Introduction aux suites numériques/Suites arithmétiques

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Définition par récurrence

Définition d'une suite arithmétique

Une suite est arithmétique quand on ajoute toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite arithmétique est donc définie par :

• la valeur de son premier terme $u_{0}$
• une relation de récurrence de la forme : $u_{n+1}=u_{n}+r$

Le nombre $r$ qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite $(u_{n})$.

Exercices d'application

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont arithmétiques ? Quelles sont alors leurs raisons respectives ?

• $u_{0}=1,~u_{1}=3,~u_{2}=5,~u_{3}=7,~u_{4}=9,~u_{5}=11,~u_{6}=13,\ldots$
• $u_{0}=2,~u_{1}=5,~u_{2}=7,~u_{3}=12,~u_{4}=19,~u_{5}=31,~u_{6}=50,~u_{7}=81\ldots$
• $u_{0}=0,~u_{1}=5,~u_{2}=10,~u_{3}=15,~u_{4}=20,~u_{5}=25,~u_{6}=30,~u_{7}=35\ldots$
• $u_{0}=7,~u_{1}=14,~u_{2}=28,~u_{3}=56,~u_{4}=112,~u_{5}=224,~u_{6}=448\ldots$
• $u_{0}=5~u_{1}=3,~u_{2}=1,~u_{3}=-1,~u_{4}=-3,~u_{5}=-5,~u_{6}=-7\ldots$

Solution

• La première suite est arithmétique de raison 2.
• La seconde suite n’est pas arithmétique.
• La troisième suite est arithmétique de raison 5.
• La quatrième suite n’est pas arithmétique car chaque terme est égal au double du terme qui le précède (on dit alors qu'elle est géométrique de raison 2).
• Enfin la dernière suite est arithmétique de raison -2 (en effet la raison peut être un nombre quelconque dans $\mathbb {R}$).

 

Terme général d'une suite arithmétique

Pour arriver à $u_{n}$, il faut ajouter $n$ fois la raison $r$ au premier terme $u_{0}$

Début d’un théorème

Théorème

Le terme général d'une suite arithmétique $u_{n}$ est donné par la formule :

$u_{n}=u_{0}+n\times r$

Fin du théorème

Utilisation du terme général

1. Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique telle que $u_{0}=-3$ et $r=3,5$. Calculer $u_{11}$.
2. Soit $(v_{n})$ une suite arithmétique telle que $v_{0}=24$ et $r=-6$. Calculer $v_{25}$.
3. Soit $(w_{n})$ une suite arithmétique telle que $w_{1}=2$ et $r=6,25$. Calculer $w_{10}$.
4. Soit $(s_{n})$ une suite arithmétique telle que $s_{15}=2$ et $r=6$. Calculer $s_{0}$.
5. Soit $(t_{n})$ une suite arithmétique telle que $t_{11}=25$ et $t_{4}=6$. Calculer $t_{0}$ et $r$.

Solution

1. $u_{11}=-3+11\times 3,5=35,5$
2. $v_{25}=24+-6\times 25=-126$
3. $w_{10}=2-6,25+6,25\times 10=58,25$
4. $s_{0}=2-15\times 6=-88$
5. $t_{11}=t_{4}+7r$ donc $r={\frac {t_{11}-t_{4}}{7}}={\frac {19}{7}}$. De plus, $t_{0}=t_{4}-4r=6-4{\frac {19}{7}}=-{\frac {34}{7}}$.

 

Somme des termes d'une suite arithmétique

Somme des entiers consécutifs

Comment calculer simplement ? $S=0+1+2+3+\ldots +98+99+100$

Il suffit d’utiliser la formule : $S=0+1+2+3+\ldots +n={\frac {n\times (n+1)}{2}}$

On trouve donc : $S=0+1+2+3+\ldots +98+99+100=5050$

Généralisation

Début d’un théorème

Théorème

La somme des (n+1) termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante : $u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}={(n+1).(u_{n}+u_{0}) \over 2}$

Fin du théorème

La somme des termes consécutifs d'une progression arithmétique est égale à la demi-somme des termes extrêmes multipliée par le nombre de termes de la suite.

Calculs de sommes

En utilisant la formule, calculer :

• $S=1+3+5+7+9+\ldots +131=\ldots$
• $S=7+9+11+13+\ldots +99=\ldots$

Solution

• On remarque que (1,3,5...) est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $u_{0}=1$
  • $131=u_{65}$
  • L'application de la formule donne alors : $S=1+3+5+7+9+\ldots +131={\frac {65+1}{2}}(1+131)=4356$
• On remarque que (7,9,11...) est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $u_{0}=7$
  • $99=u_{46}$
  • L'application de la formule donne alors : $S=7+9+\ldots +99={\frac {46+1}{2}}(7+99)=2491$

 

Sens de variation d'une suite arithmétique

Début d’un théorème

Théorème

Une suite arithmétique de raison r est :

• croissante si $r>0$
• décroissante si $r<0$
• constante si $r=0$

Fin du théorème

Représentation graphique d'une suite arithmétique et lien avec les fonctions affines

Pour une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$, l’expression du terme général montre que :

si on définit la fonction affine $f(x)=r\times x+u_{0}$, alors $u_{n}=f(n)$.

Début d’un théorème

Théorème

Pour une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$ : si on place $n$ en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée, les points correspondants sont alignés sur la droite représentative de la fonction affine :

$f(x)=r\times x+u_{0}$

Fin du théorème

Si $u_{n}=a+bn$ , alors $(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison b et de premier terme a.

En faisant l'analogie avec les fonctions affines, on peut dire que :

• $a$ : Ordonnée à l'origine
• $b$ : Coefficient directeur

Graphiques

• Placer, dans un repère orthogonal, les 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme $u_{0}=-3$ et de raison $r=3,5$. Quelle est l'équation de la droite sur laquelle les points correspondant aux termes sont alignés ?

Solution

• L'expression algébrique des termes de cette suite est pour tout $n\in \mathbb {N} ,~u_{n}=-3+3.5n$
• Les points sont alors positionnés sur la droite d'équation $y=3.5x-3$

 

Le graphique représentant les points de la droite d'équation $y=3.5x-3$ est le suivant :

Points d'une droite caractérisant une suite arithmétique