisse curviligne du point sur la portion de cycloïde, puis du rayon de courbure de cette dernière au même point[modifier | modifier le wikicode]
Déduire, de la question précédente, l'abscisse curviligne [19] du point sur la portion de cycloïde Déduire, de la question précédente, l'abscisse curviligne en fonction de angle d'inclinaison avec du vecteur unitaire tangentiel de Frenet [16] au même point [20],[22] puis,
Déduire, de la question précédente, le rayon de courbure de la portion de cycloïde au point [23] en fonction de Déduire, de la question précédente, le rayon de courbure on rappelle que le rayon de courbure pour une courbe plane peut se déterminer par « avec » [23],[24].
Solution
Pour déterminer l'abscisse curviligne [19] du point sur la portion de cycloïde, il suffit d'« intégrer [25] entre et » soit Pour déterminer l'abscisse curviligne donnant finalement «» ;
Pour déterminer le rayon de courbure au point de la portion de cycloïde s'évaluant par «» [23],[26] avec , on en déduit aisément «» [27].
Détermination de la nature oscillatoire du mouvement de M sur la portion de cycloïde déterminée par r.f.d.n. et expression de sa période d'oscillations[modifier | modifier le wikicode]
En repérant le point par son abscisse curviligne et en appliquant la r.f.d.n. [6] à dans le référentiel terrestre supposé galiléen dans lequel la courbe est fixe, en appliquant la r.f.d.n. à trouver, par projection sur vecteur unitaire tangentiel de Frenet [16] lié à [20], en appliquant la r.f.d.n. à trouver, l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement de , puis en appliquant la r.f.d.n. à trouver, la nature de ce mouvement par résolution de l'équation différentielle précédente et enfin, en appliquant la r.f.d.n. à trouver, l'expression de la période de ce mouvement.
Solution
Les forces appliquées au point glissant sans frottement sur la portion de cycloïde étant :
son poids «» en utilisant la base locale de Frenet [16],[17] dans laquelle «» voir schéma ci-contre et
la réaction de la portion de cycloïde à par absence de frottement soit «», pouvant être a priori , ou compte-tenu de la nature bilatérale de la liaison,
l'application de la r.f.d.n. [6] à dans le référentiel terrestre supposé galiléen dans lequel la courbe est fixe, nous conduit à
«» dans laquelle est le vecteur accélération de dans défini à l'instant ;
projetant la relation ci-dessus sur le vecteur unitaire tangentiel de Frenet [16] lié à [20] et sachant que la composante de sur ce vecteur définit l'« accélération tangentielle de sur sa trajectoire » liée à l'abscisse curviligne du point à l'instant par «» [28], on obtient
«» soit,
en éliminant au profit de par «», on obtient l'équation différentielle en cherchée
soit «» ou, en simplifiant «» c.-à-d. une équation différentielle linéaire homogène du 2ème ordre à cœfficients constants sans terme du 1er ordre.
On reconnaît l'équation différentielle d'un « oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre » [29] On reconnaît l'équation différentielle dont la solution s'écrit «» [30] avec et constantes d'intégration à déterminer par C.I. [31] « lâché de sans vitesse initiale » On reconnaît l'équation différentielle dont la solution est de forme «» avec et constantes d'intégration à déterminer par C.I. «[32] » dont on tire On reconnaît l'équation différentielle dont la solution est de forme en utilisant la 1ère C.I. [31] «» et, On reconnaît l'équation différentielle dont la solution est de forme en utilisant la 2ème C.I. [31] avec «», «», d'où
l'équation horaire en «».
On en déduit la période du pendule cycloïdal identique à la période propre de l'oscillateur harmonique non amorti qu'il définit soit «».
Remarque : la période d'un oscillateur harmonique non amorti étant indépendante de l'amplitude d'oscillations, il en est de même de celle du pendule cycloïdal défini ici d'où Remarque : la période d'un oscillateur harmonique non amorti étant indépendante de l'amplitude d'oscillations, l'isochronisme des oscillations [33] d'un pendule cycloïdal.
Trouver, par projection sur vecteur unitaire normal principal de Frenet [16] lié à [34], de la r.f.d.n. [6] appliquée à , Trouver, la réaction de la cycloïde agissant sur on l'exprimera en fonction de et puis Trouver, la réaction de la cycloïde agissant sur on l'exprimera en fonction de seul [35].
«» avec « accélération normale de sur sa trajectoire », liée à la « vitesse instantanée du point à l'instant » [36] par «» [28], «[37] étant le rayon de courbure de la portion de cycloïde en à l'instant » [23] ;
On détermine de la projection de la r.f.d.n. [6] sur [34] avec remplacement de l'expression de on en déduit «» ou,
On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur avec [36],[38] «» ou encore, On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur avec on en déduit «» ;
On détermine en identifiant [38] avec [37] on en déduit soit «» [39] dont on déduit On détermine en identifiant avec on en déduit soit «» d'où, par report,
On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur avec on en déduit «» soit, On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur avec «» [38] et après une simplification évidente, «» [40].
↑ Dans la mesure où on démontre et c'est l'objet de cette question, ceci a pour conséquence que l'ensemble « tige rigide - boule » se déplace sur un cône d'où le qualificatif « conique » attribué historiquement au pendule.
↑ 2,0 et 2,1 Le meilleur repérage serait sphérique de pôle et d'axe orienté par , la boule étant alors de coordonnées sphériques , mais l'expression du vecteur accélération en sphérique étant trop compliquée, on se tournera vers le repérage cylindro-polaire de même axe , la boule étant alors de coordonnées cylindro-polaires ; pour montrer que reste constant, il suffit de démontrer que ou (et) ne varie(nt) pas, ou encore de montrer que le mouvement de reste circulaire en utilisant mais attention à ne pas utiliser le caractère circulaire tant que celui-ci n'a pas été établi.
↑ Il est néanmoins possible que le vecteur tension de la tige rigide porté par soit dans le sens de , correspondant au cas où les autres forces agissant sur tendent à rapprocher ce dernier de , la tige maintenant à une distance constante de en exerçant une force centrifuge relativement à .
↑ 5,0 et 5,1 Dans le cas usuel où le vecteur tension de la tige rigide « est dans le sens contraire de », est la norme de c.-à-d. «» mais dans le cas exceptionnel où le vecteur tension de la tige rigide « est dans le sens de », est la composante de sur c.-à-d. «».
↑ La variation de l'inclinaison de la tige avec la verticale ne pouvant se manifester que par une modification de la vitesse angulaire, on peut se servir de cette propriété pour vérifier le caractère uniforme de la rotation
↑ Ou, tant que le mouvement de autour de est uniforme, il reste circulaire
↑ Attention à ne pas simplifier inconsidérément par qui pourrait être nul et qui le sera sous conditions.
↑ La borne inférieure étant exclue par l'hypothèse .
↑ Toutefois on pourrait montrer que seul le mouvement avec est stable c.-à-d. insensible aux petites perturbations extérieures, le mouvement avec étant qualifié d'instable c.-à-d. qu'une petite perturbation extérieure suffira pour que devienne nul.
↑ Le vecteur tension du fil idéal , dans le cas où le fil est tendu, devant être nécessairement dans le sens contraire de .
Appeler « roue d'Aristote » une cycloïde est en fait un abus de langage faisant référence
d'une part à la construction de cette dernière comme trajectoire d'un point fixé sur un disque de centre , étant , roulant sans glisser sur une droite la cycloïde étant « droite » si est choisi sur la circonférence du disque et
d'autre part au paradoxe de la « roue d'Aristote » c.-à-d. d'autre part une roue de rayon représentée ci-contre par le cercle rouge roulant sans glisser sur une route représentée ci-contre par la droite marron parcourant une longueur par tour et d'autre part son moyeu de rayon représenté ci-contre par le cercle bleu, évidemment solidaire de la roue, parcourant la même longueur par tour soit mais d'autre part pourquoi n'a-t-on pas ? d'autre part Réponse : si le cercle bleu roulait sur une droite violette, il roulerait en y glissant
Aristote (384 av J.C. - 322 av J.C.) philosophe grec de l'Antiquité, il est l'un des rares à avoir abordé presque tous les domaines de connaissance de son temps : la biologie, la physique, la métaphysique, la logique, la poétique, la politique, la rhétorique et même l'économie Une cycloïde est encore appelée « roulette de Pascal » par référence au titre de l'ouvrage que Blaise Pascal lui consacra en à savoir le traité de la roulettesigné avec son nom de plume Amos Dettonvilleanagramme de Louis de Montalte qui était le pseudonyme sous lequel il avait écrit ses « lettres à un provincial » voir Les Provinciales ; Blaise Pascal (1623 - 1662) mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français ; ses 1ers travaux contribuèrent à clarifier la notion de pression et de vide mais il est aussi l'inventeur de la 1ère machine à calculer et aussi un mathématicien de premier ordre il a publié à un traité de géométrie projective, a développé en une méthode de résolution du problème des partis ayant donné naissance, au siècle suivant, au calcul des probabilités ; on lui doit aussi une réflexion philosophique et théologique voir Les Provinciales et les Pensées qui ne furent publiées qu'après sa mort.
↑ 18,0 et 18,1 n'a pas de signification directe sur la portion de cycloïde droite mais nécessite de revenir à la construction de celle-ci comme trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite (appelée directrice de la cycloïde droite), repérant le point sur le cercle.
↑ Dans un 1er temps, la projection fait apparaître et laquelle s'exprime en fonction de , cela répond donc à la 1ère demande et dans un 2ème temps il faut éliminer au profit de et pour cela connaître la variation de en fonction de en utilisant simultanément et d'où on peut tirer
↑ L'autre solution «» étant à rejeter, en effet à est en avec et quand à partir de , à partir de .
↑ Évidemment dans la mesure où , la réaction étant nulle aux points extrêmes de la portion de cycloïde c.-à-d. et son symétrique par rapport à et Évidemment dans la mesure où , la réaction étant maximale, de valeur , au passage à la position d'équilibre stable .