LA COLORIMETRIE CIE1931 xyY-2°-Explication mathématique simple-
LA COLORIMETRIE CIE1931 xyY2°.
EXPLICATION MATHEMATIQUE SIMPLE.
On part des expériences de David WRIGHT et John GUILD donnant les valeurs (r,g,b) définissant la chromaticité des lumières. Ce sont les proportions des lumières primaires NPL (tests) 700 nm (rouge pour r), 546,1 nm (vert-green pour g) et 435,8 nm (bleu pour b), pouvant reconstituer (métamériser) une lumière spectrale monochromatique.Certaines de ces proportions peuvent être négatives, en ce sens que pour métamériser une même proportion des lumières primaires bleue et verte, il faut ajouter un peu de la primaire rouge à la lumière cyan monochromatique de 494nm. On compare en fait 2 métamères( vert+bleu et cyan+rouge).
Ce tableau des valeurs (r,g,b) est transformé mathématiquement avec l'aide de la fonction V(λ) qui définit la luminance (fonction de visibilité ou d'efficacité de l'oeil humain). Cette fonction est prise égale à 1 pour 555 nm et est très faible pour le rouge et le bleu.C'est bien pourquoi la lumière verte apparaît très claire et les lumières rouge et bleue apparaissent foncées donc beaucoup moins claires que la lumière verte, à même nombre de photons émis pour les lumières, donc à lumières d'énergies égales, ce qui correspond au diagramme de chromaticité équi-énergétique. Pour que les lumières rouge et bleue apparaissent aussi claires que le vert(donc aient la même luminance) il faut qu'elles soient constituées de beaucoup de photons donc que leur source soit très puissante. V(λ) est inversement proportionnelle au nombre de photons nécessaires pour obtenir la même luminance que la lumière vert-jaune de 555 nm donc à l'énergie.
Les calculs suivants ne peuvent se faire qu'avec un tableur.
On étudie la colorimétrie de CIE1931 xyY2°, où Y=V(λ)=V(1924)
On cherche des coefficients d,e,f tels que :
a/Pour tout λ D=dr+eg+fb.
Que l'on peut écrire :
(D)=Matrice(r,g,b)*Matrice(def).
Matrice(def) étant le vecteur colonne des coefficients d,e,f et (D) le vecteur colonne résultant.
b/(rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*V/D.
Cela signifie que pour tout λ rbar=r*V/D,gbar=g*V/D,bbar=b*V/D.
c/On veut que les sommes Σbbar=Σgbar=Σbbar=ΣV(λ)=21,3714.....
Par ajustements successifs de d,e,f en partant de valeurs quelconques >0 avec d+e+f=1, on trouve d=0,17697,e=0,81240,f=0,01063
Ensuite on cherche les coefficients a,b,c,g,h,i de façon :
a/(xbar,ybar,zbar)=(rbar,gbar,bbar)*M :
M est la matrice carrée 3x3 constituée des coefficients a à i.
avec les colonnes a,b,c-d,e,f-g,h,i. Rappelons que d,e,f sont connus.
c/(x,y,z)=(xbar,ybar=V1924,zbar)/n1 de façon que x>=0 et z>=0.
n1=xbar+ybar+zbar
Par ajustements successifs de a,b,c,g,h,i on trouve :
Ainsi de la matrice (r,g,b) avec V1924 on arrive à une matrice (x,y,z) et Y=V1924.
Comme x+y+z=1 , z=1-x-y donc z est connu quand on connait x et y.
Le diagramme de chromaticité est donc résumé à xy.
Pendant les calculs de a,b,c,g,h,i on peut s'aider du diagramme x,y obtenu par la fonction diagramme du tableur.
Ce diagramme peut être aussi vu en coordonnées triangulaires xtri,ytri.
Avec :
xtri=x+y/2.
ytri=y*(3^0,5)/2.
| λ | r | g | b | V1924 |
|---|---|---|---|---|
| 360 | 0,032 | -0,012 | 0,98 | 0,00001 |
| 365 | 0,031 | -0,012 | 0,981 | 0,00001 |
| 370 | 0,03 | -0,012 | 0,982 | 0,00001 |
| 375 | 0,029 | -0,012 | 0,983 | 0,00002 |
| 380 | 0.000 | -0,012 | 0,984 | 0,00004 |
| 385 | 0,027 | -0,012 | 0,984 | 0,00006 |
| 390 | 0.000 | -0,011 | 0,985 | 0,00012 |
| 395 | 0,026 | -0,011 | 0,986 | 0,00022 |
| 400 | 1.000 | -0,011 | 0,986 | 0,00040 |
| 405 | 0,024 | -0,011 | 0,987 | 0,00064 |
| 410 | 0,022 | -0,011 | 0,988 | 0,00121 |
| 415 | 0,021 | -0,01 | 0,99 | 0,00218 |
| 420 | 0,018 | -0,01 | 0,991 | 0,00400 |
| 425 | 0,014 | -0,008 | 0,993 | 0,00730 |
| 430 | 0,009 | -0,005 | 0,996 | 0,01160 |
| 435 | 0,001 | -0,001 | 0,999 | 0,01684 |
| 440 | -0,008 | 0,005 | 1,004 | 0,02300 |
| 445 | -0,021 | 0,012 | 1,009 | 0,02980 |
| 450 | -0,039 | 0,022 | 1,017 | 0,03800 |
| 455 | -0,062 | 0,034 | 1,027 | 0,04800 |
| 460 | -0,091 | 0,052 | 1,039 | 0,06000 |
| 465 | -0,128 | 0,076 | 1,052 | 0,07390 |
| 470 | -0,182 | 0,117 | 1,064 | 0,09098 |
| 475 | -0,258 | 0,184 | 1,074 | 0,11260 |
| 480 | -0,366 | 0,29 | 1,076 | 0,13902 |
| 485 | -0,519 | 0,457 | 1,063 | 0,16930 |
| 490 | -0,714 | 0,699 | 1,015 | 0,20802 |
| 495 | -0,945 | 1,024 | 0,92 | 0,25860 |
| 500 | -1,166 | 1,389 | 0,777 | 0,32300 |
| 505 | -1,349 | 1,744 | 0,606 | 0,40730 |
| 510 | -1,335 | 1,93 | 0,405 | 0,50300 |
| 515 | -1,205 | 1,968 | 0,237 | 0,60820 |
| 520 | -0,981 | 1,852 | 0,129 | 0,71000 |
| 525 | -0,737 | 1,665 | 0,072 | 0,79320 |
| 530 | -0,515 | 1,475 | 0,04 | 0,86200 |
| 535 | -0,33 | 1,31 | 0,02 | 0,91495 |
| 540 | -0,17 | 1,162 | 0,008 | 0,95400 |
| 545 | -0,029 | 1,028 | 0,001 | 0,98030 |
| 550 | 0,098 | 0,905 | -0,003 | 0,99495 |
| 555 | 0,212 | 0,792 | -0,004 | 1,00000 |
| 560 | 0,318 | 0,688 | -0,005 | 0,995000 |
| 565 | 0,411 | 0,593 | -0,004 | 0,978600 |
| 570 | 0,497 | 0,507 | -0,004 | 0,952000 |
| 575 | 0,575 | 0,428 | -0,003 | 0,915400 |
| 580 | 0,645 | 0,358 | -0,002 | 0,870000 |
| 585 | 0,707 | 0,295 | -0,002 | 0,816300 |
| 590 | 0,762 | 0,24 | -0,002 | 0,757000 |
| 595 | 0,809 | 0,193 | -0,001 | 0,694900 |
| 600 | 0,847 | 0,154 | -0,001 | 0,63100 |
| 605 | 0,88 | 0,121 | -0,001 | 0,56680 |
| 610 | 0,906 | 0,095 | -0,001 | 0,50300 |
| 615 | 0,926 | 0,074 | -0,001 | 0,44120 |
| 620 | 0,942 | 0,058 | 0 | 0,38100 |
| 625 | 0,955 | 0,045 | 0 | 0,32100 |
| 630 | 0,965 | 0,035 | 0 | 0,26500 |
| 635 | 0,973 | 0,027 | 0 | 0,21700 |
| 640 | 0,98 | 0,021 | 0 | 0,17500 |
| 645 | 0,985 | 0,015 | 0 | 0,13820 |
| 650 | 0,989 | 0,011 | 0 | 0,10700 |
| 655 | 0,992 | 0,008 | 0 | 0,08160 |
| 660 | 0,994 | 0,006 | 0 | 0,06100 |
| 665 | 0,995 | 0,005 | 0 | 0,04458 |
| 670 | 0,997 | 0,004 | 0 | 0,03200 |
| 675 | 0,997 | 0,003 | 0 | 0,02320 |
| 680 | 0,998 | 0,002 | 0 | 0,01700 |
| 685 | 0,999 | 0,001 | 0 | 0,01192 |
| 690 | 1 | 0 | 0 | 0,00821 |
| 695 | 1 | 0 | 0 | 0,00572 |
| 700 | 1 | 0 | 0 | 0,00410 |
| 705 | 1 | 0 | 0 | 0,00293 |
| 710 | 1 | 0 | 0 | 0,00209 |
| 715 | 1 | 0 | 0 | 0,00148 |
| 720 | 1 | 0 | 0 | 0,00105 |
| 725 | 1 | 0 | 0 | 0,00074 |
| 730 | 1 | 0 | 0 | 0,00052 |
| 735 | 1 | 0 | 0 | 0,00036 |
| 740 | 1 | 0 | 0 | 0,00025 |
| 745 | 1 | 0 | 0 | 0,00017 |
| 750 | 1 | 0 | 0 | 0,00012 |
| 755 | 1 | 0 | 0 | 0,00008 |
| 760 | 1 | 0 | 0 | 0,00004 |
| 765 | 1 | 0 | 0 | 0,00003 |
| 770 | 1 | 0 | 0 | 0,00002 |
| 775 | 1 | 0 | 0 | 0,00001 |
| 780 | 1 | 0 | 0 | 0,00001 |
| 785 | 1 | 0 | 0 | 0,00001 |
| 790 | 1 | 0 | 0 | 0,00001 |
| 795 | 1 | 0 | 0 | 0,00001 |
| 800 | 1 | 0 | 0 | 0,00001 |
| 805 | 1 | 0 | 0 | 0,00001 |
| 810 | 1 | 0 | 0 | 0,00001 |
| 815 | 1 | 0 | 0 | 0,00001 |
| 820 | 1 | 0 | 0 | 0,00001 |
| 825 | 1 | 0 | 0 | 0,00001 |
| 830 | 1 | 0 | 0 | 0,00001 |
Pour importer ce tableau dans un tableur faire un copier en mode modifier le wikicode et copier sur une feuille de votre tableur.
Avec ce tableau vous pouvez refaire tous les calculs indiqués ci dessus. Vous pouvez vous dispensez des ajustements en prenant les valeurs de la matrice M. Vous arriverez ainsi à xyY2°.
Quand on additionne des lumières, pour la lumière résultante les luminances Y s'ajoutent, de même que les luminances barycentriques Y/y.
Ainsi sur votre tableur, vous pouvez additionner des lumières, ce qui est un des buts principaux de la colorimétrie : Prévoir ce que donnera le mélange de 2 lumières.