Introduction à l'acoustique/Modes propres
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| Chapitre 4 | |||
| Leçon : Introduction à l'acoustique | |||
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| Chap. préc. : | Réflexion, réfraction, impédance acoustique | ||
| Chap. suiv. : | Énergie acoustique | ||
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Introduction à l'acoustique/Modes propres », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Jusqu'ici, nous avons considéré que les ondes se propageaient dans des milieux « infinis ». Si cela est un modèle acceptable dans certaines conditions, il est difficile de s'y tenir pour faire des expériences — lesquelles seront toujours délimitées dans l'espace.
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Mode propre |
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On appelle mode propre une onde stationnaire dans un milieu de dimensions finies. |
Nous montrerons que, bien qu'une infinité de tels « modes » existent, on peut les dénombrer (c'est-à-dire qu'il y a un mode 1, un mode 2, 3 ... mais pas de mode 1,2 ou 4,78 par exemple). D'autre part, nous montrerons comment l'étude de ces modes propres suffit à étudier tout problème d'onde (au premier ordre) dans le milieu.
Pour cela, nous considèrerons la vitesse (au lieu de la pression) qui a le bon goût de s'annuler aux limites de notre système d'étude, fournissant ainsi des conditions de bord. Cela est avant tout une question de simplicité — on peut tout à fait mener l'étude avec la pression, qui forme des « ventres » près des murs — mais cela est plus difficile à justifier physiquement.
Sommaire |
[modifier] Position du problème
On considère un problème à une dimension, par exemple un tube très fin et relativement long (de longueur L) — une paille ou une fibre optique. Nous cherchons les solutions stationnaires à l'équation d'onde pour v (c'est-à-dire une solution stationnaire de l'équation de d'Alembert) qui satisfasse les conditions de nullité aux bords.
L'équation de d'Alembert vérifiée par la vitesse, projetée sur l'axe, est :
Les conditions de bord sont :
On suppose connue l'amplitude de ces ondes, notée A.
[modifier] Résolution
On cherche des solutions stationnaires, c'est-à-dire de la forme :
[modifier] Relation de dispersion
Alors, l'équation de d'Alembert s'écrit :
D'où une première relation, qui n'est pas fondamentale, mais qui nous ramène à une seule inconnue (le nombre d'onde k) :
Cette équation est appelée « relation de dispersion ».
[modifier] Nombres d'onde
Vérifions maintenant dans quels cas les conditions aux limites sont vérifiées.
- Blah blah blah ...
On peut voir déjà que tous les paramètres de l'onde sont fixés : vitesse (par le milieu), amplitude (par l'opérateur), nombre d'onde et pulsation.
[modifier] Longueur d'onde
Pour mieux comprendre ce que sont ces modes propres, calculons la longueur d'onde qui leur est associée :
- Blah blah blah...
