Logique de base/Algèbre de Boole

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Sommaire 1 Introduction 2 Les propriétés 2.1 Propriété de la somme 2.2 Propriété du produit 2.3 Propriété de la négation 2.4 Propriété de la commutativité 2.5 Propriété de l'associativité 2.6 Propriété de la distributivité 2.7 Théorème de De Morgan 3 Exercices

[modifier] Introduction

Dérivée des mathématiques, l'algèbre de Boole est utilisée par les automaticiens afin de réduire les équations logiques pour éviter de prendre trop de place dans les mémoires d'automates programmables. À l'époque, et pour les automatismes assez importants, la mémoire était un critère important : Il fallait par tous les moyens possibles réduire au minimum cette prise de place.
L'algèbre de Boole est un très bon outil utilisant des règles relativement simples. En algèbre de Boole les variables (a, b, c ....) ne peuvent prendre que deux valeurs : 0 et 1

[modifier] Les propriétés

Tout d'abord les symboles utilisés en algèbre de Boole bien qu'en apparence similaire à ceux des mathématiques diffèrent dans leurs significations. Ainsi

• le symbole " + " se lit " ou ". En effet l'expression " a + b = 1 " se lit " a ou b égale à 1 ". Cette condition est vérifiée pour a ou pour b (ou pour les deux en même temps) égale à 1
• le symbole " . " se lit " et ". En effet l'expression " a . b = 1 " se lit " a et b égale à 1 ". Cette condition est vérifiée pour a et b égale à 1. (Si l'un des deux vaut 0, l'équation n'est pas vérifiée)
• la variable " " se lit " a barre". Elle prend la valeur opposé de a. Si a = 1 alors = 0 et inversement.

[modifier] Propriété de la somme

• a + 1 = 1
• a + 0 = a
• a + a = a
• a + = 1

[modifier] Propriété du produit

• a . 1 = a
• a . 0 = 0
• a . a = a
• a . = 0

[modifier] Propriété de la négation

[modifier] Propriété de la commutativité

• a + b = b + a
• a . b = b . a

[modifier] Propriété de l'associativité

• a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c )
• a . b . c = ( a . b ) . c = a . ( b . c )

[modifier] Propriété de la distributivité

• a . ( b + c ) = a.b + a.c
• ( a + b ) . ( c + d ) = a.c + a.d + b.c + b.d

• a + ( b . c ) = (a+b) . (a+c)

[modifier] Théorème de De Morgan

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[modifier] Exercices