En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère un pendule élastique reposant sur un plan incliné d'un angle par rapport au plan horizontal On considère un pendule élastique tel que le ressort dont il est partiellement composé, supposé idéal [1] et à spires non jointives est disposé de façon à ce que son axe reste toujours à la ligne de plus grande pente du plan incliné [2] avec son extrémité supérieure fixe par rapport au plan incliné et son extrémité inférieure supportant un solide supposé ponctuel de masse constituant la 2ème partie du pendule élastique, le contact du solide sur le plan incliné se faisant sans frottement solide ; le ressort est de longueur à vide et de raideur ;
l'expérience est réalisée sur Terre dans un champ de pesanteur supposé uniforme et le solide subit de la part de l'air environnant air supposé immobile par rapport au plan incliné une force de frottement fluide linéaire où est la vitesse de par rapport au plan incliné, une constante caractéristique de l'air ainsi que des dimensions et de la forme du solide modélisé en point matériel ;
on repère le point matériel par son abscisse comptée par rapport à sa position d'équilibre choisie comme origine sur l'axe du ressort, orienté dans le sens descendant, on repère le point matériel par son abscisse comptée par rapport à sa position d'équilibre choisie comme origine sur l'axe étant au plan incliné orienté dans le sens ascendant.
Faire un bilan des forces agissant sur le point matériel du P.E.I.N.A. [3] en distinguant les deux forces conservatives des autres forces non conservatives puis
définir les deux énergies potentielles dont dérivent les deux forces conservatives en explicitant chacune en fonction, entre autres, de l'abscisse du point , définir les deux énergies potentielles dont dérivent les deux forces conservatives la référence de chacune étant choisie en la position d'équilibre de ;
appelant « énergie potentielle d'oscillation de » notée , la somme des deux énergies potentielles précédemment définies, appelant « énergie potentielle d'oscillation de » expliciter cette dernière en fonction de et de la raideur du ressort.
Solution
Ci-contre les trois schémas descriptifs habituels représentant le P.E.I.N.A. [3] ainsi que, Ci-contresur les deux derniers, le bilan des forces appliquées à :
schéma inférieur avec ressort à vide de longueur ,
schéma intermédiaire avec pendule à l'équilibre la longueur du ressort y est , la différence définissant l'allongement à l'équilibre, les forces appliquées à étant son poids , la tension du ressort à l'équilibre [5] et la réaction du plan incliné car à l'axe par absence de frottement solide avec et
schéma supérieur avec pendule à un instant quelconque [6] définissant l'allongement total à l'instant avec l'allongement supplémentaire relativement à la position à l'équilibre, les forces appliquées à étant son poids toujours égal à , la tension du ressort à l'instant quelconque [5] et la réaction du plan incliné car à l'axe par absence de frottement solide avec [7] ;
parmi les forces appliquées à les deux forces conservatives sont
son poids dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur [8] où représente l'altitude de par rapport à sa position d'équilibre choisie comme référence de ou, en introduisant l'abscisse de avec , et
la tension du ressort dérivant de l'énergie potentielle élastique [9] ou, avec comme référence de la position d'équilibre de c.-à-d. , [10] ou après simplifications évidentes ;
on en déduit l'énergie potentielle d'oscillation du P.E.I.N.A. [3] ou après factorisation par des termes linéaires en ;
il reste à évaluer en écrivant la C.N. [11] d'équilibre soit, après projection sur , c.-à-d. la réécriture de la C.N. [11] d'équilibre selon
;
reportant l'expression de dans celle définissant l'énergie potentielle d'oscillation du P.E.I.N.A. [3] on obtient,
Définir l'énergie mécanique du point matériel du P.E.I.N.A. [3] à l'instant , le point étant en la position d'abscisse avec la vitesse puis,
après avoir vérifié que le mouvement de est bien « conservatif »,
expliciter l'intégrale 1ère énergétique du point sachant que ce dernier est lâché avec les C.I. [13] et .
Solution
L'énergie mécanique du point matériel du P.E.I.N.A. [3] à l'instant étant définie par avec l'énergie cinétique du point à l'instant , L'énergie mécanique du point matériel du P.E.I.N.A. à l'instant se réécrit selon ;
la seule force non conservative étant la réaction du plan incliné et celle-ci ne travaillant pas car le déplacement élémentaire du point étant à la ligne de plus grande pente du plan incliné la seule force non conservative étant la réaction du plan incliné et celle-ci ne travaillant pas car le déplacement élémentaire est à d'où , la seule force non conservative étant la réaction du plan incliné et celle-ci ne travaillant pas on en déduit que le « mouvement du point est effectivement conservatif » et par suite, la seule force non conservative étant la réaction du plan incliné et celle-ci ne travaillant pas on en déduit qu'on peut lui appliquer l'intégrale 1ère énergétique correspondant à la seule force non conservative étant la réaction du plan incliné et celle-ci ne travaillant pas on en déduit qu'on peut lui appliquer la conservation de l'énergie mécanique dans laquelle est l'énergie mécanique initiale se réécrivant, l'abscisse et la vitesse étant deux grandeurs continues en absence de force de collision [14],[15], d'où la réécriture de
l'intégrale 1ère énergétique du P.E.I.N.A. [3] selon «».
Étude du mouvement de M associé au P.E.I.N.A. par diagramme d'énergies potentielle et mécanique[modifier | modifier le wikicode]
Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel associé au P.E.I.N.A. [3] puis
montrer la nature oscillatoire de son mouvement ainsi que
montrer sa nature périodique ;
on explicitera la période propre du P.E.I.N.A. [3] sous forme intégrale et
on l'évaluera en fonction de la raideur du ressort et de la masse du point matériel .
Solution
Ci-contre, dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.N.A. [3] c-à-d. les deux courbes
d'énergie potentielle en bleu ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée étant une parabole de concavité , de sommet et d'axe [16] et
d'énergie mécanique en rouge ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée étant une droite à l'axe des d'ordonnée ;
on y observe deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'abscisses interdites tels que [17],
l'un correspondant à position commune initiale des points génériques et d'abscisse et
l'autre .correspond à position symétrique de par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse ;
ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines et pour la variation de l'abscisse du point matériel c.-à-d. que est dans un état liéceci correspondant à un déplacement possible des points génériques et des courbes et dans une cuvetteou puitsd'énergie potentielle.
Établissement de la nature oscillatoire du mouvement du P.E.I.N.A.[3] :
les C.I. [13] étant telles que et sont initialement confondus en sur le mur d'énergie potentielle de droite , la présence du mur interdisant la de , nous en déduisons que « reste constant ou » ;
or qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » [18], ne peut rester constant et par suite strictement, les points génériques et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite c.-à-d. vers la gauche
ces déplacements simultanés engendrant d'abord une continue de [19] jusqu'au passage de par puis une continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque et se rejoignent en point commun du mur d'énergie potentielle de gauche , la présence de ce mur interdisant la de , nous en déduisons que « reste constant ou » ;
or qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » [18], ne peut rester constant et par suite strictement, les points génériques et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche c.-à-d. vers la droite
ces déplacements simultanés engendrant d'abord une continue de [19] jusqu'au nouveau passage de par puis une continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque et se rejoignent en point commun du mur d'énergie potentielle de droite , la présence de ce mur interdisant la de , nous en déduisons que « reste constant ou », ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de et se poursuivent indéfiniment en absence d'amortissements de façon identique
d'où, en conséquence, la nature oscillatoire du mouvement du P.E.I.N.A.[3].
Établissement de la nature périodique du mouvement du P.E.I.N.A.[3] :
Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.E.I.N.A. [3] par utilisation simultanée de son intégrale 1ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut montrer que la durée correspondant au nème aller-retour des points et sur et de est indépendant du numéro de l'aller-retour :
on utilise d'abord l'intégrale 1ère énergétique du mouvement du P.E.I.N.A. [3] avec avec les mêmes C.I. [13] que précédemment et d'où [20] et par suite on peut exprimer on utilise d'abord la durée élémentaire correspondant à une variation élémentaire de l'abscisse du point selon «» [21],[20] ;
on utilise ensuite le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre et suivant le sens de déplacement des points et dans la cuvette ou puits d'énergie potentielle soit :
pour le nème aller des points et de à , d'où correspondant à est [21], la durée totale du nème aller s'obtenant alors par intégration selon [22] ;
pour le nème retour des mêmes points de à , d'où correspondant à est [21], la durée totale du nème retour s'obtenant aussi par intégration selon [22] ;
on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation du point , soit finalement
[22] indépendante de la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration en étant indépendantes, ce qui établit la nature périodique du mouvement d'oscillations de .
Expression de la période du P.E.I.N.A. [3] sous forme intégrale et évaluation : La période du mouvement d'oscillations de étant la durée d'un aller-retour de et de à en passant par , Expression de la période du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et évaluation : La période s'écrit [22],[23].
Expression de la période du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et évaluation : Pour évaluer la période [22], on met en facteur dans le dénominateur de la fonction à intégrer soit [22] d'où, en posant , la réécriture de la période sous forme intégrale utilisant la nouvelle variable [22] ;
Expression de la période du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et évaluation : le calcul de l'intégrale généralisée [22] peut être achevé car admet pour primitive [24] d'où et par suite [25].
Propriété du mouvement de M associé au P.E.I.N.A. au passage par la position d'équilibre[modifier | modifier le wikicode]
Vérifier que la vitesse du point associé au P.E.I.N.A. [3] est de valeur absolue maximale au passage par la position d'équilibre et
l'évaluer en fonction de la raideur du ressort, de la masse du point matériel et de l'abscisse initiale de ce dernier.
Solution
Sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.N.A. [3] on observe que l'énergie cinétique de ce dernier est maximale lors de ses passages par la position d'équilibre car [19] y est effectivement maximal et par suite la valeur absolue de sa vitesse y est aussi maximale en prenant pour valeur ;
on détermine par conservation de l'énergie mécanique avec soit dont on déduit
la valeur absolue de la vitesse du P.E.I.N.A. [3] lors de ses passages par la position d'équilibre «» [26].
Dans un 2ème temps on tient compte de la résistance de l'air sur le pendule tout en considérant son influence comme faible on définit la pulsation propre du P.E.I.A. [27] et son cœfficient d'amortissement faible soit .
Conséquence énergétique de la nature non conservative du mouvement de M associé au P.E.I.A.[modifier | modifier le wikicode]
après avoir vérifié que le mouvement de est bien « non conservatif »,
appliquer le théorème de la puissance mécanique [28] au point matériel associé au P.E.I.A. [27] et
en déduire l'évolution de l'énergie mécanique de en fonction du temps à partir des mêmes C.I. [13] et en déduire l'évolution de l'énergie mécanique de en fonction du temps on ne demande qu'une étude qualitative et non quantitative.
Solution
Ci-contre les trois schémas descriptifs habituels représentant le P.E.I.A. [27] ainsi que, Ci-contresur les deux derniers, le bilan des forces appliquées à seul le schéma supérieur diffère relativement à ceux précédemment réalisés pour le P.E.I.N.A. [3], en effet s'y ajoute la résistance de l'air représentée en supposant ;
parmi ces quatre forces agissant sur , deux sont toujours conservatives poids de et tension du ressort sur le point et deux sont non conservatives réaction du plan incliné sur et résistance de l'air agissant sur le point ; toutefois la réaction du plan incliné sur le point ne développant aucun travail, le caractère « non conservatif » du mouvement du P.E.I.A. [27] est dû au fait que la résistance de l'air développe une puissance généralement non nulle [30] ;
l'introduction des frottements de l'air ne modifiant pas les forces conservatives agissant sur le P.E.I. [31], ainsi que l'introduction des frottements de l'air ne modifiant pas la condition d'équilibre de ce dernier , l'introduction des frottements de l'air on définit toujours, pour le P.E.I.A. [27],
une énergie potentielle d'oscillation en choisissant pour référence de cette dernière « la position d'équilibre du P.E.I.A. [27] » ainsi que
une énergie mécanique ;
le mouvement du P.E.I.A. [27] étant non conservatif, l'intégrale 1ère énergétique n'existe pas, elle est remplacée par une équation résultant de l'application à et à l'instant du théorème de la puissance mécanique [28] dans le référentiel galiléen lié au plan incliné ou encore ;
de cette équation on en déduit que l'énergie mécanique est une fonction au sens large de :
à sa valeur étant avec la vitesse et aussi l'abscisse étant une grandeur continue en absence de force de collision [14],[32] n'est pas maintenue, cette position initiale n'étant pas la position d'équilibre [18] donc
strictement jusqu'à ce que la vitesse du P.E.I.A. [27] redevienne nulle [33] mais ceci se produisant en une position différente de la position d'équilibre, le mouvement reprend dans l'autre sens avec une énergie mécanique instantanée plus faible donc une abscisse de valeur absolue puis
continue de strictement jusqu'à ce que la vitesse du P.E.I.A. [27] soit de nouveau nulle [33] mais ceci se produisant en une position différente de la position d'équilibre, le mouvement reprend dans le sens initial avec une énergie mécanique instantanée plus faible donc une abscisse de valeur absolue
cette stricte de se poursuivant en théorie indéfiniment mais en pratique jusqu'à ce que les oscillations d'amplitude de plus en plus faible ne soient plus détectables.
Étude du mouvement de M associé au P.E.I.A. par diagramme d'énergies potentielle et mécanique[modifier | modifier le wikicode]
Tracer l'allure du diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel associé au P.E.I.A. [27] Tracer l'allure du diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour justifier le tracé de la courbe d'énergie mécanique expliciter en fonction de et et Tracer l'allure du diagramme d'énergies potentielle et mécanique préciser la variation de en fonction de l'abscisse commune des points génériques et des courbes d'énergies Tracer l'allure du diagramme d'énergies potentielle et mécanique préciser la variation de en fonction de l'abscisse commune des points potentielle et mécanique puis,
commenter ce diagramme pour en déduire qualitativement le mouvement du point matériel associé au P.E.I.A. [27].
Solution
Ci-contre, dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.A. [27] c-à-d. les deux courbes
d'énergie potentielle en bleu ci-contre identique à celle tracée dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.N.A. [3] et
d'énergie mécanique en rouge ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée étant une courbe au sens large, que soit ou , à partir du point ; d'énergie mécanique en rouge pour tracer cette courbe il convient d'évaluer sa pente en son point générique d'abscisse et d'ordonnée , soit d'où les propriétés suivantes de la tangente à au point générique : elle est à l'axe des aux points et correspondant à à l'arrêt [34], ces points et étant respectivement les points d'intersection d'abscisse positive et négative des courbes d'énergie potentielle et d'énergie mécanique , en tout autre point la pente de la tangente à y est , en tout autre point elle est quand le paramètre de position c.-à-d. quand se déplace vers la gauche et en tout autre point elle est quand le paramètre de position c.-à-d. quand se déplace vers la droite, enfin la pente de la tangente à est extrémale aux points associés aux instants où la vitesse de est de valeur absolue maximale c.-à-d. là où l'énergie cinétique du P.E.I.A. [27] est maximale [35]cela correspond aussi aux instants tels que [19] est maximal [36] ;
on y observe successivement un couple de murs d'énergie potentielle en regard délimitant les domaines d'abscisses interdites tels que [17], ces composantes du couple étant d'autant plus rapprochées que est grand.
Finalement on en déduit que le mouvement du P.E.I.A. [27] est pseudo-oscillatoire mais, si l'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique est « très concrète qualitativement », elle ne permet d'obtenir les résultats quantitatifs obtenus par résolution de l'équation différentielle du 2ème ordre [37].
Un point matériel de masse est assujetti à se déplacer dans le plan vertical sur la portion de cycloïde dont les équations paramétriques sont :
avec [39]voir ci-contre.
À la date , on lâche de , de paramètre angulaire sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur uniforme et se déplace en liaison bilatérale sans frottement sur la portion de cycloïde.
Après avoir vérifié que le point matériel est bien « à mouvement conservatif » Après avoir vérifié expliciter l'intégrale 1ère énergétique du mouvement de ce point en fonction, entre autres, de et de sa dérivée temporelle.
Solution
Les forces appliquées à étant
son poids , force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur , la constante dépendant du choix de la référence et
la réaction de la cycloïde sur le point , force non conservative ne développant aucun travail en absence de frottement car est au vecteur déplacement élémentaire le long de la cycloïde,
on vérifie effectivement que le mouvement du point est « conservatif » ;
on peut alors appliquer, comme intégrale 1ère énergétique, la conservation de l'énergie mécanique du point en définissant celle-ci à l'instant par avec
en prenant comme référence [40] soit encore, en y reportant et après simplification, et
soit, après simplification évidente, d'où soit finalement «»,
l'énergie mécanique initiale valant , l'intégrale 1ère énergétique du pendule cycloïdal se réécrit
ou «».
Établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel M, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de ce dernier et évaluation de sa période ainsi que de la longueur du pendule pesant simple synchrone[modifier | modifier le wikicode]
Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel et en déduire la nature oscillatoire du mouvement de ce dernier ainsi que en déduire sa nature périodique ;
expliciter la période du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale puis
la calculer et
vérifier qu'il y a « isochronisme des oscillations » du pendule cycloïdal.
Préciser la longueur du pendule pesant simple à « petites oscillations » [41] qui lui est synchrone.
Solution
Tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique : voir ci-contre la courbe d'énergie potentielle est en noir, c'est une portion de sinusoïde définie sur [42] et celle d'énergie mécanique en rouge, c'est un segment de droite à l'axe des d'ordonnée .
Établissement de la nature oscillatoire du mouvement du pendule cycloïdal : la nature oscillatoire du mouvement de découle de l'existence d'un puits d'énergie potentielle c.-à-d. deux murs d'énergie potentielle en regard dans lequel les points génériques et de et ne peuvent sortir [43],[44] :
tout d'abord les points et sont sur l'intersection de et c.-à-d. le mur d'énergie potentielle de gauche d'abscisse , l'énergie cinétique y étant nulle, le point est en situation de repos mais n'y reste pas car ce n'est pas une position d'équilibre [18], et se déplacent vers la droite seule possibilité en accord avec [19] et ceci jusqu'à l'autre intersection de et c.-à-d. le mur d'énergie potentielle de droite d'abscisse symétrique du mur d'énergie potentielle de gauche par rapport à l'axe de symétrie de la portion de cycloïde à savoir où l'énergie cinétique est redevenue nulle, mais
le point temporairement en situation de repos n'y reste pas car ce n'est pas une position d'équilibre [18], et se déplacent vers la gauche seule possibilité en accord avec [19] et ceci jusqu'à la 1ère intersection de et c.-à-d. le mur d'énergie potentielle de gauche d'abscisse où l'énergie cinétique est de nouveau nulle,
nous avons donc une succession de déplacements de et vers la droite puis vers la gauche correspondant à des oscillations de autour de la position repérée par , cette position étant en fait la position unique d'équilibre [18] car c'est le seul endroit où le poids de étant à la cycloïde peut être compensé par la réaction de celle-ci sur .
Établissement de la nature périodique du mouvement du pendule cycloïdal : pour cela on évalue la durée du nème aller-retour de et dans la cuvette d'énergie potentielle et on montre qu'elle ne dépend pas de [45] soit :
durée du nème aller : avec obtenu par intégrale 1ère énergétique d'où, étant dans cette phase, [46] et par suite [22],
durée du nème retour : avec la même expression de d'où, étant dans cette phase, [46] et par suite [22] égale à la durée du nème aller [47],
finalement la durée du nème aller-retour [22] est effectivement indépendante de n ce qui montre la nature périodique du mouvement du pendule cycloïdal.
Expression de la période du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale : la période étant la durée d'un aller-retour nous en déduisons
Évaluation de la période du mouvement du pendule cycloïdal : il est intéressant de passer en angle moitié pour calculer cette intégrale en utilisant [49] d'une part, et d'autre part, soit finalement et par suite, en reportant dans l'expression de sous forme intégrale, [22] soit, avec la nouvelle variable variant de à , la réécriture de la période sous [22] soit finalement [50] et encore l'expression finale
«» indépendant de d'où « isochronisme des oscillations ».
La période des petites oscillations [41] d'un pendule pesant simple P.P.S. de longueur dans un champ de pesanteur terrestre uniforme d'intensité de la pesanteur valant [51] et la période du pendule cycloïdal pouvant s'écrire , nous en déduisons
Mouvement conservatif d'un point matériel sur le demi-axe Ox à profil d'énergie potentielle fixé[modifier | modifier le wikicode]
Soit un point matériel , de masse , en mouvement conservatif sur le demi-axe , d'abscisse et Soit un point matériel , de masse , soumis à une résultante de force dérivant de l'énergie potentielle , et étant des constantes .
Détermination de la nature du mouvement du point matériel par étude de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique[modifier | modifier le wikicode]
Initialement le point matériel étant lâché de d'abscisse avec la vitesse initiale , tracer les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de suivant la valeur de son énergie mécanique initiale ,
déterminer la position d'équilibre de en explicitant l'abscisse de cette dernière en fonction de et de puis
préciser à quelle condition sur le mouvement de est oscillatoire autour de cette position d'équilibre.
Solution
Pour tracer la courbe d'énergie potentielle il faut connaître d'abord la variation de en fonction de et pour cela calculer sa dérivée dans le but d'étudier le signe de cette dernière , ce qui représente l'opposé de la composante sur de la force conservative dérivant de l'énergie potentielle soit [53] d'où :
s'annule pour , cette abscisse étant celle de la position d'équilibre du point ,
pour la dérivée est ce qui, correspondant à , est associé à une force répulsive par rapport au point , l'énergie potentielle y étant une fonction de à et
pour la dérivée est ce qui, correspondant à , est associé à une force attractive par rapport au point , l'énergie potentielle y étant une fonction de à ;
le mouvement du point matériel étant conservatif [54], on peut lui appliquer l'intégrale 1ère énergétique correspondant à la conservation de son énergie mécanique soit, les C.I. [13] du point matériel étant et pour une énergie mécanique initiale ou encore , l'intégrale 1ère énergétique suivante
«» avec «» et «» ;
des exemples de courbes d'énergie mécanique sont représentés en rouge sur le diagramme ci-dessus à droite, des exemples de courbes d'énergie mécanique ce sont des droites à l'axe des d'ordonnée soit cette dernière valeur étant .
L'abscisse de la position d'équilibre du point matériel a été préalablement établie, elle vaut et L'abscisse de la position d'équilibre correspond à un équilibre stable selon les critères de force [55] ou d'énergie potentielle dont la force dérive [56] ;
pour que soit un oscillateur autour de , il est nécessaire que les points courants du diagramme d'énergies potentielle et mécanique rencontrent deux murs d'énergie potentielle :
celui de droite n'existe que dans la mesure où car est continue et sur avec d'une part et d'autre part d'où l'affirmation d'après le théorème des valeurs intermédiaires[57] ;
la condition pour que oscille autour de est donc «» et par suite, « si est , est dans un état lié » [58] alors que, « si est , est dans un état de diffusion » [59].
Pour faciliter le tracé des portraits de phase du point matériel [60] en correspondance avec celui de ses diagrammes d'énergies potentielle et mécanique, on introduit les grandeurs réduites suivantes :
l'abscisse réduite du point matériel ,
son énergie mécanique initiale réduite et
sa vitesse réduite ;
déduire, des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de , les portraits de phase correspondant de [60] sous leur forme réduite c.-à-d. avec en abscisse et en ordonnée déduire, des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de , les portraits de phase pour les valeurs de correspondant à des mouvements de différents puis,
à l'aide d'un calculateur numérique [61], les tracer sur un même graphique on pourra faire les tracés pour , , , et .
Solution
Tracé des portraits de phase[60] en grandeurs réduites pour différentes valeurs d'énergie mécanique initiale réduite : de l'intégrale 1ère énergétique ou on tire l'équation implicite d'un portrait de phase «» ou, en introduisant les grandeurs réduites suivantes :
l'abscisse réduite du point matériel ,
son énergie mécanique initiale réduite et
sa vitesse réduite ,
l'équation implicite d'un portrait de phase se réécrit «» soit, après simplification, «» ;
le logiciel de calcul numérique utilisé pour tracer les portraits de phase[60] en grandeurs réduites pour différentes valeurs d'énergie mécanique initiale réduite du point matériel étudié est l'un de ceux proposés par le programme à savoir « Scilab » [62], le programme utilisé [63] est donné ci-dessous ainsi que le tracé obtenu on vérifie que les portraits de phase[60] pour et correspondants à un état lié de sont fermés alors que ceux pour , et correspondants à un état de diffusion de sont ouverts
%xi = 0.001:0.02:5.001;
%varpi = -2:0.02:+2;
for i = 1:length(%xi)
for j = 1:length(%varpi)
fonction_f = (%varpi(j))^2;
fonction_g = 2/(%xi(i)) - 1/((%xi(i))^2);
z(i,j) = fonction_f - fonction_g;
end
end
contour(x,y,z,[-0.9 -0.5 0 1 2]);
Commentairepartieldes lignes de programme : les portraits de phase[60] étant définis par une équation implicite, on définit trois fonctions :
la 1ère notée « fonction_f » correspond à ,
la 2nde notée « fonction_g » correspond à et
la 3ème notée est la différence des deux, plus précisément considérée comme l'équation d'une surface dans l'espace à trois dimensions puis
Commentairepartieldes lignes de programme : on trace les lignes de niveaux correspondants à , ce qui est obtenu avec la fonction « contour() », les lignes de niveaux étant précisées entre crochets
↑ 1,01,1 et 1,2 C.-à-d. parfaitement élastique et sans masse.
↑ Pour cela on dispose d'un guide empêchant toute déviation de l'axe, l'action entre le guide et le ressort se faisant en absence de tout frottement solide.
↑ 5,0 et 5,1 Voir le paragraphe « cause de déséquilibre, loi de Hooke » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ». Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVIIème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.
↑ Sur le schéma est représenté mais il pourrait être ; il est rappelé qu'il est fortement conseillé de toujours représenter, sur un schéma, les grandeurs algébriques sous leur aspect positif de façon à éviter des erreurs de signe (toujours très fréquentes) consécutives à leur représentation sous leur aspect négatif.
↑ Nous devons supposer, a priori, que pourrait être de même si finalement ces composantes sont égales.
↑ C.-à-d. la même expression que le pendule élastique soit horizontal, vertical ou incliné pourvu que soit l'abscisse, sur l'axe du ressort, du point par rapport à sa position d'équilibre et que cette dernière soit la référence de l'énergie potentielle totale.
↑ 19,019,119,219,319,4 et 19,5 La signification de étant « est représenté par (ou représente) » l'échelle de représentation devant être précisée si une utilisation quantitative est faite, ici ce serait une échelle d'énergie identique à celle utilisée pour les ordonnées du diagramme énergétique.
↑ 20,0 et 20,1 Le choix entre et dépend du sens de variation de la variable de position ou, ce qui revient au même, du sens de déplacement de et sur et .
↑ 21,021,1 et 21,2 Cette expression n'étant définie que si , dans le cas où est égale à la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de non infinie, correspondant alors à un état stationnaire de plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de pour laquelle la vitesse est effectivement nulle, la levée de la forme indéterminée conduisant à une valeur infiniment petite à .
↑ La détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre du P.E.I.N.A. pouvant être obtenue en dérivant l'intégrale 1ère énergétique par rapport au temps avec et , donnant finalement après simplification par non identiquement nulle, ou, en normalisant, soit l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre et de période propre correspondant effectivement à l'évaluation de la période sous forme intégrale.
Appeler « roue d'Aristote » une cycloïde est en fait un abus de langage faisant référence
d'une part à la construction de cette dernière comme trajectoire d'un point fixé sur un disque de centre , étant , roulant sans glisser sur une droite la cycloïde étant « droite » si est choisi sur la circonférence du disque et
d'autre part au paradoxe de la « roue d'Aristote » relatif à une roue de rayon représentée ci-contre par le cercle rouge roulant sans glisser sur une route représentée ci-contre par la droite marron parcourant une longueur par tour et d'autre part au paradoxe de la « roue d'Aristote » relatif à son moyeu de rayon représenté ci-contre par le cercle bleu, évidemment solidaire de la roue, parcourant la même longueur par tour soit pourquoi n'a-t-on pas ? Réponse : si le cercle bleu roulait sur une droite violette, il roulerait en y glissant
Aristote (384 av J.C. - 322 av J.C.) philosophe grec de l'Antiquité, il est l'un des rares à avoir abordé presque tous les domaines de connaissance de son temps : la biologie, la physique, la métaphysique, la logique, la poétique, la politique, la rhétorique et même l'économie Une cycloïde est encore appelée « roulette de Pascal » par référence au titre de l'ouvrage que Blaise Pascal lui consacra en à savoir le traité de la roulettesigné avec son nom de plume Amos Dettonville ; Blaise Pascal (1623 - 1662) mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français ; ses 1ers travaux contribuèrent à clarifier la notion de pression et de vide mais il est aussi l'inventeur de la 1ère machine à calculer ainsi qu'un mathématicien de 1er ordre il a publié à un traité de géométrie projective, a développé en une méthode de résolution du problème des partis ayant donné naissance, au siècle suivant, au calcul des probabilités ; on lui doit aussi une réflexion philosophique et théologique voir Les Provinciales et les Pensées qui ne furent publiées qu'après sa mort.
↑ n'a pas de signification directe sur la portion de cycloïde droite mais nécessite de revenir à la construction de celle-ci comme trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite (appelée directrice de la cycloïde droite), repérant le point sur le cercle.
↑ 46,0 et 46,1 Cette expression n'étant définie que si , dans le cas où est égale à la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de non infinie, correspondant alors à un état stationnaire de plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de pour laquelle la vitesse est effectivement nulle, la levée de la forme indéterminée conduisant à une valeur infiniment petite proportionnelle à .
↑ En effet obtenu en changeant simultanément l'ordre des bornes et le signe de la fonction à intégrer, c.-à-d. l'expression de la durée du nème aller .
↑ En effet la fonction à intégrer est invariante par changement de en avec changée en d'où avec la 2ème intégrale se réécrivant est effectivement égale à la 1ère intégrale dans la mesure où est égal à .
↑ Ce qui nécessite que les éventuelles forces non conservatives ne travaillent pas, la seule force conservative dérivant de l'énergie potentielle fournie par le texte.
↑ 57,0 et 57,1 Le théorème des valeurs intermédiaires peut être énoncé selon « pour toute application continue et tout réel compris entre et , il existe au moins un réel compris entre et tel que » ; son cas particulier connu sous le nom de théorème de Bolzano s'énonce selon « pour toute application continue telle que le produit est , il existe au moins un réel compris entre et tel que » ; dans les deux théorèmes si l'application continue est strictement monotone, elle est donc injective et il y a unicité de la valeur de ; Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781 - 1848) ou plus simplement Bernard Bolzano est un mathématicien, logicien, philosophe et théologien allemand né, ayant vécu et mort en ce qui est maintenant la Tchéquie, à qui on doit en mathématiques deux théorèmes dont celui des valeurs intermédiaires dont un cas particulier porte son nom et un autre connu sous le nom de théorème de Balzano-Weierstrass en topologie des espaces métriques dont une démonstration plus rigoureuse fut établie par Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiqueson lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de fonction de Weierstrass continue partout et dérivable nulle part.